Snelliussches Brechungsgesetz

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Das snelliussche Brechungsgesetz (nach dem niederländischen Astronom und Mathematiker Snellius, auch snelliussches Gesetz, Snell-Gesetz, oder vereinfacht Brechungsgesetz) beschreibt, unter welchem Winkel ein Lichtstrahl an der Grenzfläche zweier Medien (zum Beispiel Luft und Glas) gebrochen (also abgelenkt) wird.

Reflexion und Brechung eines Lichtstrahls an einem Glasprisma

Trifft ein Lichtstrahl auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien, so wird ein Teil des Strahles gemäß dem Reflexionsgesetz reflektiert und ein Teil unter einem durch das Brechungsgesetz bestimmten Winkel transmittiert. Bei einem schrägen Einfall auf die Grenzfläche ändert sich die Richtung des Lichtstrahles. Ursache der Richtungsänderung des transmittierten Strahls ist ein Unterschied in den Phasengeschwindigkeiten für Lichtwellen aufgrund unterschiedlicher Materialeigenschaften der Medien vor und hinter der Grenzfläche. Dieser Unterschied tritt im Brechungsgesetz in Gestalt des Brechungsindex auf. Das Brechungsgesetz beschreibt nur die Richtungsänderung des transmittierten Strahls, die Intensitäten des einfallenden, reflektierten und transmittierten Strahls werden durch die Fresnelsche Formeln beschrieben.

Geschichte

Brechung wurde von Ptolemäus in seinem Werk „Optik“ beschrieben, sein Gesetz gilt aber nur für kleine Winkel. Das Brechungsgesetz wurde zum ersten Mal im 10. Jahrhundert von Ibn Sahl korrekt angegeben. 1601 wurde es von Thomas Harriot wiederentdeckt, aber nicht veröffentlicht. 1618 wurde es von dem Holländer Willebrord van Roijen Snell und fast zur gleichen Zeit von René Descartes beschrieben.

Das Gesetz

Das Brechungsgesetz lautet:

$n_{1}\sin(\delta _{1})=n_{2}\sin(\delta _{2})$.

Dabei sind $n_{1}$ bzw. $n_{2}$ die Brechungsindizes in Medium 1 und 2 sowie $\delta _{1}$ der Einfallswinkel des Lichts auf die Einfallsebene (=Grenzfläche) und $\delta _{2}$ der Ausfallswinkel. Beide Winkel werden vom Lot der Einfallsebene aus gemessen.

Beschreibung

Zur Herleitung des Brechungsgesetzes

Wellenfronten, sich von links nach rechts über eine Grenzfläche fortpflanzen. Rechts von der Grenzfläche hat das Medium einen einen höheren Brechungsindex. Die Phasengeschwindigkeit der Welle ist dort geringer. Die Ausrichtung der Wellenfronten ändert sich

Das oberste Bild zeigt einen einfallenden Lichtstrahl, der an einem Glasprisma reflektiert sowie transmittiert wird. Der reflektierte Strahl hat den gleichen Winkel zum Lot der Oberfläche des Prismas (Einfallsebene) wie der einfallende Strahl (jeweils 60°). Der Winkel (Brechungswinkel) des transmittierten Strahls zum Lot der Einfallsebene ist dagegen 35°. Das Verhältnis des Einfallswinkel zum Brechungswinkel ergibt sich aus dem im folgenden beschriebene Snelliusche Brechungsgesetz .

Das nebenstehende schematische Bild zeigt einen Lichtstrahl, der aus dem Medium₁ (z. B. Luft) auf die Grenzfläche eines Mediums₂ (z. B. Glas) einfällt. Er ist dabei um den Winkel $\delta _{1}$ gegen das Einfallslot geneigt. Ein Teil des Lichtstrahls wird an der Oberfläche reflektiert, der Rest tritt unter Richtungsänderung (Brechung) ein und läuft dort unter dem Winkel $\delta _{2}$ gegen das Lot weiter. Dieser Vorgang wird durch das Snell-Gesetz beschrieben.

Die Wellenfronten von Licht bewegen sich durch ein Medium mit einer Geschwindigkeit, die vom Brechungsindex des Mediums abhängt. Der Brechungsindex $n$ gibt das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit $c$ von Licht im Vakuum zur Phasengeschwindigkeit von Licht im Medium an.

$n={\frac {c}{c_{\rm {Medium}}}}$,

Dabei ist der Brechungsindex eine Materialeigenschaft des Mediums und ist von der Frequenz des Lichts, der Polarisation, der Intensität und von der Richtung, in der das Licht das Medium durchquert, abhängig.

Werden zwei parallel einfallende Lichtstrahlen an einer idealen Grenzfläche zweier Medien betrachtet, ergibt sich geometrisch für den zweiten Strahl eine zusätzliche Wegstrecke $L_{1}=c_{1}t$ im Medium 1 sowie für den ersten Lichtstrahl eine zusätzliche Wegstrecke $L_{2}=c_{2}t$ im Medium 2 (hierbei sind c_1,2  die Ausbreitungsgeschwindigkeiten im jeweiligen Medium; t die zusätzliche Laufzeit). Für den Sinus im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich:

$\sin(\delta _{1})={\frac {L_{1}}{\overline {AB'}}}$ bzw. $\sin(\delta _{2})={\frac {L_{2}}{\overline {AB'}}}$

wobei $\delta _{1}$ bzw. $\delta _{2}$ der Einfalls- bzw. Brechungswinkel und ${\overline {AB'}}$ der Abstand der beiden Lichtstrahlen an der Grenzfläche ist.

Ersetzt man den Abstand ${\overline {AB'}}$ in Medium 1 durch den Zusammenhang in Medium 2, ergibt sich:

${\frac {\sin(\delta _{1})}{\sin(\delta _{2})}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}$

Winkelabhängigkeit bei der Brechung für die Medien Luft, Wasser und Glas

Mit den Zusammenhängen für die Wegstrecke und der abhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit erhält man das Brechungsgesetz:

${\frac {\sin(\delta _{1})}{\sin(\delta _{2})}}={\frac {c_{1}t}{c_{2}t}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

wobei n₁ und n₂ die Brechungsindizes der jeweiligen Medien sind.

Somit erhält man den in der Grafik rechts dargestellten Zusammenhang zwischen den Winkeln $\delta _{1}$ und $\delta _{2}$:

$\delta _{2}=\arcsin \left({\frac {\sin(\delta _{1})\,n_{1}}{n_{2}}}\right)$.

Im Allgemeinen wird der Eintritts- und Austrittswinkel von Strahlen immer vom Lot aus, das auf der Grenzfläche steht, gezählt. Diese Winkel entsprechen den bei der Herleitung verwendeten Winkeln und damit ergibt sich das Brechungsgesetz in der konventionellen Form zu

$n_{1}\sin(\delta _{1})=n_{2}\sin(\delta _{2})$.

Für absorbierende Medien, für die der Brechungsindex als komplexe Zahl definiert ist, kann das Brechungsgesetz in der einfachen Form im Allgemeinen nicht angewendet werden. Dies funktioniert nur, wenn der Imaginärteil viel kleiner als der Realteil ist.

Herleitung aus dem fermatschen Prinzip

→ Hauptartikel: Fermatsches Prinzip

Das Brechungsgesetz ist kann auch aus dem fermatschen Prinzip gefolgert werden, das besagt, dass der optische Weg zwischen zwei Punkten A und B stationär (also minimal, maximal oder ein Sattelpunkt) sein muss. In einem homogenen Medium ist dies eine geometrische Gerade. Wenn jedoch zwischen den Orten A und B Medien mit unterschiedlicher Lichtgeschwindigkeit liegen, dann kann ein geometrischer Umweg der schnellere Weg sein. Für eine ebene Grenzfläche zwischen zwei Medien besteht der schnellste Weg aus zwei geraden Abschnitten mit einem Knick an der Grenzfläche. Dabei erfüllt der Knick die Gleichung des Brechungsgesetzes.

Totalreflexion

→ Hauptartikel: Totalreflexion

Das Brechungsgesetz ist aufgrund der Beschränktheit des Sinus für manche Winkel und Brechungsindizes nicht mehr erfüllt. In diesen Fällen tritt das Phänomen der Totalreflexion auf, dass heißt, dass das gesamte einfallende Licht an der Grenzfläche reflektiert wird und kein Anteil transmittiert. Dieser Effekt wird z.B. zur Lichtleitung in Glasfasern genutzt.

Der Grenzwinkel der Totalreflektion ergibt sich (unter der Annahme $n_{1}>n_{2}$, d.h. das Licht fällt aus dem optisch dichteren Medium unter dem Einfallswinkel $\alpha$ auf die Grenzfläche) wie folgt: Für das Brechungsgesetz gilt

$\sin \alpha ={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\sin \beta$

und aufgrund der Beschränktheit des Sinus (d.h. $|sin\beta |\leq 1$ gilt

$\sin \alpha \leq {\frac {n_{2}}{n_{1}}}1$.

Daher wird kein Licht transmittiert, solange der Einfallswinkel kleiner als der Grenzwinkel $\alpha _{g}$ ist, mit $\sin \alpha _{g}=n_{2}/n_{1}$.

Dispersion

Spektralzerlegung von weißem Licht durch ein Prisma.

→ Hauptartikel: Dispersion (Physik)

Der Brechungsindex aller realen Materialien ist wellenlängenabhängig. Dieser Effekt wird Disperion genannt. Somit führt das Brechungsgesetz bei gleichem Einfallswinkel bei Lichtwellen mit unterschiedlichen Wellenlängen zu unterschiedlichen Ausfallswinkeln. Weißes Licht ist eine Mischung von Lichtwellen verschiedener Wellenlängen. Leuchtet man weißes Licht auf ein Prisma, so fächert dieses das Licht in seine Spektralfarben auf.

Bleistift in einem Wasserglas. Der Knick im Stift kommt durch die Brechung des Lichts an der Wasseroberfläche zustande.

Optische Hebung

→ Hauptartikel: Brechung (Physik)

Betrachtet man einen geraden Stab der schräg in einem Wasserglas steht, so sieht man einen Knick im Stab an der Wasseroberfläche. Aufgrund unterschiedlicher Brechungsindizes von Wasser und Luft entsteht ein anderer Brechungswinkel der vom Stab ins Auge kommenden Lichtstrahlen über und unter der Wasseroberfläche an der Grenzfläche zum Glas. Das menschliche Gehirn berücksichtigt diese unterschiedlichen Brechungswinkel nicht und verlängert die Strahlen geradlinig nach hinten, so dass der Stab unter Wasser flacher erscheint, als der Stab über Wasser.

Astronomische Refraktion

→ Hauptartikel: Astronomische Refraktion

Gestauchte Sonnenscheibe beim Sonnenaufgang.

Die Dichte der Luft sinkt mit steigender Höhe h der Atmosphäre und somit sinkt auch der Brechungsindex n(h) der Atmosphäre. Ein von außerhalb der Atmosphäre kommender Lichtstrahl durchläuft daher in der Atmosphäre eine gekrümmte Bahn. Das Gehirn verlängert das ins Auge einfallende Licht immer geradlinig nach hinten um die Quelle des Lichts zu ermitteln. Dadurch ergeben sich verschiedene Winkel bzgl. des Zenits für die scheinbare Position und die wirkliche Position von Sternen und der Sonne. Diese Abweichung ist so stark, dass beim Sonnenuntergang die Sonne noch sichtbar ist, obwohl sie geometrisch schon unterm dem Horizont verschwunden ist, denn bei einer Betrachtung des Horizonts ist die astronomische Refraktion ca. 0,5° und damit größer als der Winkeldurchmesser der Sonne. Die Abplattung der Sonnen- und Mondscheibe beim Auf- bzw. Untergang rührt auch aus diesem Effekt, da die astronomische Refraktion für die Unterkante der Scheibe größer ist, als für ihre Oberkante. Dies führt zu einer ovalen Form der ansonsten runden Sonnenscheibe beim Auf- bzw. Untergang. Die Sonnenscheibe scheint in vertikaler Richtung gestaucht.

Literatur

• Eugene Hecht: Optik. 4. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München, ISBN 3-486-27359-0. 

Weblinks

• Brechungsgesetz für Schüler (LEIFI)