Kompakt-Offen-Topologie

Die Kompakt-Offene-Topologie kurz KO-Topologie ist eine im Teilgebiet der Mathematik der Topologie betrachtete Struktur auf Räumen von Funktionen zwischen topologischen Räumen. Sind $X$ und $Y$ topologische Räume, so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen. Daher liegt es nahe, die Menge $C(X,Y)$ aller stetigen Funktionen $X\to Y$ wieder zu einem topologischen Raum zu machen. Unter den vielen Möglichkeiten, das zu tun, hat sich die unten definierte Kompakt-Offen-Topologie als besonders geeignet herausgestellt.

Definition

Seien $X$ und $Y$ topologische Räume. Ist $K\subset X$ kompakt und $U\subset Y$ offen, so sei $\Omega (K,U):=\{f\in C(X,Y):\,f(K)\subset U\}$.

Die Kompakt-Offen-Topologie auf $C(X,Y)$ ist die von allen Mengen der Form $\Omega (K,U)$, $K\subset X$ kompakt, $U\subset Y$ offen, erzeugte Topologie, d.h., die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen $\Omega (K,U)$.

Die Mengen $\Omega (K,U)$, $K\subset X$ kompakt, $U\subset Y$ offen, bilden damit eine Subbasis der Kompakt-Offen-Topologie. Diese Topologie wird oft mit $co$ abgekürzt (engl. compact-open), $C_{co}(X,Y)$ bezeichnet dann den Raum $C(X,Y)$, der mit der Kompakt-Offen-Topologie versehen ist.

Eigenschaften

Im Folgenden seien $X$ und $Y$ topologische Räume.

Trennungsaxiome

Ist Y T₀-Raum, T₁-Raum, Hausdorffraum, regulärer Raum oder ein vollständig regulärer Raum, so genügt $C_{co}(X,Y)$ demselben Trennungsaxiom.

Die Auswertungsabbildung

Für jede nicht-leere Teilmenge $H\subset C(X,Y)$ hat man die Auswertungsabbildung $j_{H}:H\times X\to Y,(f,x)\mapsto f(x)$. Ist $\tau$ irgendeine Topologie auf $H$, so dass $j_{H}$ stetig ist ($H\times X$ trägt dabei die Produkttopologie aus $\tau$ und der auf $X$ gegebenen Topologie), so ist $co|_{H}\subset \tau$, d.h., die relative Kompakt-Offen-Topologie auf $H$ ist gröber als $\tau$. In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung $j_{H}$ stetig, wenn man $H$ mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie versieht; es gilt:

Ist $X$ lokalkompakt und $Y$ ein beliebiger topologischer Raum, so ist die Kompakt-Offen-Topologie auf jeder Teilmenge $H\subset C(X,Y)$ die gröbste Topologie, die die Auswertungsabbildung $j_{H}:H\times X\to Y,(f,x)\mapsto f(x)$ stetig macht.

Komposition

Seien $X$ und $Y$ lokalkompakt, $Z$ sei ein dritter topologischer Raum. Dann ist die Kompositionsabbildung

$C_{co}(X,Y)\times C_{co}(Y,Z)\rightarrow C_{co}(X,Z),\,\,(f,g)\mapsto g\circ f$

stetig.

Kompakte Konvergenz

Sei $X$ lokalkompakt, $Y$ uniformer Raum. Dann stimmt die Kompakt-Offen-Topologie auf $C(X,Y)$ mit der Topologie der kompakten Konvergenz überein.

Anwendung

Als typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der höheren Homotopiegruppen vorgestellt. Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt $p\in X$. Mit $\pi _{1}(X,p)$ werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt $p$ bezeichnet. Zur Definition der höheren Homotopiegruppen $\pi _{n}(X,p)$ betrachte man den Raum $\Omega _{X,p}$ aller stetigen Abbildungen $g:([0,1]^{2},\partial [0,1]^{2})\to (X,p)$ des Einheitsquadrates $[0,1]^{2}$ nach $X$, die den Rand $\partial [0,1]^{2}$ des Einheitsquadrates auf den Basispunkt $p$ abbilden. Bezeichnet man die konstante Funktion aus $\Omega _{X,p}$, die das Einheitsquadrat auf den Punkt $p$ abbildet, mit ${\tilde {p}}$ und versieht man $\Omega _{X,p}$ mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie von $C([0,1]^{2},X)$, so ist das Paar $(\Omega _{X,p},{\tilde {p}})$ ein topologischer Raum mit einem ausgezeichnetem Punkt.

Man definiert nun $\pi _{2}(X,p):=\pi _{1}(\Omega _{X,p},{\tilde {p}})$ und allgemeiner rekursiv $\pi _{n}(X,p):=\pi _{n-1}(\Omega _{X,p},{\tilde {p}})$ für $n>1$.

Quellen

• Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 (BI-Hochschultaschenbücher 121). 
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. Teubner, Stuttgart 1964 (Teubners mathematische Leitfäden. ZDB-ID 259127-3), (4. Auflage. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6).