Kehrwert

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Der Kehrwert (auch der reziproke Wert oder das Reziproke) einer von verschiedenen Zahl ist in der Arithmetik diejenige Zahl, die mit multipliziert die Zahl ergibt; er wird als oder notiert.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kernaussagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Graph der Kehrwertfunktion ist eine Hyperbel.

Je näher eine Zahl bei liegt, desto weiter ist ihr Kehrwert von entfernt. Die Zahl selbst hat keinen Kehrwert und ist auch kein Kehrwert. Die durch beschriebene Kehrwertfunktion (siehe Abbildung) hat dort eine Polstelle. Der Kehrwert einer positiven Zahl ist positiv, der Kehrwert einer negativen Zahl ist negativ. Dies findet seinen geometrischen Ausdruck darin, dass der Graph in zwei Hyperbeläste zerfällt, die im ersten bzw. dritten Quadranten liegen. Die Kehrwertfunktion ist eine Involution, d. h., der Kehrwert des Kehrwerts von ist wieder Ist eine Größe umgekehrt proportional zu einer Größe dann ist sie proportional zum Kehrwert von

Den Kehrbruch eines Bruches, also den Kehrwert eines Quotienten mit erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht:

Daraus folgt die Rechenregel für das Dividieren durch einen Bruch: Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Siehe auch Bruchrechnung.

Den Kehrwert einer natürlichen Zahl nennt man einen Stammbruch.

Auch zu jeder von verschiedenen komplexen Zahl mit reellen Zahlen gibt es einen Kehrwert Mit dem Absolutbetrag von und der zu konjugiert komplexen Zahl gilt:

Summe aus Zahl und Kehrwert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Summe aus einer positiven reellen Zahl und ihrem Kehrwert beträgt mindestens [1][2]

Beweisvariante 1 (Figur 1):

Beweisvariante 2 (Figur 2):

Beweisvariante 3 (Figur 3):

(nach dem Satz des Pythagoras)

Beweisvariante 4 (Figur 4):

Nach dem Strahlensatz sind die Dreiecke und ähnlich. Es gilt . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird hier vorausgesetzt.
Grafische Veranschaulichung der Beweisvarianten
Kehrwert Summenungleichung Beweis 1.svg
Kehrwert Summenungleichung Beweis 2.svg
Kehrwert Summenungleichung Beweis 3.svg
Kehrwert Summenungleichung Beweis 4.svg
Figur 1
Figur 2
Figur 3
Figur 4

Summe zweier Kehrwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Figur 5

Die Summe der Kehrwerte zweier positiver reeller Zahlen und mit der Summe beträgt mindestens :

für .

Beweis:

Gemäß Figur 5 gilt:

,

was zu beweisen war.[3]

Summe aufeinanderfolgender Kehrwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede natürliche Zahl gilt

.

Den Beweis liefert die Abschätzung

.[4]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der Kehrwert von ist wiederum .
  • Der Kehrwert von ist .
  • Der Kehrwert von ist .
  • Der Kehrwert des Bruches ist .
  • Der Kehrwert der komplexen Zahl ist .

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung des Kehrwerts ist das multiplikativ Inverse zu einer Einheit eines unitären Ringes. Es ist ebenfalls durch die Eigenschaft definiert, wobei das Einselement des Ringes bezeichnet.

Wenn es sich z. B. um einen Ring von Matrizen handelt, so ist das Einselement nicht die Zahl sondern die Einheitsmatrix. Matrizen, zu denen keine inverse Matrix existiert, heißen singulär.

Verwandte Themen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hintergrundwissen für Lehramtsstudenten zur Arithmetik:

  • Friedhelm Padberg: Didaktik der Arithmetik. Für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. 3. erweiterte völlig überarbeitete Auflage, Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München 2009, ISBN 978-3-8274-0993-5.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wiktionary: Kehrwert – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 145
  2. Roger B. Nelsen: Proof without Words: The Sum of a Positive Number and Its Reciprocal Is at Least Two (four proofs) Mathematics Magazine, vol. 67, no. 5 (Dec. 1994), S. 374
  3. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 237 und 301
  4. Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 155