Kontinuumsmechanik

Die Kontinuumsmechanik ist ein Teilgebiet der Physik, das die Verformungsmechanik verschiedener Substanzen, beruhend auf der Betrachtung der Materie als Kontinuum, beschreibt.

Die Kontinuumsmechanik umfasst zum einen für Festkörper die Elastizitätstheorie und die Plastizitätstheorie, schließt aber auch die Hydrodynamik und die Gastheorie mit ein.

Übersicht

In der Kontinuumsmechanik wird vom mikroskopischen Aufbau der Materie, also zum Beispiel der Gitterstruktur kristalliner Festkörper und der molekularen Struktur von Flüssigkeiten, abgesehen und der Untersuchungsgegenstand als ein Kontinuum genähert.

Eine grundlegende Einteilung der Kontinuumsmechanik basiert auf der Unterscheidung zwischen elastischer (reversibler) und plastischer (irreversibler) Deformation oder Verformung. Bei Überschreitung des plastischen Fließvermögens kommt es zum Bruch des Festkörpers oder zum Zerreißen der Flüssigkeit. Bei der Deformation einer Flüssigkeit ist die Oberflächenspannung zu berücksichtigen.

Die Elastizitätstheorie beruht auf dem verallgemeinerten Hookeschen Gesetz, das einen linearen, tensoriellen Zusammenhang zwischen einer Verspannung und der daraus resultierenden Verzerrung des Kontinuums herstellt.

In der Plastizitätstheorie sind die Deformierungen nicht mehr reversibel. Obwohl dabei Festkörper betrachtet werden, spricht man bei den irreversiblen Veränderungen von "Fließen". Die Rheologie, die sich mit dem Fließverhalten von Materie beschäftigt, verwendet mikroskopisch viele Methoden der Kontinuumsmechanik.

Kinematik - Beschreibung von Deformation

Ausgangspunkt der Kontinuumsmechanik ist die mathematische Beschreibung von Verzerrungen und Spannungen.

Die in der Kontinuumsmechanik grundlegende Größe, auf der alle Beschreibungen von Deformationen und daraus resultierenden Reaktionen eines Körpers beruhen, ist der Deformationsgradient. Dieser ist ein Tensor und kann als Abbildung materieller Punkte von einer Konfiguration in eine andere betrachtet werden. Mithilfe des Deformationsgradienten werden verschiedene Verzerrungsmaße als Verzerrungstensoren definiert. Ausgangspunkt der Kontinuumsmechanik ist somit die mathematische Beschreibung von Verzerrungen und Spannungen.

Ein Spezialfall der elastischen Verformung ist die Dehnung eines Stabs in Längsrichtung. Naiv könnte man meinen, dass sich dieser Spezialfall eindimensional durch einen linearen Zusammenhang zwischen ausgeübter Kraft und resultierender Längenänderung beschreiben lässt. Tatsächlich aber führt die ausgeübte eindimensionale Belastung bereits zu einer mehrdimensionalen Verzerrung, da sich auch der Durchmesser des Stabs ändert (Querkontraktion). Deshalb ist selbst in den einfachsten Fällen eine dreidimensionale, tensorielle Beschreibung von Verzerrungen erforderlich.

Wir betrachten eine Verzerrung, die ein Materieelement aus einem Punkt r in einen Punkt r'=r+u transportiert hat. Dieser Sachverhalt lässt sich durch ein Vektorfeld u(r) ausdrücken. Ein konstantes Feld u(r)=c entspricht einer Translation des Festkörpers als ganzem; ein Feld u(r)=A r (mit einer orthogonalen Matrix A) entspricht einer Drehung. Solche Verschiebungen bewirken keine innere Verzerrung. Eine Verzerrung tritt nur dann auf, wenn benachbarte Materieelemente in unterschiedlicher Weise verschoben werden; wenn sich also u(r) und u(r+dr) voneinander unterscheiden. Die Verformung des einzelnen Materieelements kann deshalb durch die partiellen Ableitungen der Komponenten von u nach den Komponenten von r beschrieben werden. Diese Ableitungen sind eine Möglichkeit, den Verzerrungstensor anschaulich zu erklären:

$\tilde\epsilon= \begin{pmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \end{pmatrix}.$

Seine Komponenten lauten beispielsweise in einer linearisierten Darstellung

$\begin{matrix} &\epsilon_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial r_x},\; \epsilon_{yy}=\frac{\partial u_y}{\partial r_y},\; \epsilon_{zz}=\frac{\partial u_z}{\partial r_z},\; \epsilon_{xy}=\epsilon_{yx}=\frac12\left(\frac{\partial u_x}{\partial r_y}+ \frac{\partial u_y}{\partial r_x}\right),\\ &\epsilon_{yz}=\epsilon_{zy}=\frac12\left(\frac{\partial u_y}{\partial r_z}+ \frac{\partial u_z}{\partial r_y}\right),\; \epsilon_{zx}=\epsilon_{xz}=\frac12\left(\frac{\partial u_z}{\partial r_x}+ \frac{\partial u_x}{\partial r_z}\right). \end{matrix}$

Die Symmetriebeziehungen $\epsilon_{xy}=\epsilon_{yx}$ usw. folgen aus der Forderung, dass Drehungen des gesamten Körpers unberücksichtigt bleiben sollen. Deshalb hat der Verzerrungstensor nur sechs unabhängige Komponenten.

Beschreibt man Verformungen eines Körpers, so legt man zunächst einen Zustand fest, welcher als unverformt oder als Referenzkonfiguration bezeichnet wird. Ausgehend von dieser Bezeichnung, beschreibt man den verformten Körper in der Momentankonfiguration. Lokal wird diese Verformung durch eine Taylorreihenentwicklung genähert und mithilfe des Deformationsgradienten beschrieben. Aus diesem Deformationsgradienten, der sowohl lokale Drehungen, als auch lokale Streckungen beschreibt, leitet man Dehnungs- und Verzerrungsmaße ab. Weiter werden über dem Körper mithilfe von Integralsätzen Feldgrößen, wie Kräfte oder Wärmeströme bilanziert und daraus Bilanzgleichungen für die Flussgrößen abgeleitet. Ein Beispiel für Bilanzgleichungen ist das klassische Kräftegleichgewicht, welches sowohl mit Bezug auf die Momentankonfiguration, als auch mit Bezug auf die Referenzkonfiguration aufgestellt werden kann. Nur aus Bilanzgleichungen und kinematischen Beziehungen lässt sich das Verhalten eines Materials nicht beschreiben. Für eine Beziehung zwischen bilanzierten Feldgrößen und Verzerrungskinematik ist ein Materialgesetz erforderlich. Im einfachen linear-elastischen Fall ist dies das Hookesche Gesetz.

Beschreibung von Spannungen

Siehe den Artikel Mechanische Spannung.

Werkstoffmodelle - Konstitutivgesetze - Spannungs-Dehnungs-Beziehungen

Die mechanischen Eigenschaften eines Materials können als der mathematische Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen ausgedrückt werden. Im einfachsten Fall, beschrieben durch das Hookesche Gesetz, ist dieser Zusammenhang linear: Die Verformung eines Materials ist linear zu einer angelegten äußeren Kraft.

Die lineare elastische Deformation

Siehe:

• Hookesches Gesetz
• Energieelastische Deformation

Die nichtlineare elastische Deformation

Bei der nichtlinearen elastischen Deformation ist die Verschiebung benachbarter Punkte des Kontinuums nicht proportional zum Abstand dieser Punkte. Die nichtlineare elastische Deformation kann beispielsweise an Gummi beobachtet werden, in diesem Zusammenhang spricht man von Gummielastizität oder auch Entropieeleastizität. In diesem Fall kann das Hookesche Gesetz nicht angewandt werden. Diese Situation ist in der Natur die Regel. Wo möglich wird versucht, dieses Problem in einer linearen Näherung zu behandeln. Insbesondere für kleine Deformationen $\epsilon$ ist diese Näherung häufig gerechtfertigt.

Die plastische Deformation

→ Hauptartikel: Plastizitätstheorie

In realen Medien ist jede Deformation nur bis zu einer gewissen Grenze elastisch. Wird diese Grenze überschritten, so tritt bei duktilen Materialien plastische Deformation (Plastisches Fließen) auf. Bei der plastischen Deformation kehrt der Körper mit dem Ausbleiben der für die Deformation verantwortlichen mechanischen Belastung nicht wieder in seine Ausgangsform zurück. In diesem Fall genügt die Angabe der Positionen von Punkten des Festkörpers nicht mehr zur Kennzeichnung des Zustands des Festkörpers, sondern es muss auch der Prozess berücksichtigt werden, d. h. $\tilde\epsilon$ ist in diesem Fall keine Zustandsgröße.

Im allgemeinen Fall kann die Deformation durch $\tilde\epsilon$ angegeben werden. Die Gesamtdeformation $\tilde\epsilon$ setzt sich aus einem elastischen Anteil $\tilde\epsilon^{\,\rm E}$, einem plastischen Anteil $\tilde\epsilon^{\,\rm P}$ und dem temperaturbedingten Anteil zusammen:

$\tilde\epsilon = \tilde\epsilon^{\,\rm E} + \tilde\epsilon^{\,\rm P} + \alpha \cdot T \cdot e\,.$

Elastisch-plastisches Materialverhalten kann beschrieben werden durch eine Fließbedingung, ein Fließgesetz, und ein Verfestigungsgesetz.

Literatur

• Becker, Ernst & Wolfgang Bürger: Kontinuumsmechanik, Teubner, 1975, 228 S., ISBN 3-519-02319-9.
• Greve, Ralf: Kontinuumsmechanik, Springer, 2003, 302 S., ISBN 3-540-00760-1.
• Popov, Valentin L.: Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation, Springer, 2009, 328 S., ISBN 978-3-540-88836-9.
• Sommerfeld, Arnold: Mechanik der deformierbaren Medien, Leipzig: Becker & Erler, 1945. - Vorlesungen über theoretische Physik; Band 2, 6. Auflage, Harri Deutsch, Thun 1992, ISBN 3-87144-375-1

Weblinks

 Wiktionary: Kontinuumsmechanik – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen