„Bornsche Starrheit“ – Versionsunterschied
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Die '''Bornsche Starrheit''' ist eine Konzept der [[spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] (SRT) und wurde erstmals 1909 von [[Max Born]] vorgeschlagen. Es ist eine der möglichen Antworten auf die Frage, inwieweit das Konzept der [[starrer Körper|starren Körpers]], das in der [[klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] von großer Bedeutung ist, auch im Rahmen der SRT anwendbar ist. |
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'''Born rigidity''', proposed by and later named after [[Max Born]], is a concept in [[special relativity]]. It is one answer to the question of what, in special relativity, corresponds to the [[rigid body]] of non-relativistic [[classical mechanics]]. |
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== Theorie == |
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The defining property of Born rigidity is locally constant distance in the co-moving frame for all points of the body in question. Thus this distance is Lorentz contracted in relatively moving frames.<ref>{{Citation|author=Born, Max|year=1909|title=Die Theorie des starren Körpers in der Kinematik des Relativitätsprinzips|trans_title=[[s:Translation:The Theory of the Rigid Electron in the Kinematics of the Principle of Relativity|The Theory of the Rigid Electron in the Kinematics of the Principle of Relativity]]|journal=Annalen der Physik|volume=335|issue=11|pages=1–56|doi=10.1002/andp.19093351102|bibcode = 1909AnP...335....1B }}</ref> |
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Die Bornschen Starrheit ist dann erfüllt, wenn auch in [[beschleunigtes Bezugssystem|beschleunigten Bezugssystemen]] der Abstand zwischen zwei Punkten lokal gleich bleibt, und somit aus Sicht eines relativ dazu bewegten [[Inertialsystem]]s der [[Lorentzkontraktion]] unterworfen ist.<ref>{{Cite journal|author=Born, Max|year=1909|title=Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips|journal=Annalen der Physik|volume=335|issue=11|pages=1-56|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15334h.image.f7}}</ref> Dieser Zustand schränkt die möglichen Bewegungen eines ausgedehnten Körpers ein, und kann nur in Ausnahmefällen durch sorgfältige Anwendung von Kräften an verschiedenen Teilen des Körpers umgesetzt werden. Ein starrer Körper an sich würde nämlich im Widerspruch zur SRT sein, weil in einem solchen die [[Schallgeschwindigkeit]] unendlich wäre. |
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Born rigidity is a constraint on the motion of an extended body, achieved by careful application of forces to different parts of the body. A body rigid in itself would violate special relativity, as its [[speed of sound]] would be infinite. |
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Die Grenzen der Bornschen Starrheit wurden 1910 von [[Gustav Herglotz]]<ref>{{Cite journal|author=Herglotz, Gustav|year=1910|title=Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper|journal=Annalen der Physik|volume=336|issue=2|pages=393-415|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15335v.image.f403}}</ref> und [[Fritz Noether]]<ref>{{Cite journal|author=Noether, Fritz|year=1910|title=Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie|journal=Annalen der Physik|volume=336|issue=5|pages=919–944|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15335v.image.f932|doi=10.1002/andp.19103360504|bibcode = 1910AnP...336..919N }}</ref> aufgezeigt (Herglotz-Noether-Theorem). Es wurde demonstriert dass die Bewegung des gesamten Born-starren Körpers im Allgemeinen vollständig durch die beliebige Bewegung eines einzigen seiner Punkte bestimmt wird. Ausnahmen sind gemäß Herglotz nur bei Spezialfällen möglich, in denen die [[Weltlinie]]n der Punkte eine konstante Krümmung aufweist. Diesem Theorem zufolge hat ein Born-starrer somit nur drei [[Freiheitsgrad]]e.<ref name=pauli>{{Cite book|author=Pauli, Wolfgang|year=1921|title=Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften|chapter=Die Relativitätstheorie|pages=539–776|volume=5.2|pages=690-691|chapterurl=http://www.archive.org/details/encyklomath205encyrich}}</ref> Ein moderne Fassung des Herglotz-Noether-Theorem besagt, dass die rotatorische-starre Bewegung im [[Minkowski-Raum]] eine [[Killing-Vektorfeld|Killing-Bewegung]] sein muss.<ref>{{cite book|author=Giulini, Domenico|chapter=The Rich Structure of Minkowski Space|title=Minkowski Spacetime: A Hundred Years Later|journal=Fundamental Theories of Physics|volume=165|publisher=Springer|year=2008|isbn=978-90-481-3474-8|pages=83|arxiv=0802.4345}}</ref> |
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It is a very restrictive sense of rigidity, as stated in the [[Herglotz-Noether theorem]] by [[Gustav Herglotz]] (1910)<ref>{{Citation|author=Herglotz, Gustav|year=1910|title=Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper|trans_title=[[s:Translation:On bodies that are to be designated as "rigid"|On bodies that are to be designated as "rigid" from the standpoint of the relativity principle]]|journal=Annalen der Physik|volume=336|issue=2 |
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|pages=393–415}}</ref> and [[Fritz Noether]] (1910)<ref name=noether>{{Cite journal|author=Noether, Fritz|year=1910|title=Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie|journal=Annalen der Physik|volume=336|issue=5|pages=919–944|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15335v.image.f932|doi=10.1002/andp.19103360504|bibcode = 1910AnP...336..919N }}</ref>. It states that a Born-rigid object has only three degrees of freedom, and its motion is in general definitely determined by the motion of one of its point.<ref name=pauli>[[Wolfgang Pauli]], ''Theory of Relativity'', Dover Publications 1981, ISBN 0-486-64152-X</ref> This leads to the [[Ehrenfest paradox]], as it is impossible to put a disk from rest into rotation while maintaining its Born rigidity.<ref>{{Citation|author=Ehrenfest, Paul|year=1909|title=[[s:de:Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie|Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie]]|trans_title=[[s:Translation:Uniform Rotation of Rigid Bodies and the Theory of Relativity|Uniform Rotation of Rigid Bodies and the Theory of Relativity]]|journal=Physikalische Zeitschrift|volume=10|pages=918}}</ref> |
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[[Bell's spaceship paradox]] demonstrates that if there is a body at rest and then its two endpoints are accelerated with the same [[proper acceleration]], then its Born rigidity will be broken. In general it was shown by Herglotz (1911),<ref>{{Citation|author=Herglotz, Gustav|year=1911|title=Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie|journal=Annalen der Physik|volume=341|issue=13|pages=493-533|doi=10.1002/andp.19113411303|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k153397.image.f509}}</ref> that a relativistic theory of elasticity can be based on the assumption, that stresses arise when the condition of Born rigidity is broken.<ref name=pauli /> |
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Die engen Grenzen der Bornschen Starrheit führen einerseits zum [[Ehrenfestsches Paradoxon|Ehrenfestschen Paradoxon]], wonach eine Scheibe zwar auf Born-starre Weise gleichförmig rotieren kann, jedoch keiner beschleunigten Rotation unterworfen werden kann, ohne dass [[Kontinuumsmechanik|Deformationen]] auftreten. Scheiben können also nicht auf Born-starre Weise vom Ruhezustand aus in Rotation versetzt werden. Ein anderes Beispiel ist das [[Bellsches Raumschiffparadoxon|Bellsche Raumschiffparadoxon]], in dem die beiden Endpunkte eines Körper dasselbe Beschleunigungsprofil besitzen und in einem Inertialsystem gleichzeitig beschleunigt werden. Auch hier kann die Bornsche Starrheit nicht eingehalten werden, denn für den mitbeschleunigten Beobachter vergrößert sich der Abstand zwischen den Punkten, sodass Spannungen im Material entstehen. Allgemein zeigte Herglotz (1911),<ref>{{Cite journal|author=Herglotz, Gustav|year=1911|title=Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie|journal=Annalen der Physik|volume=341|issue=13|pages=493-533|doi=10.1002/andp.19113411303|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k153397.image.f509}}</ref> dass eine relativistische [[Elastizitätstheorie]] auf der Annahme begründet werden kann, dass Spannungen auftreten wenn die Bornsche Starrheit verletzt wird.<ref name=pauli /> |
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Several weaker substitutes have been proposed as rigidity conditions, such as by Noether (1910).<ref name=noether /> |
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Version vom 16. Oktober 2013, 20:49 Uhr
Die Bornsche Starrheit ist eine Konzept der speziellen Relativitätstheorie (SRT) und wurde erstmals 1909 von Max Born vorgeschlagen. Es ist eine der möglichen Antworten auf die Frage, inwieweit das Konzept der starren Körpers, das in der klassischen Mechanik von großer Bedeutung ist, auch im Rahmen der SRT anwendbar ist.
Theorie
Die Bornschen Starrheit ist dann erfüllt, wenn auch in beschleunigten Bezugssystemen der Abstand zwischen zwei Punkten lokal gleich bleibt, und somit aus Sicht eines relativ dazu bewegten Inertialsystems der Lorentzkontraktion unterworfen ist.[1] Dieser Zustand schränkt die möglichen Bewegungen eines ausgedehnten Körpers ein, und kann nur in Ausnahmefällen durch sorgfältige Anwendung von Kräften an verschiedenen Teilen des Körpers umgesetzt werden. Ein starrer Körper an sich würde nämlich im Widerspruch zur SRT sein, weil in einem solchen die Schallgeschwindigkeit unendlich wäre.
Die Grenzen der Bornschen Starrheit wurden 1910 von Gustav Herglotz[2] und Fritz Noether[3] aufgezeigt (Herglotz-Noether-Theorem). Es wurde demonstriert dass die Bewegung des gesamten Born-starren Körpers im Allgemeinen vollständig durch die beliebige Bewegung eines einzigen seiner Punkte bestimmt wird. Ausnahmen sind gemäß Herglotz nur bei Spezialfällen möglich, in denen die Weltlinien der Punkte eine konstante Krümmung aufweist. Diesem Theorem zufolge hat ein Born-starrer somit nur drei Freiheitsgrade.[4] Ein moderne Fassung des Herglotz-Noether-Theorem besagt, dass die rotatorische-starre Bewegung im Minkowski-Raum eine Killing-Bewegung sein muss.[5]
Die engen Grenzen der Bornschen Starrheit führen einerseits zum Ehrenfestschen Paradoxon, wonach eine Scheibe zwar auf Born-starre Weise gleichförmig rotieren kann, jedoch keiner beschleunigten Rotation unterworfen werden kann, ohne dass Deformationen auftreten. Scheiben können also nicht auf Born-starre Weise vom Ruhezustand aus in Rotation versetzt werden. Ein anderes Beispiel ist das Bellsche Raumschiffparadoxon, in dem die beiden Endpunkte eines Körper dasselbe Beschleunigungsprofil besitzen und in einem Inertialsystem gleichzeitig beschleunigt werden. Auch hier kann die Bornsche Starrheit nicht eingehalten werden, denn für den mitbeschleunigten Beobachter vergrößert sich der Abstand zwischen den Punkten, sodass Spannungen im Material entstehen. Allgemein zeigte Herglotz (1911),[6] dass eine relativistische Elastizitätstheorie auf der Annahme begründet werden kann, dass Spannungen auftreten wenn die Bornsche Starrheit verletzt wird.[4]
Einzelnachweise
- ↑ Born, Max: Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips. In: Annalen der Physik. 335. Jahrgang, Nr. 11, 1909, S. 1–56 (bnf.fr).
- ↑ Herglotz, Gustav: Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper. In: Annalen der Physik. 336. Jahrgang, Nr. 2, 1910, S. 393–415 (bnf.fr).
- ↑ Noether, Fritz: Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie. In: Annalen der Physik. 336. Jahrgang, Nr. 5, 1910, S. 919–944, doi:10.1002/andp.19103360504, bibcode:1910AnP...336..919N (bnf.fr).
- ↑ a b Pauli, Wolfgang: Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften. Band 5.2, 1921, Die Relativitätstheorie, S. 690–691.
- ↑ Giulini, Domenico: Minkowski Spacetime: A Hundred Years Later. Band 165. Springer, 2008, ISBN 978-90-481-3474-8, The Rich Structure of Minkowski Space, S. 83, arxiv:0802.4345.
- ↑ Herglotz, Gustav: Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 341. Jahrgang, Nr. 13, 1911, S. 493–533, doi:10.1002/andp.19113411303 (bnf.fr).
Weblinks
- Mathpages: Born Rigidity, Acceleration, and Inertia
- USENET Physics FAQ: The Rigid Rotating Disk in Relativity