Elastizitätstheorie

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Das Teilgebiet der Physik, das sich mit elastischen Verformungen und ihrer Beschreibung befasst, wird Elastizitätstheorie genannt. Sie bildet neben der Theorie des linear-viskosen Fluides die Basis der klassischen Materialtheorie in der Kontinuumsmechanik, auf der andere Theorien für Plastizität und Viskoplastizität aufbauen. Alle Materialien haben einen mehr oder weniger ausgeprägten elastischen Bereich, selbst Keramik, Wasser oder Luft. Hier kündigen sich bereits die beiden Hauptzweige der Elastizitätstheorie an: Die elastischen Fluide und die elastischen Festkörper. Während erstere auf hydrostatischen Druck elastisch reagieren, vermögen Festkörper auch auf einachsigen Zug/Druck und Scherung elastisch zu antworten.

Die Gesetze der Thermodynamik geben einen Rahmen vor, in dem sich reale Körper bewegen. Die mathematischen Gleichungen dieser Gesetze treffen keine Aussagen über die individuellen Eigenschaften der Körper und reichen daher nicht aus, die Bewegungen der Körper eindeutig zu bestimmen. Dazu bedarf es noch konstitutiver Gleichungen, die die materialspezifische Antwort des Körpers, z. B. auf eine äußere Kraft, beschreiben. In diesem Fall ist eine Beziehung zwischen den Verformungen des Körpers und den Reaktionskräften anzugeben. Beim elastischen Körper ist diese Beziehung ausschließlich von den gegenwärtigen Verformungen, nicht aber von der Vorgeschichte oder dem zeitlichen Ablauf (Geschwindigkeiten) abhängig. Dissipative Vorgänge wie plastisches Fließen oder Kriechen sind damit ausgeschlossen. Diese idealisierte Vorstellung trifft zumeist nur bei hinreichend kleinen und langsam vonstattengehenden Verformungen zu, die aber in vielen Anwendungen, insbesondere aus dem technischen Bereich, vorliegen. Wird der elastische Bereich verlassen, kommt es zu inelastischem Verhalten, beispielsweise zum viskosen Fließen, bei Festkörpern zu plastischem Fließen oder zu Brüchen, was von anderen Theorien, z. B. der Plastizitätstheorie, behandelt wird.

Richtungsabhängigkeiten des Materials wie transversale Isotropie oder materielle Zwangsbedingungen wie Inkompressibilität kommen in der Elastizität, aber auch bei anderem Materialverhalten vor.

Einleitung[Bearbeiten]

Makroskopisches Verhalten[Bearbeiten]

Hauptartikel: Elastizität (Physik)
Kraft-Weg-Diagramm im einachsigen Zug-Versuch bei nichtlinearer Elastizität

Makroskopisch lassen sich folgende Eigenschaften an einem elastischen Körper beobachten:

  • Bei gegebener Verformung (Fluide: Volumenänderung) haben die Reaktionskräfte (der Druck) unabhängig von der Vorgeschichte immer denselben Wert.
  • Ist der Ausgangszustand unbelastet, so wird dieser nach jedweder Verformung wieder eingenommen, wenn die Belastungen entfernt werden. Bei elastischen Flüssigkeiten und Gasen ist der Zustand durch das eingenommene Volumen bestimmt, das unter gleichen Bedingungen immer gleich ist.
  • Das Materialverhalten ist geschwindigkeitsunabhängig. Die Geschwindigkeit, mit der eine Verformung (Fluide: Volumenänderung) stattfindet, hat keinen Einfluss auf den Widerstand (Druck), den der Körper der Verformung entgegensetzt.
  • Im einachsigen Zugversuch erfolgen Be- und Entlastung stets entlang des gleichen Weges so wie im nebenstehenden Bild. Bei Flüssigkeiten und Gasen entspricht das einem Kompressions- und Expansionsversuch.
  • Die aufgewendete Verformungsarbeit (Fluide: Kompressionsarbeit) wird vollständig als Verzerrungsenergie im Körper gespeichert. Die Arbeit ist somit reversibel.

Die ersten vier Eigenschaften charakterisieren die Cauchy-Elastizität. Wenn zusätzlich noch die letzte Eigenschaft vorliegt, dann ist das Material hyperelastisch.

Kontinuumsmechanische Theorie[Bearbeiten]

Die wesentliche Eigenschaft der Elastizität wurde bereits genannt: Ist der Widerstand gegen Verformung ausschließlich von der gegenwärtigen Verformung, nicht aber von deren Vorgeschichte oder der Verformungsgeschwindigkeit abhängig, liegt Elastizität, genauer sogenannte Cauchy-Elastizität, vor. An der Cauchy-Elastizität können bereits wesentliche Kriterien für die Invarianz der Materialgleichungen gegenüber einer euklidischen Transformation aufgestellt werden. Hier schlägt sich die Erfahrung nieder, dass ein bewegter Beobachter immer dasselbe Materialverhalten misst wie ein ruhender. Im Fall der Isotropie kann zusätzlich gezeigt werden, dass die Spannungen im Körper auf Grund von Verformungen eine isotrope Tensorfunktion der lokalen Verzerrungen sind. Bei linearer Cauchy-Elastizität ist der Elastizitätstensor im Allgemeinen unsymmetrisch und die Beschreibung des Materials benötigt bis zu 36 Parameter. Obwohl die Spannungen in einem Cauchy-elastischen Material vom zurückgelegten Verformungsweg unbeeinflusst sind, kann die auf verschiedenen Verformungswegen (mit gleichem Start- und Endpunkt) geleistete Formänderungsarbeit unterschiedlich groß ausfallen. In Abwesenheit eines Dissipationsmechanismus widerspricht dies thermodynamischen Prinzipien.

Wegunabhängigkeit der Formänderungsarbeit und somit Einklang mit den thermodynamischen Prinzipien führt zu Hyperelastizität, bei der die Spannungen in einer Potenzialbeziehung zu den Dehnungen stehen. Alle Cauchy-elastischen Flüssigkeiten und Gase sind automatisch auch hyperelastisch. Das gilt nicht für Feststoffe, bei denen die Hyperelastizität ein echter Spezialfall der Cauchy-Elastizität ist. Das Potenzial ist die Formänderungsenergie, aus der sich die Spannungen durch Ableitung nach den Dehnungen berechnen. Bei der linearen Hyperelastizität sind die Spannungen als erste Ableitung des Skalarpotenzials linear in den Dehnungen und der Elastizitätstensor ist als zweite Ableitung konstant. Weil bei zwei Ableitungen hintereinander die Reihenfolge der Ableitungen vertauschbar ist, ist der Elastizitätstensor symmetrisch und besitzt ein linear-hyperelastischer Festkörper maximal 21 Parameter.

Mathematische Theorie[Bearbeiten]

Eine plausible Forderung an die Formänderungsenergie ist, dass sie bei unendlich großer Dehnung gegen unendlich strebt, die Formänderungsenergie also eine koerzitive Funktion der Dehnungen ist. Die Polykonvexität (in engl. Wikipedia) nach John M. Ball[1] und Koerzitivität der Formänderungsenergie garantieren die Existenz einer die Formänderungsenergie minimierenden Deformation. Für isotrope Hyperelastizität liegen eine Reihe von Formänderungsenergiefunktionen vor, die polykonvex und koerzitiv sind[2]. Für den Fall anisotroper Hyperelastizität stellte John M. Ball die Frage[3]: „Are there ways of verifying polyconvexity [. . .] for a useful class of anisotropic stored-energy functions?“ (zu Deutsch: Gibt es Wege die Polykonvexität [. . .] für eine nützliche Klasse von anisotropen Formänderungsenergiefunktionen nachzuweisen?“) Die Suche nach der Antwort auf diese Frage ist noch im einundzwanzigsten Jahrhundert Gegenstand reger Forschungsaktiviät.

Detaillierte Ausführung[Bearbeiten]

Elastische Fluide[Bearbeiten]

Fluid ist der Sammelbegriff für Flüssigkeiten und Gase. Die elastische Flüssigkeit ist auch als ideale Flüssigkeit oder Euler-Flüssigkeit bekannt und das elastische Gas ist das ideale Gas. Innere Reibung, die sich in Viskosität und damit in Schubspannungen zeigen würde, wird in elastischen Fluiden vernachlässigt, weshalb der Spannungstensor dort Diagonalgestalt hat. Des Weiteren ist jedes Fluid auch isotrop. Wird nun ein Fluid gedanklich in zwei Teile zerschnitten, dann bilden sich an den Schnittflächen Schnittspannungen aus, die senkrecht zur Schnittfläche sind, denn der Druck in einem elastischen Fluid wirkt immer senkrecht auf begrenzende Flächen. Nun muss in einer isotropen Flüssigkeit die Normalspannung für alle Orientierungen der Schnittfläche dieselbe sein. Dies ist aber nur dann möglich, wenn der Spannungstensor ein Vielfaches des Einheitstensors ist:

\boldsymbol{\sigma} = -p(\rho) \mathbf{I}

In einem elastischen Fluid ist der Cauchy’sche Spannungstensor \boldsymbol{\sigma} ein Drucktensor, der proportional zum Einheitstensor \mathbf{I} ist und der durch den hydrostatischen Druck p als Funktion der Dichte \rho bestimmt wird. Der denkbar einfachste Zusammenhang zwischen Druck und Dichte ist die Proportionalität

p(\rho) = (\textsf{R\,T})\,\rho,

die das ideale Gas definiert, in dem der Proportionalitätsfaktor das Produkt aus einem Materialparameter R und der absoluten Temperatur T ist. Je niedriger der Druck und je höher die Temperatur ist, desto mehr verhält sich ein reales Gas wie ein ideales. Mit Virialkoeffizienten B_i kann die Ideale-Gas-Gleichung zu

p(\rho) = k T \sum_{i=1}^N B_i(T)\rho^i

erweitert werden, um so auch reale Gase und Phasenübergänge zu beschreiben. Der Faktor k ist die Boltzmann-Konstante. Jedoch ist auch diese Gleichung nur für verdünnte Gase geeignet.[4]

Alternativ kann der Druck auch als Funktion des spezifischen Volumens v:=\rho^{-1} formuliert werden, wie z. B. in der van-der-Waals-Gleichung

p(\rho)= p(v^{-1})=\bar{p}(v) = \frac{R T}{v - b} - \frac{a}{v^2} \quad,\quad v > b

mit Materialparametern a, b und R.

Hyperelastizität von Fluiden[Bearbeiten]

Hauptartikel: Hyperelastizität

Ein elastisches Fluid ist auch hyperelastisch, denn die spezifische Spannungsleistung l_i ist wegen

l_i := \frac{1}{\rho} \boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d}
= -\frac{1}{\rho} p(\rho) \mathbf{I}:\mathbf{d}
= -\frac{1}{\rho} p(\rho) \operatorname{div}(\vec{v})
= p(\rho) \frac{\dot{\rho}}{\rho^2}
= - \bar{p}(v)\, \dot{v}
=: \dot{w}(v)

die materielle Zeitableitung einer skalaren Funktion w, was nur in hyperelastischen Materialien der Fall ist. In der Gleichungskette wurde das Frobenius-Skalarprodukt „:“ des Drucktensors mit dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d benutzt, der der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten l ist. Dessen Spur

\operatorname{Sp}(\mathbf{l}) = \mathbf{I:l} = \mathbf{I:d} = \operatorname{div}(\vec{v})

ist gleich der Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes \vec{v} und diese Divergenz ist aufgrund der lokalen räumlichen Massenbilanz

\dot{\rho} + \rho \operatorname{div}(\vec{v}) = 0
\quad\rightarrow\quad
\operatorname{div}(\vec{v}) = -\frac{\dot{\rho}}{\rho}

eine Funktion der Dichte und ihrer materiellen Zeitableitung. Nach der Umformulierung p(\rho)= p(v^{-1})=:\bar{p}(v) ergab sich schließlich die spezifische Formänderungsenergiedichte

w(v) := -\int \bar{p}(v)\, \mathrm{d}v
\quad\leftrightarrow\quad
w'(v) = -\bar{p}(v)
\quad\leftrightarrow\quad
\dot{w}(v) = -\bar{p}(v) \dot{v},

deren materielle Zeitableitung, wie in der Gleichungskette oben gezeigt, die spezifische Spannungsleistung des elastischen Fluides ist.

Inkompressible Flüssigkeiten[Bearbeiten]

In einer inkompressiblen elastischen Flüssigkeit ist die Dichte in guter Näherung konstant und der Druck ergibt sich nicht mehr aus der konstitutiven Gleichung sondern aus den Naturgesetzen und den Randbedingungen

\boldsymbol{\sigma} = -p(\vec{x},t) \mathbf{I},

kann aber immer noch vom Ort \vec{x} und der Zeit t abhängen.

Euler-Gleichungen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Euler-Gleichungen

Einsetzen des Drucktensors in die Impulsbilanz

\rho \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}
+ \operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}\right)=\rho \vec{k}+\operatorname{div}(\boldsymbol{\sigma})

führt auf die Euler-Gleichungen, die zusammen mit der Kontinuitätsgleichung reibungsfreie Strömungen modellieren. Der Vektor \vec{k} steht für eine Schwerebeschleunigung, die Differentialoperatoren \operatorname{div} und \operatorname{grad} sind die Divergenz bzw. der Gradient bezüglich der Raumkoordinaten. Die Produktregel besagt \operatorname{div}(-p\mathbf{I})=-\operatorname{grad}(p) und so entsteht schließlich die Euler-Gleichung:

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}
+ \operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}
+ \frac{1}{\rho} \operatorname{grad}(p) = \vec{k}

Elastische Festkörper[Bearbeiten]

Festkörper unterscheiden sich von Fluiden in zweierlei Hinsicht: Erstens vermögen sie im Gleichgewicht Scherkräften standzuhalten und zweitens können sie anisotrop sein. Die Elastizitätstheorie konzentriert sich auf die Spannungsdehnungsbeziehung an einem materiellen Punkt eines Körpers. Diese Beziehung kann in der Euler’schen oder in der Lagrange’schen Fassung bezüglich der räumlichen bzw. der materiellen Koordinaten beschrieben werden. Die materiellen Koordinaten sind die Koordinaten \vec{X}, die ein Partikel eines Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt t_0, zumeist in der undeformierten Ausgangslage, eingenommen hat. Die Verbindung zwischen den räumlichen und materiellen Koordinaten ist die Bewegungsfunktion \vec{\chi}:

\vec{x} = \vec{\chi}(\vec{X},t)
\quad\rightarrow\quad
\vec{X} = \vec{\chi}(\vec{X},t_0)

Der Spannungstensor im Lagrange’schen Bild, der zweite Piola-Kirchhoff’sche Spannungstensor, steht über den Deformationsgradienten \mathbf{F} mit dem Cauchy’schen Spannungstensor in Beziehung:

\tilde{\mathbf{T}} = \operatorname{det}(\mathbf{F})
\mathbf{F}^{-1}\cdot \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{F}^{\mathrm{T}-1}
\quad\leftrightarrow\quad
\boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf{F})}
\mathbf{F}\cdot\tilde{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{F}^\mathrm{T}

Die hochgestellten Indizes (*)T und (*)-1 bezeichnen die Transposition bzw. Invertierung und der Operator „det“ bezeichnet die Determinante. Als Dehnungsmaß sollen hier im Euler-Bild der Euler-Almansi Tensor \mathbf{e} und im Lagrange’schen Bild der Green-Lagrange’sche Verzerrungstensor \mathbf{E} benutzt werden:

\begin{array}{rcccc}
\mathbf{e}&:=&\frac{1}{2}(\mathbf{I - F}^{\mathrm{T}-1}\cdot\mathbf{F}^{-1})
&=& \mathbf{F}^{\mathrm{T}-1}\cdot\mathbf{E}\cdot\mathbf{F}^{-1}
\\
\mathbf{E}&:=&\frac{1}{2}(\mathbf{F}^\mathrm{T}\cdot\mathbf{F-I})
&=& \mathbf{F}^\mathrm{T}\cdot\mathbf{e}\cdot\mathbf{F}
\end{array}

Die spezifische Formänderungsarbeit ist das auf die Dichte \rho = \rho_0/\operatorname{det}(\mathbf{F}) bezogene Frobenius-Skalarprodukt „:“ des Spannungstensors mit dem Verzerrungstensor

w_i := \frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{e}
= \frac{1}{\rho_0}\tilde{\mathbf{T}}:\mathbf{E}

und besteht aus der Summe der Arbeiten der Spannungskomponenten an den Verzerrungskomponenten. Die Dichte \rho_0 im Ausgangszustand hängt nicht von der Zeit ab.

Cauchy-Elastizität[Bearbeiten]

Hauptartikel: Cauchy-Elastizität

Von den eingangs genannten fünf makroskopischen Eigenschaften elastischer Stoffe liegen alle bis auf die letzte bei Cauchy-Elastizität vor. Hauptmerkmal der Elastizität ist, dass die Spannungen ausschließlich eine Funktion der aktuellen Verzerrungen sind. Ein Material, bei dem dies der Fall ist, ist Cauchy-elastisch und ist daher mit Tensorfunktionen \mathfrak{G} definiert über:

\tilde{\mathbf{T}} = \tilde{\mathfrak{G}}(\mathbf{F})
\quad\leftrightarrow\quad
\boldsymbol{\sigma} = \mathfrak{G}(\mathbf{F})

Der Cauchy’sche und der zweite Piola-Kirchhoff’sche Spannungstensor sind also eindeutige Funktionen des aktuellen Deformationsgradienten. Wegen des Prinzips der materiellen Objektivität, demzufolge ein bewegter Beobachter immer dasselbe Materialverhalten misst wie ein ruhender (siehe Euklidische Transformation), ist in einem Cauchy-elastischen Material die Spannungsdehnungsbeziehung von der Form:

\tilde{\mathbf{T}} = \tilde{\mathfrak{F}}(\mathbf{E})
\quad\leftrightarrow\quad
\boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf{F})}
\mathbf{F}\cdot\tilde{\mathfrak{F}}(\mathbf{E})\cdot\mathbf{F}^\mathrm{T}

Die Tensorfunktion \tilde{\mathfrak{F}} liefert den zweiten Piola-Kirchhoff’schen Spannungstensor als Funktion des Green-Lagrange’schen Verzerrungstensors oder eines aus ihm ableitbaren Tensors.

Isotrope Cauchy-Elastizität[Bearbeiten]

Im wichtigen Sonderfall der Isotropie des elastischen Materials ist die Funktion \tilde{\mathfrak{F}} eine isotrope Tensorfunktion, die sich wie folgt darstellen lässt:

\tilde{\mathbf{T}} = \tilde{\mathfrak{F}}(\mathbf{E}) = \phi_0\bigl(\operatorname{I}_1(\mathbf{E}),\operatorname{I}_2(\mathbf{E}),
\operatorname{I}_3(\mathbf{E})\bigr)\mathbf{I}
+
\phi_1\bigl(\operatorname{I}_1(\mathbf{E}),\operatorname{I}_2(\mathbf{E}),
\operatorname{I}_3(\mathbf{E})\bigr)\mathbf{E}
+
\phi_2\bigl(\operatorname{I}_1(\mathbf{E}),\operatorname{I}_2(\mathbf{E}),
\operatorname{I}_3(\mathbf{E})\bigr)\mathbf{E\cdot E}

Die skalaren Funktionen \phi_{0,1,2} hängen von den Hauptinvarianten \operatorname{I}_{1,2,3} des Verzerrungstensors ab. Im Euler-Bild wird eine Beziehung zwischen dem Cauchy’schen Spannungstensor und dem linken Cauchy-Green Tensor \mathbf{b}:=\mathbf{F\cdot F}^\mathrm{T} vorgezogen:

\boldsymbol{\sigma} = \mathfrak{F}(\mathbf{b}) = \psi_0\bigl(\operatorname{I}_1(\mathbf{b}),\operatorname{I}_2(\mathbf{b}),
\operatorname{I}_3(\mathbf{b})\bigr)\mathbf{I}
+
\psi_1\bigl(\operatorname{I}_1(\mathbf{b}),\operatorname{I}_2(\mathbf{b}),
\operatorname{I}_3(\mathbf{b})\bigr)\mathbf{b}
+
\psi_2\bigl(\operatorname{I}_1(\mathbf{b}),\operatorname{I}_2(\mathbf{b}),
\operatorname{I}_3(\mathbf{b})\bigr)\mathbf{b\cdot b}

Hier liegt Kommutativität vor:

\mathbf{b}\cdot\mathfrak{F}(\mathbf{b}) =\mathfrak{F}(\mathbf{b})\cdot\mathbf{b}
Lineare Cauchy-Elastizität[Bearbeiten]

In der linearen Cauchy-Elastizität sind die Spannungen eine lineare Funktion der Dehnungen, was mit einem konstanten Steifigkeitstensor vierter Stufe dargestellt werden kann:

\tilde{\mathbf{T}} = \stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{E}

Diese lineare Beziehung kann bezüglich einer Orthonormalbasis in voigtscher Notation aufgeschrieben werden:

\begin{bmatrix}
\tilde{\sigma}_{11} \\ \tilde{\sigma}_{22} \\ \tilde{\sigma}_{33} \\
\tilde{\sigma}_{12} \\ \tilde{\sigma}_{13} \\ \tilde{\sigma}_{23}\end{bmatrix}
=
\underbrace{\begin{bmatrix}
C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1112} & C_{1113} & C_{1123}\\
C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2212} & C_{2213} & C_{2223}\\
C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3312} & C_{3313} & C_{3323}\\
C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1212} & C_{1213} & C_{1223}\\
C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1312} & C_{1313} & C_{1323}\\
C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2312} & C_{2313} & C_{2323}
\end{bmatrix}}_{=:C}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\
2\varepsilon_{12} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{23}\end{bmatrix}

Die Komponenten \tilde{\sigma}_{ij} gehören zum Spannungstensor und \varepsilon_{ij} zum Verzerrungstensor. Die Steifigkeitsmatrix C mit den Komponenten C_{ijkl} ist also bei anisotroper, linearer, Cauchy-Elastizität voll besetzt und im Allgemeinen unsymmetrisch. Ein linear-Cauchy-elastisches Material hat also maximal 6 × 6 = 36 Materialparameter.

Hyperelastizität von Feststoffen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Hyperelastizität

Obwohl die Spannungen in einem Cauchy-elastischen Material vom zurückgelegten Verformungsweg unbeeinflusst sind, kann die auf verschiedenen Verformungswegen geleistete Formänderungsarbeit unterschiedlich groß ausfallen. In Abwesenheit eines Dissipationsmechanismus steht dies in Widerspruch zu thermodynamischen Prinzipien. Die Hyperelastizität, die alle oben genannten makroskopischen Eigenschaften – auch den letzten – modelliert, vermeidet diesen Widerspruch. Hyperelastizität ist ein Spezialfall der Cauchy-Elastizität und deshalb treffen die dort ausgearbeiteten Eigenschaften auch auf die Hyperelastizität zu.

Ronald Rivlin und Melvin Mooney entwickelten die ersten hyperelastischen Modelle, das Neo-Hooke- und Mooney-Rivlin-Modell. Andere oft benutzte hyperelastische Materialmodelle sind das Ogden- und Arruda-Boyce-Modell.

Der vielleicht bekannteste elastische Feststoff, der großen Verformungen standhält, ist Gummi und dessen Reaktionen können in guter Näherung mit Hyperelastizität beschrieben werden. Auch biologische Gewebe werden oft mit Hyperelastizität modelliert.[5] Wenn die aufgewandte Verformungsarbeit vollständig als Verzerrungsenergie gespeichert wird, wie oben postuliert, dann liegen zusätzliche Eigenschaften vor:

  • Wegunabhängigkeit: Die Arbeit, die entlang eines Verformungsweges verrichtet wird, ist nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, nicht aber von seinem Verlauf abhängig.
  • Konservativität: Entlang eines geschlossenen Verformungsweges wird keine Arbeit verrichtet oder Energie verbraucht. Aufgewandte Arbeiten werden vom Körper bis zur Rückkehr zum Ausgangspunkt vollständig zurückgegeben. Die Abwesenheit von Dissipation folgt auch daraus, dass die Verformungsleistung exakt die Rate der Formänderungsarbeit ist.

Dieses Verhalten wird mit einem Skalarpotential, der spezifischen Verzerrungsenergie, modelliert, über die sich die Spannungen als Ableitung[6] nach den Verzerrungen ergeben:

\tilde{\mathbf{T}}
=\rho_{0}\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{E}}
\quad\leftrightarrow\quad
\boldsymbol{\sigma} = \rho \mathbf{F}\cdot
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{E}}
\cdot\mathbf{F}^\mathrm{T}

Manchmal[5] wird statt der spezifischen Formänderungsenergie die auf das Volumen bezogene Formänderungsenergie \psi=\rho_{0}w benutzt. Weil \rho_{0} ein konstanter Faktor ist, können die Formeln, die sich aus der auf die Masse oder das Volumen bezogenen Formänderungsenergie ergeben, leicht ineinander umgerechnet werden. Die Darstellung hier folgt Haupt.[7]

Verformungsarbeit[Bearbeiten]

Im Kontinuum beläuft sich die Spannungsarbeit entlang eines Weges im Verzerrungsraum auf

\begin{array}{rcl}
a
&:=&\displaystyle
\int_{\mathbf{e}_{0}}^{\mathbf{e}_{1}}\boldsymbol{\sigma}:\mathrm{d}\mathbf{e}
=\int_{\mathbf{E}_{0}}^{\mathbf{E}_{1}} \rho \left(\mathbf{F}\cdot
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{E}}
\cdot\mathbf{F}^\mathrm{T}\right):
(\mathbf{F}^{\mathrm{T}-1}\cdot\mathrm{d}\mathbf{E \cdot F}^{-1})
\\
&=&\displaystyle
\int_{\mathbf{E}_{0}}^{\mathbf{E}_{1}}\rho_{0}
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{E}}:\mathrm{d}\mathbf{E}
=\rho_{0}[w(\mathbf{E})]_{\mathbf{E}_{0}}^{\mathbf{E}_{1}}
=\rho_{0}\bigl(w(\mathbf{E}_{1})-w(\mathbf{E}_{0})\bigr),
\end{array}

was die Wegunabhängigkeit und Konservativität (im Sonderfall \mathbf{E}_{1}
=\mathbf{E}_{0}\leftrightarrow \mathbf{e}_{1}=\mathbf{e}_{0}) nachweist.

Verformungsleistung[Bearbeiten]

Die pro Zeiteinheit erbrachte Formänderungsarbeit ist im Kontinuum die Leistung der Spannungen an den Verzerrungsgeschwindigkeiten d:

\begin{array}{rcl}
\mathbf{d} &=&
\mathbf{F}^{\mathrm{T}-1}\cdot\dot{\mathbf{E}}\cdot \mathbf{F}^{-1}
= \frac{1}{2}(\dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1}
+ \mathbf{F}^{\mathrm{T}-1}\cdot\dot{\mathbf{F}}^\mathrm{T})
\\
l_{i}
&:=&\displaystyle
\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d}
= \left(\mathbf{F}\cdot\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{E}}
\cdot\mathbf{F}^\mathrm{T}\right):
(\mathbf{F}^{\mathrm{T}-1}\cdot\dot{\mathbf{E}}\cdot \mathbf{F}^{-1})
=\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{E}}:
\frac{\mathrm{d}\mathbf{E}}{\mathrm{d}t}
=\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t}
=\dot{w},
\end{array}

d. h., die spezifische Spannungsleistung l_{i} ist bei Hyperelastizität die materielle Zeitableitung der spezifischen Formänderungsenergie.

Die Umkehrung gilt auch: Gibt es eine skalare Funktion w, sodass die spezifische Spannungsleistung die materielle Zeitableitung dieser Funktion ist, dann ist das Material hyperelastisch. Die Hyperelastizität von elastischen Fluiden ist eine Folge hiervon.

Inkompressibilität[Bearbeiten]

Viele gummielastische Körper sind in guter Näherung inkompressibel und daher lohnt es sich, diesen Fall näher zu betrachten. Bei Inkompressibilität ist die Dichte zeitlich konstant – \rho =\rho_{0} – und die Spannungen enthalten einen unbestimmten Druckanteil:

\boldsymbol{\sigma}
=
-p \mathbf{I}
+\rho_{0}\mathbf{F} \cdot \dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{E}}
 \cdot \mathbf{F}^\mathrm{T}

Der Druck p ist eine zusätzliche, nicht konstitutive Variable, die als Lagrange’scher Multiplikator zur Sicherstellung der Nebenbedingung \operatorname{det}(\mathbf{F})\equiv 1 eingeführt wird und der sich im konkreten Berechnungsfall aus den Naturgesetzen und den Randbedingungen ergibt.

Lineare Hyperelastizität[Bearbeiten]

In der linearen Hyperelastizität kommen die Verzerrungen in w quadratisch vor. Die Spannungen

\tilde{\mathbf{T}} = \rho_{0}\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{E}}

sind daher linear in den Verzerrungen und der Steifigkeitstensor vierter Stufe, der sich aus der zweiten Ableitung nach den Verzerrungen berechnet, ist konstant:


\stackrel{4}{\mathbf{C}}
:=
\dfrac{\mathrm{d}\tilde{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}\mathbf{E}}
=
\rho_{0}\dfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}\mathbf{E}^2}
= \textsf{const.}
\quad\rightarrow\quad
\tilde{\mathbf{T}}
=
\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{E}
\quad\rightarrow\quad
w = \frac{1}{2 \rho_0} \mathbf{E}:\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{E}

Bezüglich einer Orthonormalbasis \vec{e}_{1,2,3} lauten die Komponenten des Steifigkeitstensors:

C_{ijkl}
= \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}E_{ij}\mathrm{d}E_{kl}}
= \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}E_{kl}\mathrm{d}E_{ij}}
= C_{klij},

weil sich die Reihenfolge der Ableitung vertauschen lässt. Die in der Cauchy-Elastizität noch unsymmetrische Steifigkeitsmatrix ist in der Hyperelastizität also symmetrisch:

\begin{bmatrix}
\tilde{\sigma}_{11} \\ \tilde{\sigma}_{22} \\ \tilde{\sigma}_{33} \\
\tilde{\sigma}_{12} \\ \tilde{\sigma}_{13} \\ \tilde{\sigma}_{23}\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1112} & C_{1113} & C_{1123}\\
     & C_{2222} & C_{2233} & C_{2212} & C_{2213} & C_{2223}\\
     &     & C_{3333} & C_{3312} & C_{3313} & C_{3323}\\
     &     &     & C_{1212} & C_{1213} & C_{1223}\\
     &\textsf{sym.} &   &     & C_{1313} & C_{1323}\\
     &     &     &     &     & C_{2323}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\
2\varepsilon_{12} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{23}\end{bmatrix},

weswegen ein linear-hyperelastisches Material maximal (6 × 7)/2 = 21 Materialparameter besitzt. Bei der Orthotropie, transversalen Isotropie und Isotropie reduziert sich die Anzahl der maximal notwendigen Parameter weiter von neun über fünf auf zwei.

Isotrope Hyperelastitzität[Bearbeiten]

Wenn das Materialverhalten nicht richtungsabhängig ist, dann ist das Material isotrop. Zumeist wird dann die Potentialbeziehung


l_{i} = \dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}}:\dot{\mathbf{b}}
=: \dfrac{1}\rho \boldsymbol{\sigma}: \mathbf{d}
\quad\rightarrow\quad
\boldsymbol{\sigma}
=
2\rho \mathbf{b} \cdot \dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}}

herangezogen. Bei Inkompressibilität ist 
\operatorname{det}(\mathbf{F})
=\sqrt{\operatorname{det}(\mathbf{b})}
=1 und daher \rho = \rho_0 und

\boldsymbol{\sigma}
=-p\mathbf{I}+2\rho_{0}\mathbf{b}\cdot \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}}.

Die Formänderungsenergie hängt nur von den Hauptinvarianten des linken Cauchy-Green Tensors \mathbf{b} ab und die Ableitung der Formänderungsenergie ist eine isotrope Tensorfunktion.

Hookesches Gesetz[Bearbeiten]
Hauptartikel: Hookesches Gesetz

Die spezifische Formänderungsenergie, die auf das Hookesche Gesetz führt, lautet:

w(\mathbf{E})
=
\frac{G}{\rho_{0}} \left[\mathbf{E}: \mathbf{E}
+\frac{\nu}{1-2\nu}\mathrm{Sp}{(\mathbf{E})}^{2}\right]
\quad\rightarrow\quad
\tilde{\mathbf{T}}
=
\rho_{0}\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{E}}
=2G\left[\mathbf{E}+\frac{\nu}{1-2\nu}\mathrm{Sp}(\mathbf{E})\textbf{I}\right]

Der Materialparameter G ist der Schubmodul und \nu die Querkontraktionszahl. Dieses Modell verallgemeinert das Hookesche Gesetz auf große Deformationen, liefert aber nur bei moderaten Dehnungen plausible Antworten. Es approximiert aber jedwedes isotrop hyperelastische Material bei kleinen Dehnungen in erster Ordnung.

Mooney-Rivlin-Modell[Bearbeiten]

Eine Approximation zweiter Ordnung für inkompressible isotrop hyperelastische Materialien stellt das Mooney-Rivlin-Modell dar:

w
=\frac{C_{10}}{2\rho_{0}} \bigl(\mathrm{I}_{1}(\mathbf{b})-3\bigr)
+\frac{C_{01}}{2\rho_{0}} \bigl(\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b})-3\bigr)
\quad\rightarrow\quad
\boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I} + C_{10} \mathbf{b} - C_{01}\mathbf{b}^{-1}

mit Parametern C_{10}, C_{01}, die beide nicht negativ sein dürfen. Der Spezialfall C_{01}=0 führt auf das Neo-Hooke-Modell:

w
=\frac{C_{10}}{2\rho_{0}} \bigl(\mathrm{I}_{1}(\mathbf{b})-3\bigr)
\quad\rightarrow\quad
\boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I} + C_{10} \mathbf{b}
Anisotrope Hyperelastizität[Bearbeiten]

Eine Formänderungsenergie für anisotrope Hyperelastizität kann mit tensoriellen Strukturvariablen \mathbf{M}_{i} formuliert werden:

w=w(\mathbf{E},\mathbf{M}_{1},\mathbf{M}_{2},\ldots)

Allerdings ist es im Allgemeinen nicht einfach, diese Strukturvariablen aufzufinden, die Tensoren zweiter, vierter oder sechster Stufe sein können. Darstellungen zu den 32 existierenden Kristallklassen in Tensoren und Matrizen findet man in der Literatur.[8]

Stabilität und Existenz des Energieminimums[Bearbeiten]

Die Stabilität eines hyperelastischen Materialmodells kann mit der Polykonvexität (in engl. Wikipedia) der Formänderungsenergiefunktion nachgewiesen werden[9] und ist eng mit dem Nachweis der Existenz einer Lösung eines Randwertproblems aus hyperelastischen Körpern mit der Finite-Elemente-Methode verbunden. Zur Beschreibung von isotropen Materialien existieren einige Energiefunktionen, z. B. das genannte Mooney-Rivlin- und Neo-Hooke-Modell, die die Polykonvexitätsbedingung erfüllen.[10]

Für den Fall der Anisotropie stellte John M. Ball die Frage:[11] „Are there ways of verifying polyconvexity and quasiconvexity for a useful class of anisotropic stored-energy functions?“ (zu Deutsch: „Gibt es Wege, die Polykonvexität und Quasikonvexität für eine nützliche Klasse von anisotropen Formänderungsenergiefunktionen nachzuweisen?“). Die Suche nach der Antwort auf diese Frage dauert im 21. Jahrhundert an.

Navier-Cauchy-Gleichungen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Navier-Cauchy-Gleichungen

Die Bewegungsgleichungen in der linearen Elastizität heißen Navier-Cauchy-, Navier- oder Lamé-Gleichungen. Hier wird sowohl geometrische als auch physikalische Linearität (lineare Hyperelastizität in Form des Hookeschen Gesetzes) vorausgesetzt. Als Folge der geometrischen Linearisierung werden die räumlichen und materiellen Koordinaten gleichgesetzt, entfällt eine Unterscheidung zwischen dem Cauchy’schen und dem zweiten Piola-Kichhoff’schen Spannungstensor und der konvektiv-nichtlineare Term in der lokalen räumlichen Impulsbilanz entfällt:

\rho \ddot{\vec{u}}=\rho \vec{k}+\operatorname{div}(\boldsymbol{\sigma})

Der Verschiebungsvektor ist der Differenzvektor zwischen der momentanen Position eines Partikels und seiner ursprünglichen: \vec{u}:=\vec{\chi}(\vec{X},t) - \vec{X} Der Vektor \vec{k} steht für eine Schwerebeschleunigung. Der Spannungstensor ergibt sich im Hookeschen Gesetz nun als Funktion des linearisierten Verzerrungstensors:

\begin{array}{rcl}
\boldsymbol{\varepsilon}
&:=&
\frac{1}{2}( \operatorname{grad}(\vec{u})+\operatorname{grad}(\vec{u})^\mathrm{T})
\\
\rightarrow\boldsymbol{\sigma}
&=&
2G\left[\boldsymbol{\varepsilon}+\frac{\nu}{1-2\nu}\mathrm{Sp}(\boldsymbol{\varepsilon})\textbf{I}\right]
\end{array}

In Kombination mit der obigen linearisierten Version der Impulsbilanz führt dies auf die Navier-Cauchy-Gleichungen:

\rho \ddot{\vec{u}}=G \left[ \Delta\vec{u}
+ \frac{1}{1-2\nu} \operatorname{grad}\bigl(\operatorname{div}(\vec{u})\bigr)\right]
+ \rho \vec{k}

Darin ist \Delta der Laplace-Operator. Bezüglich der Standardbasis \vec{e}_{1,2,3} ergeben sich drei gekoppelte Differentialgleichungen:

\rho \frac{\partial^2 u_{i}}{\partial t^2}
= G \sum_{k=1}^3 \left[ \frac{\partial^2 u_{i}}{\partial x_k^2}
+ \frac{1}{1-2\nu} \frac{\partial^2 u_{k}}{\partial x_i \partial x_k}\right] + \rho k_i
\;,\quad i=1,2,3

Siehe auch[Bearbeiten]

Fußnoten[Bearbeiten]

  1. J. M. Ball: Convexity conditions and existence theorems in non-linear elasticity, Archive for Rational Mechanics and Analysis 63 (1977), S. 337-403 und
    J. M. Ball: Constitutive inequalities and existence theorems in nonlinear elasto-statics. In
    R. J. Knops (Hrsg.): Herriot Watt Symposion: Nonlinear Analysis and Mechanics, Band 1. London : Pitman, 1977, S. 187-238, ISBN 0-273-01128-6; ISBN 0-273-08461-5
  2. S. Hartmann und P. Neff: Polyconvexity of generalized polynomial type hyperelastic strain energy functions for near incompressibility. In: International Journal of Solids and Structures 40 (2003), S. 2767–2791
  3. J. M. Ball: Some open problems in elasticity. In P. Newton, P. Holmes (2002), S. 3-59
  4. Bestehorn [2006], S. 57.
  5. a b Z. B. in Holzapfel [2000].
  6. Die Frechet-Ableitung einer skalaren Funktion f nach einem Tensor \mathbf{T} ist der Tensor \mathbf{A} der – sofern er existiert – in alle Richtungen \mathbf{H} dem Gateaux-Differential entspricht, für den also
    \forall\;\mathbf{H}\colon\quad
\mathbf{A} \cdot \mathbf{H}
=\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}f(\mathbf{T}+s \mathbf{H})\right|_{s=0}
= \lim_{s\rightarrow 0}
\frac{f(\mathbf{T}+s \mathbf{H})-f(\mathbf{T})}{s}
    gilt. Der Skalar s ist eine reelle Zahl. Dann wird auch
     \frac{\partial f}{\partial \mathbf{T}} = \mathbf{A}
    geschrieben.
  7. Haupt (2000), S. 326 ff.
  8.  Nye, JF: Physical Properties of Crystals. Oxford University Press, 1985.
     Voigt, W.: Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Kristalle in elementarer Darstellung. VDM Verlag Dr. Müller, 2007.
  9. J. M. Ball: Convexity conditions and existence theorems in non-linear elasticity. Archive for Rational Mechanics and Analysis 63 (1977), S. 337-403.
    J. M. Ball: Constitutive inequalities and existence theorems in nonlinear elasto-statics. In: R. J. Knops (Hrsg.): Herriot Watt Symposion: Nonlinear Analysis and Mechanics. Band 1. London, Pitman, 1977, S. 187-238, ISBN 0-273-01128-6; ISBN 0-273-08461-5.
  10. S. Hartmann und P. Neff: Polyconvexity of generalized polynomial type hyperelastic strain energy functions for near incompressibility. In: International Journal of Solids and Structures. 40 (2003), S. 2767–2791.
  11. J. M. Ball: Some open problems in elasticity. In: P. Newton, P. Holmes (2002), S. 3-59.

Literatur[Bearbeiten]

  •  H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
  •  M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6.
  •  P. G. Ciarlet: Mathematical Elasticity - Volume I: Three-Dimensional Elasticity. North-Holland, 1988, ISBN 0444-702598.
  •  P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2000, ISBN 3-540-66114-X.
  •  G. A. Holzapfel: Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering. Wiley, 2000, ISBN 978-0-471-82319-3.
  •  J. E. Marsden und J. R. Hughes: Mathematical Foundations of Elasticity. Prentice Hall, 1983, ISBN 978-0-486-67865-8.
  •  Paul Newton, Philip Holmes (Hrsg.): Geometry, Mechanics and Dynamics. Springer, 2002, ISBN 978-0-387-95518-6.
  •  M. Silhavy: The Mechanics and Thermodynamics of Continuous Media. Springer, 1997, ISBN 978-3-540-58378-3.