Einsmatrix

Die Einsmatrix ist in der Mathematik eine Matrix deren Elemente alle gleich der Zahl Eins (beziehungsweise dem Einselement des zugrunde liegenden Rings) sind. Eine Einsmatrix bestehend aus nur einer Zeile oder Spalte wird auch Einsvektor genannt. Jede Einsmatrix lässt sich als dyadisches Produkt von Einsvektoren darstellen. Im Matrizenring mit der Matrizenaddition und dem Hadamard-Produkt ist die Einsmatrix das neutrale Element. Wichtige Kennzahlen und Potenzen von Einsmatrizen lassen sich explizit berechnen. Die Einsmatrix und der Einsvektor sind nicht mit der Einheitsmatrix und dem Einheitsvektor zu verwechseln.

Definition

Ist $R$ ein Ring mit Einselement $1$, dann ist die Einsmatrix $J_{mn}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ definiert als

$J_{mn}={\begin{pmatrix}1&\cdots &1\\\vdots &\ddots &\vdots \\1&\cdots &1\end{pmatrix}}$.

Wird die Dimension der Einsmatrix aus dem Kontext klar, so werden die Indizes auch weggelassen und nur $J$ geschrieben. Eine Einsmatrix bestehend aus nur einer Zeile oder Spalte wird auch Einsvektor genannt und mit ${\mathbf {1} _{n}}$ oder nur ${\mathbf {1} }$ bezeichnet.

Beispiele

${\mathbf {1} }_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\mathbf {1} }_{3}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},J_{22}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}},J_{33}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}},J_{24}={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix}}$

Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften

Eine Einsmatrix lässt sich auch als dyadisches Produkt von Einsvektoren darstellen:

$J_{mn}={\mathbf {1} }_{m}\otimes {\mathbf {1} }_{n}={\mathbf {1} }_{m}\cdot ({\mathbf {1} }_{n})^{T}$.

Die Transponierte einer Einsmatrix ist wieder eine Einsmatrix, also

$(J_{mn})^{T}=J_{nm}$.

Die Einsmatrix $J_{mn}$ ist zudem das neutrale Element in dem Matrizenring $(R^{m\times n},+,\circ )$, wobei $A+B$ die Matrizenaddition und $A\circ B$ das Hadamard-Produkt sind. Damit gilt für alle Matrizen $A\in R^{m\times n}$

$A\circ J_{mn}=J_{mn}\circ A=A$.

Rang, Spur, Determinante

Ist nun $R=\mathbb {K}$ der Körper der reellen oder komplexen Zahlen, dann gilt für den Rang einer Einsmatrix

$\operatorname {rang} (J_{mn})=1$.

Die Spur einer quadratischen Einsmatrix ist dann

$\operatorname {spur} (J_{nn})=n$

und ihre Determinante ist entsprechend

$\operatorname {det} (J_{nn})={\begin{cases}0&{\text{für}}~n>1\\1&{\text{für}}~n=1\end{cases}}$

Die Eigenwerte der Einsmatrix $J_{nn}$ sind $n$ mit Vielfachheit $1$ und $0$ mit Vielfachheit $n-1$.

Produkte

Für das Produkt zweier reeller oder komplexer Einsmatrizen gilt

$J_{mn}\cdot J_{no}=n\cdot J_{mo}$.

Damit berechnet sich die $k$-te Potenz einer quadratischen Einsmatrix für $k\geq 1$ als

$J_{nn}^{k}=n^{k-1}J_{nn}$.

Daher ist die Matrix ${\tfrac {1}{n}}J_{nn}$ idempotent. Für das Matrixexponential der Einsmatrix gilt damit

$\exp(J_{nn})=I_{n}+{\frac {e^{n}-1}{n}}J_{nn}$,

wobei $I_{n}$ die Einheitsmatrix der Größe $n\times n$ ist.

Literatur

• Karsten Schmidt, Götz Trenkler: Einführung in die Moderne Matrix-Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-33008-9. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Unit Matrix. In: MathWorld (englisch).