Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra . Er bezeichnet die lineare Hülle der Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus . Die Eigenvektoren – zusammen mit dem Nullvektor – spannen damit einen Untervektorraum auf.
Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum . Hat ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1, so sind für diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich.
Sei
V
{\displaystyle V}
Vektorraum über einem Körper
K
{\displaystyle K}
φ
∈
End
(
V
)
{\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} (V)}
Endomorphismus , das heißt eine lineare Abbildung
φ
:
V
→
V
{\displaystyle \varphi \colon V\to V}
E
(
λ
)
{\displaystyle E(\lambda )}
λ
{\displaystyle \lambda }
φ
{\displaystyle \varphi }
E
(
λ
)
:=
Kern
(
φ
−
λ
id
V
)
=
{
x
∈
V
∣
φ
(
x
)
=
λ
x
}
=
{
x
∈
V
∣
x
≠
0
,
φ
(
x
)
=
λ
x
}
∪
{
0
}
{\displaystyle {\begin{aligned}E(\lambda )&:=\operatorname {Kern} (\varphi -\lambda \operatorname {id} _{V})\\&=\left\{x\in V\mid \varphi (x)=\lambda x\right\}\\&=\left\{x\in V\mid x\neq 0,\ \varphi (x)=\lambda x\right\}\cup \left\{0\right\}\end{aligned}}}
Dabei bezeichnet
id
V
{\displaystyle \operatorname {id} _{V}}
Identitätsabbildung auf
V
{\displaystyle V}
Man sagt dann auch,
E
(
λ
)
⊆
V
{\displaystyle E\left(\lambda \right)\subseteq V}
φ
{\displaystyle \varphi }
E
(
λ
)
{\displaystyle E\left(\lambda \right)}
φ
{\displaystyle \varphi }
V
{\displaystyle V}
x
{\displaystyle x}
E
(
λ
)
{\displaystyle E\left(\lambda \right)}
λ
{\displaystyle \lambda }
φ
{\displaystyle \varphi }
Nullvektor .
Die Dimension des Eigenraums
E
(
λ
)
{\displaystyle E\left(\lambda \right)}
geometrische Vielfachheit von
λ
{\displaystyle \lambda }
algebraischen Vielfachheit von
λ
{\displaystyle \lambda }
E
(
λ
)
{\displaystyle E\left(\lambda \right)}
entartet genannt, anderenfalls heißt er nichtentartet .
Existiert ein Eigenwert
λ
=
0
{\displaystyle \lambda =0}
φ
{\displaystyle \varphi }
E
(
λ
)
{\displaystyle E\left(\lambda \right)}
Kern von
φ
{\displaystyle \varphi }
Kern
(
φ
)
=
{
x
∈
V
∣
φ
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {Kern} \left(\varphi \right)=\left\{x\in V\mid \varphi \left(x\right)=0\right\}}
E
(
0
)
=
{
x
∈
V
∣
φ
(
x
)
=
0
x
=
0
}
{\displaystyle E\left(0\right)=\left\{x\in V\mid \varphi \left(x\right)=0x=0\right\}}
Die Summe von Eigenräumen zu
n
{\displaystyle n}
paarweise verschiedenen Eigenwerten
λ
1
,
…
,
λ
n
{\displaystyle \lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n}}
φ
{\displaystyle \varphi }
direkt :
E
(
λ
1
)
+
⋯
+
E
(
λ
n
)
=
E
(
λ
1
)
⊕
⋯
⊕
E
(
λ
n
)
{\displaystyle E(\lambda _{1})+\dots +E(\lambda _{n})=E(\lambda _{1})\oplus \dots \oplus E(\lambda _{n})}
Gilt im obigen Fall
E
(
λ
1
)
+
⋯
+
E
(
λ
n
)
=
V
{\displaystyle E(\lambda _{1})+\dots +E(\lambda _{n})=V}
V
{\displaystyle V}
Basis aus Eigenvektoren von
φ
{\displaystyle \varphi }
Darstellungsmatrix
A
{\displaystyle A}
φ
∈
End
(
V
)
{\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} \left(V\right)}
V
{\displaystyle V}
A
′
{\displaystyle A'}
φ
{\displaystyle \varphi }
V
{\displaystyle V}
φ
{\displaystyle \varphi }
Diagonalgestalt . In der Hauptdiagonale von
A
′
{\displaystyle A'}
φ
{\displaystyle \varphi }
A
′
=
(
λ
1
0
⋯
0
0
⋱
⋱
⋮
⋮
⋱
⋱
0
0
⋯
0
λ
n
)
{\displaystyle A'={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}}
Ist
V
{\displaystyle V}
Prähilbertraum und
φ
∈
End
(
V
)
{\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} (V)}
selbstadjungiert , so sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten paarweise zueinander orthogonal . Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger . 17. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4 , (Studium. Grundkurs Mathematik ). 
