Zusammenhang (Graphentheorie)

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Ein zusammenhängender Graph: Je zwei Knoten lassen sich durch eine Kantenfolge verbinden. Exemplarisch ist eine Kantenfolge zwischen den Knoten v und w rot hervorgehoben.

Der Zusammenhang ist ein mathematischer Begriff aus der Graphentheorie. Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn die Knoten paarweise durch eine Kantenfolge des Graphen verbunden sind.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ungerichtete Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieser nicht zusammenhängende Graph hat zwei Komponenten. Die Knoten v und w können nicht verbunden werden.

Ein ungerichteter Graph heißt zusammenhängend, falls es zu je zwei beliebigen Knoten , einen ungerichteten Weg in mit als Startknoten und als Endknoten gibt.

Einen maximalen zusammenhängenden Teilgraphen eines beliebigen Graphen nennt man eine Komponente oder Zusammenhangskomponente. Ein nicht zusammenhängender Graph wird durch seine Zusammenhangskomponenten partitioniert. Die größte Zusammenhangskomponente spielt im Erdős–Rényi Modell eine wichtige Rolle.

Gerichtete Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein gerichteter Graph heißt (stark) zusammenhängend von einem Knoten aus, falls es zu jedem Knoten aus einen gerichteten Weg in von nach gibt. heißt stark zusammenhängend, falls von jedem Knoten aus stark zusammenhängend ist. Anders formuliert heißt stark zusammenhängend, falls es zwischen zwei beliebigen Knoten und aus sowohl einen gerichteten Weg von nach wie auch einen gerichteten Weg von nach in gibt.

Ein gerichteter Graph heißt (schwach) zusammenhängend, falls der zugehörige ungerichtete Graph (also der Graph, der entsteht, wenn man jede gerichtete Kante durch eine ungerichtete Kante ersetzt) zusammenhängend ist.

Ein induzierter Teilgraph für eine Teilmenge heißt starke Zusammenhangskomponente von , falls stark zusammenhängend ist und nicht zu einem größeren stark zusammenhängenden Teilgraphen von erweitert werden kann.

Wichtige Aussagen und Sätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Relativ leicht zeigt man folgende Aussagen:

  1. Jeder zusammenhängende ungerichtete Graph mit Knoten enthält mindestens Kanten.
  2. Jeder stark zusammenhängende gerichtete Graph mit Knoten enthält mindestens Kanten.
  3. Ein ungerichteter Graph ist genau dann zusammenhängend, wenn er einen Spannbaum enthält.
  4. Ein gerichteter Graph ist genau dann stark zusammenhängend, wenn seine Adjazenzmatrix irreduzibel ist. Damit ist auch ein ungerichteter Graph genau dann zusammenhängend, wenn seine Adjazenzmatrix irreduzibel ist.
  5. Die Klasse aller zusammenhängenden Graphen ist nicht axiomatisierbar.[1]

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine wesentliche Verallgemeinerung des Begriffs stellt der Begriff des k-fachen Knotenzusammenhangs, der Kantenzusammenhang und der Bogenzusammenhang dar.

Algorithmen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittels Tiefensuche lässt sich leicht ein linearer Algorithmus implementieren, der die Zusammenhangskomponenten eines Graphen berechnet und so einen einfachen Test impliziert, ob der Graph zusammenhängend ist. Der Test, ob ein gerichteter Graph von einem Knoten v aus zusammenhängend ist, funktioniert analog. Von Tarjan (1972) stammt ein linearer Algorithmus zur Bestimmung starker Zusammenhangskomponenten, der ebenfalls auf Tiefensuche basiert und in gerichteten Graphen die starken Zusammenhangskomponenten und leicht modifiziert in ungerichteten Graphen die Blöcke und Artikulationen berechnet. Siehe auch Union-Find-Struktur.

Die Fragestellung, ob zwei Knoten in einem Graphen verbunden sind, kann unter Verwendung eines Suchalgorithmus, wie beispielsweise der Breitensuche, effizient gelöst werden. Im Allgemeinen ist es einfach, mit einem Computer zu bestimmen, ob ein Graph verbunden ist, zum Beispiel unter Verwendung einer disjunkten Datenstruktur, oder die Anzahl der Zusammenhangskomponenten zu zählen. Ein einfacher Algorithmus kann wie folgt formuliert werden:

  • Beginne an einem beliebigen Knoten des Graphen.
  • Fahre von diesem Knoten aus entweder mit der Tiefensuche oder der Breitensuche fort und zähle alle erreichten Knoten.
  • Wenn alle erreichbaren Knoten besucht wurden, dann ist der Graph verbunden genau dann wenn die Anzahl der erreichten Knoten gleich der Anzahl der Knoten des Graphen ist.

Nach dem Satz von Menger können für zwei beliebige Knoten und in einem zusammenhängenden Graphen die Zahlen und unter Verwendung des Max-Flow-Min-Cut-Algorithmus effizient bestimmt werden. Der Zusammenhang und Kantenzusammenhang von Graphen kann dann als Minimalwerte von und berechnet werden.

Kombinatorik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Anzahl der zusammenhängenden ungerichteten Graphen mit Knoten steigt rasant mit der Anzahl der Knoten, und zwar etwa exponentiell zur Anzahl der Kanten des vollständigen Graphen , also etwa proportional zu . Wenn die Knoten nicht nummeriert sind, isomorphe Graphen also nicht mitgezählt werden, ist diese Anzahl etwa proportional zu , weil für die meisten Isomorphieklassen alle Graphen, die sich durch Permutation der nummerierten Knoten ergeben, verschieden sind. Die folgende Tabelle zeigt die mit Hilfe eines Computers bestimmten Anzahlen für :[2][3]

Anzahl der zusammenhängenden ungerichteten Graphen
n mit nummerierten Knoten ohne nummerierte Knoten
2 1 1
3 4 2
4 38 6
5 728 21
6 26704 112
7 1866256 853
8 251548592 11117

Programmierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das folgende Beispiel in der Programmiersprache C# zeigt die Implementierung eines ungerichteten Graphen mit Adjazenzlisten. Der ungerichtete Graph wird als Klasse UndirectedGraph deklariert. Bei der Ausführung des Programms wird die Methode Main verwendet, die die Anzahl der Komponenten des Graphen auf der Konsole ausgibt.[4]

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

// Deklariert die Klasse für die Knoten des Graphen
class Node
{
	public int index;
	public string value;
	public HashSet<Node> adjacentNodes = new HashSet<Node>(); // Menge der Nachbarknoten
}

// Deklariert die Klasse für den ungerichteten Graphen
class UndirectedGraph
{
	public HashSet<Node> nodes = new HashSet<Node>();
	
	// Diese Methode verbindet die Knoten node1 und node2 miteinander.
	public void ConnectNodes(Node node1, Node node2)
	{
		node1.adjacentNodes.Add(node2);
		node2.adjacentNodes.Add(node1);
	}
}

class Program
{
	// Diese Methode gibt die Komponente des Graphen in der Form (A, B, C, ...) als Text zurück.
	public static string ToString(HashSet<Node> nodes)
	{
		string text = "(";
		foreach (Node node in nodes) // foreach-Schleife, die alle Knoten der Komponente durchläuft
		{
			text += node.value + ", ";
		}
		text = text.Substring(0, text.Length - 2);
		text += ")";
		return text;
	}
	
	// Hauptmethode, die das Programm ausführt
	public static void Main(string[] args)
	{
		// Deklariert und initialisiert 5 Knoten
		Node node1 = new Node{index = 0, value = "A"};
		Node node2 = new Node{index = 1, value = "B"};
		Node node3 = new Node{index = 2, value = "C"};
		Node node4 = new Node{index = 3, value = "D"};
		Node node5 = new Node{index = 4, value = "E"};
		// Deklariert und initialisiert ein Array mit den Knoten
		Node[] nodes = {node1, node2, node3, node4, node5};
		// Erzeugt einen ungerichteten Graphen
		UndirectedGraph undirectedGraph = new UndirectedGraph();
		int numberOfNodes = nodes.Length;
		for (int i = 0; i < numberOfNodes; i++) // for-Schleife, die alle Knoten durchläuft
		{
			undirectedGraph.nodes.Add(nodes[i]); // Fügt die Knoten dem Graphen hinzu
		}
		// Verbindet Knoten des Graphen miteinander
		undirectedGraph.ConnectNodes(node1, node2);
		undirectedGraph.ConnectNodes(node3, node4);
		undirectedGraph.ConnectNodes(node4, node5);
		HashSet<Node> remainingNodes = new HashSet<Node>(); // Menge der verbleibender Knoten, die noch nicht durchlaufen wurden
		for (int i = 0; i < numberOfNodes; i++)
		{
			remainingNodes.Add(nodes[i]); // Fügt die Knoten der Menge der verbleibender Knoten hinzu
		}
		int numberOfComponents = 1;
		HashSet<Node> newNodes = new HashSet<Node>(); // Menge der neu durchlaufenen Knoten
		newNodes.Add(remainingNodes.ElementAt(0)); // Dieser Menge einen neuen Knoten hinzufügen
		HashSet<Node> currentComponent = new HashSet<Node>(); // Menge der Knoten für die aktuelle Komponente
		while (remainingNodes.Count > 0) // So lange noch nicht alle Knoten durchlaufen wurden
		{
			HashSet<Node> currentNodes = new HashSet<Node>(); // Menge für die aktuell durchlaufenen Knoten
			if (newNodes.Count == 0) // Wenn keine neuen Knoten durchlaufen wurden
			{
				Console.WriteLine(ToString(currentComponent)); // Gibt die Knoten der aktuellen Komponente auf der Konsole aus
				currentComponent.Clear();
				numberOfComponents++; // Zähler für die Anzahl der Komponenten um 1 erhöhen
				currentNodes.Add(remainingNodes.ElementAt(0)); // Neuen Knoten durchlaufen
			}
			else
			{
				foreach (Node node in newNodes) // foreach-Schleife, die alle neuen Knoten durchläuft
				{
					currentNodes.Add(node); // Fügt die neuen Knoten der Menge der aktuellen Knoten hinzu
				}
			}
			newNodes.Clear(); // Leert die Menge der neu durchlaufenen Knoten
			foreach (Node node in currentNodes) // foreach-Schleife, die alle aktuellen Knoten durchläuft
			{
				if (remainingNodes.Contains(node)) // Wenn der aktuelle Knoten noch nicht durchlaufen wurde
				{
					currentComponent.Add(node); // Fügt den aktuellen Knoten der Menge der Knoten für die aktuellen Komponente hinzu
					remainingNodes.Remove(node);
				}
				foreach (Node nextNode in node.adjacentNodes) // foreach-Schleife, die alle benachbarten Knoten des aktuellen Knotens durchläuft
				{
					if (remainingNodes.Contains(nextNode))
					{
						currentComponent.Add(nextNode); // Fügt den benachbarten Knoten der Menge der Knoten für die aktuellen Komponente hinzu
						newNodes.Add(nextNode); // Fügt diesen Knoten der Menge der neu durchlaufenen Knoten
						remainingNodes.Remove(nextNode);
					}
				}
			}
		}
		Console.WriteLine(ToString(currentComponent)); // Gibt die Knoten der aktuellen Komponente auf der Konsole aus
		Console.WriteLine("Der Graph besteht aus " + numberOfComponents + " Komponenten."); // Ausgabe auf der Konsole
		
		Console.ReadLine();
	}
}

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: Einführung in die mathematische Logik. 2018, doi:10.1007/978-3-662-58029-5.
  2. Folge A001187 in OEIS
  3. Folge A001349 in OEIS
  4. GeeksforGeeks: Connected Components in an undirected graph