Hauptraum

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Der Hauptraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra und eine Verallgemeinerung des Eigenraums. Haupträume spielen eine große Rolle beim Aufstellen der jordanschen Normalform und der Berechnung einer zugehörigen Basis.

Definition des Hauptraums[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine lineare Abbildung aus einem endlichdimensionalen Vektorraum in sich selbst, ein Eigenwert von und bezeichnet die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes , dann nennt man den Kern der -fachen Hintereinanderausführung von Hauptraum zum Eigenwert , d. h.

.

Dabei steht für die identische Abbildung auf . Der Hauptraum wird also von genau den Vektoren aufgespannt, für die gilt. Insbesondere ist der Eigenraum zu einem Eigenwert ein Untervektorraum des Hauptraums zu diesem Eigenwert.

Hauptvektor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Elemente des Hauptraums werden manchmal auch Hauptvektoren genannt. Diesen Hauptvektoren kann man eine Stufe oder einen Level zuordnen. Sei ein Endomorphismus und ein Eigenwert des Endomorphismus. Ein Vektor heißt Hauptvektor der Stufe , wenn

aber

gilt. Alle Eigenvektoren sind somit Hauptvektoren der Stufe 1.

Satz über die Hauptraumzerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Endomorphismus, und sein charakteristisches Polynom

zerfalle vollständig in Linearfaktoren mit paarweise verschiedenen . Dann gilt:

  1. Der Hauptraum ist -invariant, das heißt .
  2. Die Dimensionen der Haupträume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein, also .
  3. Die Haupträume bilden eine direkte Zerlegung (innere direkte Summe) von . Es gilt also .
  4. Der Endomorphismus besitzt eine Zerlegung . Darin ist diagonalisierbar, ist nilpotent, und es gilt .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Matrix gegeben, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt:

.

Außerdem soll gelten:

Die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 2 beträgt 3 und die des Eigenwerts 4 beträgt 3. Die Eigenräume haben die Dimension 2 bzw. 1, also kleiner als die jeweilige algebraische Vielfachheit, weshalb die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Es lässt sich aber die Jordansche Normalform konstruieren

über eine Ähnlichkeitstransformation mit der Transformationsmatrix

,

wobei die Spaltenvektoren von den Hauptvektoren entsprechen:

Die Transformation lautet mit Hilfe der Hauptvektoren:

Somit folgt:

, und sind Hauptvektoren erster Stufe (also Eigenvektoren), und Hauptvektoren zweiter Stufe und ist ein Hauptvektor dritter Stufe.

Damit werden die Kerne der Abbildungen wie folgt von den Hauptvektoren aufgespannt:

Die Haupträume und Eigenräume zu den beiden Eigenwerten lauten damit, wobei die Eigenräume Unterräume der jeweiligen Haupträume sind:

Die Dimensionen der Haupträume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein, also und . Die Haupträume bilden eine direkte Zerlegung von , d.h. .

Die Matrix besitzt eine Zerlegung , wobei diagonalisierbar und nilpotent ist: mit

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]