Faktorraum

Der Faktorraum (auch Quotientenraum) ist ein Begriff aus der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Er ist derjenige Vektorraum, der als Bild einer Parallelprojektion entlang eines Unterraumes entsteht. Die Elemente des Faktorraumes sind Äquivalenzklassen.

Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $\mathbb {K}$ und $U$ ein Unterraum von $V$. Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf $V$ durch

$v_{1}\sim v_{2}\ :\Longleftrightarrow \ v_{1}-v_{2}\in U$.

$v_{1}$ und $v_{2}$ stehen also in relation, wenn sie sich um einen Vektor aus $U$ unterscheiden. Anders gesagt: Wenn die Gerade durch die Punkte $v_{1}$ und $v_{2}$ parallel zu $U$ ist, stehen $v_{1}$ und $v_{2}$ in relation zu einander.

Die Äquivalenzklasse eines Punktes $v$ ist

$[v]:=v+U:=\{v+u\mid u\in U\},$

anschaulich der zu $U$ „parallele“ affine Unterraum durch $v$. Die Äquivalenzklassen werden auch als Nebenklassen bezeichnet; dieser Begriff stammt aus der Gruppentheorie.

Der Faktorraum von $V$ nach $U$ ist die Menge aller Äquivalenzklassen und wird mit $V/U$ bezeichnet:

$V/U:=\{[v]\mid v\in V\}.$

Er bildet einen Vektorraum, wenn die Vektorraumoperationen vertreterweise definiert werden:

• $[v_{1}]+[v_{2}]=[v_{1}+v_{2}]$
• $\lambda \cdot [v]=[\lambda v]$

für $v,v_{1},v_{2}\in V$ und $\lambda \in \mathbb {K}$.

Diese Operationen sind wohldefiniert, also von der Wahl der Vertreter unabhängig.

Eigenschaften

• Es gibt eine kanonische surjektive lineare Abbildung

$\pi \colon V\to V/U,\quad v\mapsto [v].$

• Ist $W$ ein Komplement von $U$ in $V$, d.h. ist $V$ die direkte Summe von $U$ und $W$, so ist die Einschränkung von $\pi$ auf $W$ ein Isomorphismus. Es gibt aber keine kanonische Möglichkeit, $V/U$ als Unterraum von $V$ aufzufassen.

• Daraus ergibt sich die folgende Beziehung für die Dimensionen:

$\dim U+\dim V/U=\dim V$

• Der Dualraum von $V/U$ kann mit denjenigen Linearformen auf $V$ identifiziert werden, die auf $U$ identisch 0 sind.

• Der Homomorphiesatz besagt, dass eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$ einen Isomorphismus

$V/{\ker f}\to \mathrm {im} \,f$

zwischen dem Faktorraum von $V$ nach dem Kern von $f$ und dem Bild von $f$ induziert, d.h. die Verkettung

$V\longrightarrow V/{\ker f}\longrightarrow \mathrm {im} \,f\longrightarrow W$

ist gleich $f$.

Anwendung in der Funktionalanalysis

Siehe auch: Kolmogoroff-Quotient

Viele normierte Räume entstehen auf die folgende Weise: Sei $V$ ein reeller oder komplexer Vektorraum und sei $p$ eine Halbnorm auf $V$. Dann ist $U=\left\{v\in V\mid p(v)=0\right\}$ ein Untervektorraum von $V$. Der Faktorraum $V/U$ wird dann mit der Norm $[v]\mapsto p(v)$ ein normierter Vektorraum.

Allgemeiner: Sei $V$ ein topologischer Vektorraum, der nicht hausdorffsch ist. Dann lässt sich analog zu oben ein Unterraum definieren: $U=\left\{v\in V\mid {\text{Jede 0-Umgebung enthaelt }}v\right\}={\overline {\{0\}}}$. Der Faktorraum $V/U$ wird mit der Quotiententopologie ein hausdorffscher topologischer Vektorraum.

Beispiele

Abstrakt

Die $L^{p}$-Räume und damit auch die Sobolew-Räume sind Faktorräume.

Konkret

Sei $V:=\mathbb {R} ^{2}$ ein Vektorraum und $U:=\{{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}|x\in \mathbb {R} \}$ ein eindimensionaler Untervektorraum von $V$.

${\begin{pmatrix}42\\12\end{pmatrix}}+U:=\{{\begin{pmatrix}42\\12\end{pmatrix}}+u|u\in U\}$ ist eine Äquivalenzklasse des Faktorraumes $V/U$.

Anschaulich ist jede Gerade, die parallel zur wikelhalbierenden Gerade des 1. Quadranten ist, eine Äquivalenzklasse:

Siehe auch

• Quotientenabbildung