Cobb-Douglas-Funktion

Als Cobb-Douglas-Funktion bezeichnet man in der Volkswirtschaftslehre eine Klasse von Funktionen, die häufig zur Formulierung von Nutzen- und Produktionsfunktionen verwendet wird. Dabei erstreckt sich das Anwendungsgebiet sowohl auf mikro- als auch auf makroökonomische Applikationen.

Geschichtlicher Hintergrund

Die Cobb-Douglas-Funktion basiert auf Erkenntnissen, die Johann Heinrich von Thünen bereits in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts in der Landwirtschaft sammelte. Mit seiner Pro-Kopf-Kapitalertragsfunktion p=hqⁿ mit h als Niveauparameter, p und q als Ertrag bzw. Kapitaleinsatz je Arbeiter und n als Substitutionselastizität des Kapitals hat er die erste indirekt formulierte Cobb-Douglas-Produktionsfunktion entwickelt. Knut Wicksell (1851–1926) gelang es 1913 die Zusammenhänge zwischen Input und Output bei einer vorhandenen Substitutionselastizität als Produktionsfunktion in der heute bekannten Form zu formulieren, die schließlich von den US-amerikanischen Ökonomen Paul Howard Douglas und Charles Wiggins Cobb im Jahre 1928 statistisch nachgewiesen wurde.

Definition

Als Cobb-Douglas-Funktion bezeichnet man allgemein eine Funktion $z:\mathbb {R} _{+}^{n}\mapsto \mathbb {R} _{+}$, gegeben durch

$z(\mathbf {x} )=\beta \cdot \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}=\beta \cdot x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{\alpha _{n}}$

mit $\beta >0$; $x_{i}>0$ und $\alpha _{i}>0$ für alle $i=1,\ldots ,n$.

Regelmäßig wird in der Literatur auf den Niveauparameter $\beta$ verzichtet (bzw. gleich $\beta =1$ angenommen), da dieser bei entsprechender Skalierung der anderen Faktoren obsolet wird.

Eine, insbesondere im Zwei-Güter-Fall der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion üblicherweise anzutreffende Einschränkung sieht vor, dass sich die Exponenten gerade zu eins aufsummieren, dass also mithin $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}=1$. Diese Annahme gewährleistet, wie sich zeigen lässt, dass die Funktion konstante Skalenerträge aufweist. Ihre Rechtfertigung liegt darin, dass ordinale Nutzenfunktionen nach Voraussetzung beliebig positiv monoton transformiert werden können; es lässt sich nun aber gerade zeigen, dass für beliebige $\alpha _{1},\alpha _{2}>0$ eine Transformation gefunden werden kann, nach der die Summe der Exponenten tatsächlich eins beträgt.

Unterschiedliche Verwendungszwecke

Nutzt man die Funktion als Produktionsfunktion, bezeichnet man sie regelmäßig mit y (statt z), um auszudrücken, dass sie die produzierte Menge eines Gutes anzeigt. Die $x_{i}$ stehen dann für die Menge des eingesetzten Inputfaktors i, wobei es n Inputfaktoren gibt. Häufig verwendet wird so beispielsweise die Zwei-Faktoren-Cobb-Douglas-Produktionsfunktion $y=\beta L^{\alpha _{1}}K^{\alpha _{2}}$ (bisweilen vereinfacht zu $y=L^{\alpha }K^{1-\alpha }$ mit $0<\alpha <1$), wobei K für den Kapital- und L für den Arbeitseinsatz steht.

Bei der Verwendung als Nutzenfunktion (in der Regel u) bezeichnet $x_{i}$ die Menge des konsumierten Gutes i.

Eigenschaften

Die zentrale Eigenschaft von Funktionen des Cobb-Douglas-Typs ist, dass die Exponenten einer unmittelbaren Interpretation zugänglich sind, handelt es sich doch bei $\alpha _{i}$ gerade um die Elastizität von z bezüglich $x_{i}$. Betrachtet man zum Beispiel die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion, so handelt es sich bei $\alpha _{i}$ um die so genannte Produktionselastizität des Inputfaktors i – sie gibt approximativ an, um wie viel Prozent der Output y steigt, wenn die eingesetzte Menge des Faktors i um ein Prozenz erhöht wird.

Nachfragefunktionen, die aus einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion gewonnen werden, haben die Eigenschaft, dass die Haushalte für die Güter $x_{i}$ immer einen konstanten Anteil $a_{i}/\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}$ von ihrem Einkommen ausgeben. Diese Anwendung stellt ein Beispiel dafür dar, weshalb die im überstehenden Abschnitt angesprochene Eigenschaft $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1$ oftmals den Umgang mit der Funktion erleichtert; dann nämlich lässt sich der Exponent direkt als der gesuchte konstante Anteil interpretieren.

Bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion beträgt die Substitutionselastizität – das heißt das Verhältnis der relativen Änderung des Verhältnisses des Faktoreinsatzes zur relativen Änderung der Grenzrate der Substitution – stets eins. Ihre Skalenelastizität – also approximative Änderung der Produktion in Prozent infolge einer einprozentigen Erhöhung aller Inputfaktoren – entspricht der Summe der Exponenten, $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}$.

Allgemein gilt darüber hinaus, dass die Cobb-Douglas-Funktion im definierten Sinne homogen vom Grade $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}$ ist. Weiter ist sie quasikonkav für alle $\alpha _{i}$; konkav, wenn $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\leq 1$ und sogar strikt konkav, falls $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}<1$.

Beispiel

Linear-homogene Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

In der Abbildung ist eine linear homogene Cobb-Douglas-Produktionsfunktion als „Produktionsgebirge“ dargestellt. Die Fläche des Gebirges setzt sich aus Geraden zusammen, die vom Ursprung (0,0,0) ausgehen. Hält man einen Produktionsfaktor konstant und erhöht den anderen Produktionsfaktor, dann erhöht sich auch der Output, aber in immer geringerem Maße, die partielle Grenzproduktivität eines Faktors nimmt mit steigender Einsatzmenge dieses Faktors ab. Die partielle Grenzproduktivität ist die Steigung des Produktionsgebirges, wenn man sich auf ihm senkrecht zur Achse des konstant gehaltenen Produktionsfaktors bewegt.

Bewegt sich die Volkswirtschaft entlang einer „Höhenlinie“, dann wird der Einsatz eines Produktionsfaktors durch den des anderen substituiert..Es gilt das Gesetz von der abnehmenden Grenzrate der technischen Substitution.

Weblinks

• Interaktive Anwendung zur Cobb-Douglas-Funktion

Literatur

• Charles W. Cobb und Paul H. Douglas: A Theory of Production. In: American Economic Review. 18, Nr. 1, 1928, S. 139–165 (JSTOR).
• Paul H. Douglas: The Cobb-Douglas Production Function Once Again: Its History, Its Testing, and Some New Empirical Values. In: Journal of Political Economy. 84, Nr. 5, 1976, S. 903–916. [Übersichtsdarstellung zur Geschichte und unterschiedlichen Funktionsspezifikationen in der Literatur.]
• Alfred Endres und Jörn Martiensen: Mikroökonomik. Eine integrierte Darstellung traditioneller und moderner Konzepte in Theorie und Praxis. Kohlhammer, Stuttgart 2007, ISBN 978-3-17-019778-7.
• Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
• Knut Sydsæter u.a.: Further mathematics for economic analysis. 2. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9.
• Knut Sydsæter, Arne Strøm und Peter Berck: Economists’ mathematical manual. 4. Aufl. Springer, Berlin u.a. 2005, ISBN 978-3-540-26088-2 (auch als E-Book: doi:10.1007/3-540-28518-0).
• Johann Heinrich von Thünen: Der isolierte Staat in Beziehung auf Landwirtschaft und Nationalökonomie. 3. Aufl. Hrsg. von H. Schumacher-Zarchlin. Zweiter Theil. II. Abtheilung. Berlin 1875.
• Hal Varian: Intermediate Microeconomics. A Modern Approach. 8. Aufl. W. W. Norton, New York und London 2010, ISBN 978-0-393-93424-3.
• Hal Varian: Microeconomic Analysis. W. W. Norton, New York und London 1992, ISBN 0-393-95735-7.
• Susanne Wied-Nebbeling und Helmut Schott: Grundlagen der Mikroökonomik. Springer, Heidelberg u.a. 2007, ISBN 978-3-540-73868-8.