Zyklische Zahl

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Eine zyklische Zahl (auch: Phönixzahl[1][2]) ist eine -stellige natürliche Zahl mit folgender Eigenschaft: Wird diese Zahl mit einer natürlichen Zahl von 1 bis multipliziert, so enthält das Produkt die gleichen Ziffern wie die Ausgangszahl in derselben zyklischen Reihenfolge.

Die zyklische Zahl 142857 multipliziert mit den Zahlen 1 bis 6

Die kleinste nichttriviale zyklische Zahl ist die 142857:

Generierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Leonard E. Dickson fand heraus, dass alle zyklischen Zahlen Perioden von periodischen Zahlen sind, die man als Kehrwert bestimmter Primzahlen gewinnen kann. So ist der Kehrwert von 7 gleich 0,142857142857… und enthält genau die erste zyklische Zahl als Periode: . Solche Zahlen, die Perioden einer zyklischen Zahl erzeugen, werden auch Generatorzahlen genannt:

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313 … (Folge A001913 in OEIS)

Bedingung ist, dass die Primzahlen die Zahlenbasis, z. B. 10, nicht teilen und dass es für sie kein natürliches gibt, sodass .[3]

Die 486-stellige zyklische Zahl, die bei 487 entsteht, ist (bisher) die einzige, die selber durch ihre Generatorzahl teilbar ist. Damit hat die Periode vom auch nur so viele Stellen wie die von , eben 486 und nicht die sonst zu erwartenden 486 × 487 = 236682. Dementsprechend erscheint auch bei der Primfaktorzerlegung der Zahl mit 486 Neunen bzw. Einsen (Repunitzahl) der Faktor 487 im Quadrat.[4]

Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Triviale zyklische Zahlen sind die Zahlen von 0 bis 9. Die ersten nicht-trivialen zyklischen Zahlen sind:

  1. 142857   (6-stellig, erzeugt aus 1/7)
  2. 0588235294117647   (16-stellig, erzeugt aus 1/17)
  3. 052631578947368421   (18-stellig, erzeugt aus 1/19)
  4. 0434782608695652173913   (22-stellig, erzeugt aus 1/23)
  5. 0344827586206896551724137931   (28-stellig, erzeugt aus 1/29)

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede Zyklische Zahl ist durch 9 teilbar, z. B. 142857 / 9 = 15873.
  • Multiplikation mit der Generatorzahl ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 142857 × 7 = 999999.
  • Gruppenweises Summieren ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 14 + 28 + 57 = 99 und 142 + 857 = 999 (Midy's Theorem[5])
  • Der Anteil der zyklischen Zahlen an der Menge aller Primzahlen ist die Artin-Konstante C = 0,3739558136192… (Folge A005596 in OEIS)

Andere Zahlenbasen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zyklische Zahlen lassen sich in fast allen Zahlensystemen bilden, sofern deren Zahlenbasis keine Quadratzahl ist; im Quaternärsystem (Basis 4 = 2²) oder im Hexadezimalsystem (Basis 16 = 4²) gibt es daher keine zyklischen Zahlen.

Beispiel: Zyklische Zahl im Binärsystem

  1. 0001011101 × 0001 = 0001011101
  2. 0001011101 × 0010 = 0010111010
  3. 0001011101 × 0011 = 0100010111
  4. 0001011101 × 0100 = 0101110100
  5. 0001011101 × 0101 = 0111010001
  6. 0001011101 × 0110 = 1000101110
  7. 0001011101 × 0111 = 1010001011
  8. 0001011101 × 1000 = 1011101000
  9. 0001011101 × 1001 = 1101000101
  10. 0001011101 × 1010 = 1110100010
  11. 0001011101 × 1011 = 1111111111

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin (DDR)
  • Leonard E. Dickson: History of the Theory of Numbers. Washington 1932 (3 Bde.)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Endre Hódi (Hrsg.): Mathematisches Mosaik, Urania, Leipzig 1977
  2. Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin (DDR)
  3. Eric W. Weisstein: Full Reptend Prime. In: MathWorld (englisch).
  4. Factorizations of 11…11 (Repunit). (Memento vom 12. November 2013 im Internet Archive)
  5. Eric W. Weisstein: Midy's Theorem. In: MathWorld (englisch).