Freiheitsgrad

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Dieser Artikel beschreibt den Freiheitsgrad im Sinne physikalischer Systeme. Der Freiheitsgrad als Begriff der Statistik wird in Freiheitsgrad (Statistik) behandelt.

Als Freiheitsgrad F bzw. f, bei kinematischen Ketten auch Laufgrad, wird die Zahl der voneinander unabhängigen (und in diesem Sinne „frei wählbaren”) Bewegungsmöglichkeiten eines Systems bezeichnet. Ein starrer Körper im Raum hat demnach den Freiheitsgrad f = 6, denn man kann den Körper in drei voneinander unabhängige Richtungen bewegen (Translation) und in drei voneinander unabhängigen Ebenen drehen (Rotation). In dieser Bedeutung als Gesamtzahl der unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten kommt der Begriff Freiheitsgrad nur im Singular vor;[1] die einzelnen Bewegungsmöglichkeiten werden dann auch Freiheiten genannt.

In der Literatur und im allgemeinen Sprachgebrauch wird aber auch jede der unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten eines Systems als ein Freiheitsgrad bezeichnet.[2] Ein starrer Körper ohne Bindungen hat demnach drei Translationsfreiheitsgrade und drei Rotationsfreiheitsgrade.

Mechanik[Bearbeiten]

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Ein Doppelpendel, das sich in der Ebene bewegt, hat zwei Freiheitsgerade, weil zwei Winkel den Zustand vollständig beschreiben

Jeder Freiheitsgrad eines physikalischen Systems entspricht einer unabhängigen verallgemeinerten Koordinate, mit der das System beschrieben werden kann.

Was mit dem Wort „unabhängig” gemeint ist, sieht man an einem Beispiel: angenommen, ein Teilchen befindet sich in einer Ebene (z. B. auf einem Tisch) und kann sich in dieser Ebene nur entlang einer Geraden bewegen; ist beispielsweise die x-Koordinate des Teilchens bekannt, so lässt sich immer die dazugehörige y-Koordinate berechnen und andersherum. Das Teilchen besitzt dann nur einen Freiheitsgrad, weil eine unabhängige Koordinate (z. B. der Abstand auf der Linie von ihrem Anfang) die Position vollständig beschreibt.

Die Zahl der verallgemeinerten Koordinaten ist eine Systemeigenschaft. Beispielsweise hat ein freier Massenpunkt im Raum drei Translationsfreiheitsgrade. Ein starrer Körper hingegen besitzt zusätzlich noch drei Rotationsfreiheitsgrade, beschrieben durch Drehwinkel.

Gemäß der Grüblerschen Gleichung ist die Zahl der Freiheiten eines Systems, das aus vielen Teilsystemen gebildet wird, gleich der Summe der Freiheiten der Teilsysteme, sofern diese nicht durch Zwangsbedingungen eingeschränkt wird (z. B. Anhängerkupplung: der Anhänger kann sich nicht unabhängig vom Zugfahrzeug bewegen).

Ergebnis:

  • für f \geq 1 kann sich das System bewegen (Mechanismus)
    • für f > 1 ist das System in sich beweglich, d. h. die Bewegungen mehrerer Elemente müssen vorgegeben werden (z. B. mehrere Antriebe), damit die Bewegungen aller Elemente definiert sind.
    • für f = 1 liegt „Zwanglauf“ vor. Gibt man die Bewegung eines Elementes vor (z. B. ein Antrieb), sind auch die Bewegungen aller restlichen Elemente definiert.
  • für f \leq 0 kann sich das System nicht bewegen
    • für f = 0 liegt ein statisch bestimmtes System vor.
    • für f < 0 liegt ein statisch überbestimmtes System vor, in dem starke innere Spannungen auftreten können (es „klemmt“). Dies kann durch Zusatzbedingungen ggf. behoben werden.

Beispiel: Doppelpendel[Bearbeiten]

Zwei Punktmassen m_1 und m_2 haben im dreidimensionalen Raum jeweils drei Translationsfreiheitsgrade, insgesamt also sechs. Diese werden beim Doppelpendel jedoch durch mehrere Zwangsbedingungen eingeschränkt (s. Abb.):

  • m_1 befindet sich in der xy-Ebene (z_1 = 0), m_2 ebenso (z_2=0).
  • Außerdem sind die Stäbe der beiden Pendel starr (L_1 = \mathrm{const.} und L_2 = \text{const.}).

Diese vier Zwangsbedingungen reduzieren die Zahl der Freiheitsgrade auf f = 6 - 4 = 2. Für die Beschreibung des Systems genügen daher die beiden Winkel \theta_1 und \theta_2 als unabhängige Koordinaten.

Beispiel: Gelenke[Bearbeiten]

Im Gelenk eines Mechanismus sind zwei Teile miteinander beweglich verbunden. Der Freiheitsgrad f ist die Anzahl der möglichen Bewegungen, die das Gelenk ausführen kann. Dafür stehen prinzipiell die sechs Freiheiten des starren Körpers zur Verfügung. Mindestens eine davon wird im Gelenk unterbunden, daher stehen maximal fünf für eine technische Anwendung zur Verfügung. Mehr als drei Freiheiten werden mit Mehrfachgelenken erreicht.

Verschiedene Gelenke mit ihren Freiheitsgraden
Art des Gelenks Freiheitsgrad in der Abbildung
Drehgelenk f = 1 Figur 2
Schraubgelenk f = 1 Figur 3
Drehschubgelenk, Plattengelenk f = 3 Figur 5
Drehschubgelenk f = 2 Figur 6
Kugelgelenk f = 3 Figur 7

Siehe auch[Bearbeiten]

Thermodynamik und statistische Mechanik[Bearbeiten]

Dasselbe Konzept der Freiheitsgrade aus der Mechanik taucht auch in der statistischen Mechanik und Thermodynamik auf: Die Energie eines thermodynamischen Systems verteilt sich gemäß dem Äquipartitionstheorem gleichmäßig auf die einzelnen Freiheitsgrade. Die Zahl der Freiheitsgrade geht in die Entropie ein, die ein Maß für die Zahl der erreichbaren Zustände ist. Thermodynamische Systeme haben generell sehr viele Freiheitsgrade, etwa in der Größenordnung von 1023. Es können allerdings viele gleichartige Systeme mit jeweils nur wenigen Freiheitsgraden zustande kommen, zum Beispiel 1023 Atome mit effektiv (s. u.) je drei Freiheitsgraden.

Man kann die innere Energie U eines idealen Gases mit N Teilchen in Abhängigkeit von der Temperatur T und der Anzahl der Freiheitsgrade f eines Gasteilchens angeben. Allgemein gilt mit der Boltzmann-Konstante k_\mathrm{B}:

U=\frac{f}{2}Nk_\mathrm{B}T.

Im Fall eines einatomigen idealen Gases mit drei Freiheitsgraden pro Teilchen ergibt sich

U=\frac{3}{2}Nk_\mathrm{B}T.

Hierbei ist wichtig, dass zur Bestimmung von f Schwingungen doppelt gezählt werden, da sie sowohl kinetische als auch potentielle Energie besitzen (s. u.).

Aufgrund der diskreten Energieniveaus der Quantenmechanik können bei niedrigen Energien meist nicht alle Freiheitsgrade angeregt werden, da der erste angeregte Zustand bereits eine zu hohe Energie besitzt. Dadurch kann ein System bei einer gegebenen Energie effektiv weniger Freiheitsgrade haben. Zum Beispiel hat ein Atom bei Raumtemperatur effektiv nur die drei Translationsfreiheitsgrade, da die mittlere Energie so niedrig ist, dass atomare Anregungen praktisch nicht vorkommen.

Ein zweiatomiges Molekül wie molekularer Wasserstoff hat – neben den elektronischen Anregungen – sechs Freiheitsgrade: Drei der Translation, zwei der Rotation, und einen Schwingungsfreiheitsgrad (der allerdings bei der Berechnung der inneren Energie doppelt zählt). Rotation und Schwingung sind quantisiert und bei geringer Gesamtenergie eines Moleküls können energetisch höher liegende Rotations- und Schwingungsfreiheitsgrade nicht angeregt werden; man sagt, sie seien „eingefroren.” So verhalten sich die meisten zweiatomigen Gase wie zum Beispiel Wasserstoff, Sauerstoff oder Stickstoff unter Normalbedingungen effektiv so, als hätten die Einzelmoleküle nur fünf Freiheitsgrade, was sich am Adiabatenexponenten ablesen lässt. Bei hohen Temperaturen sind dem System alle Freiheitsgrade zugänglich.

Komplexe Moleküle besitzen sehr viele Freiheitsgrade

Komplexere Moleküle haben viel mehr Schwingungsfreiheitsgrade, und liefern somit einen höheren Beitrag zur Entropie.

Jedes Molekül mit n Atomen hat 3n Freiheitsgrade, weil man für jedes Atom drei Koordinaten braucht um seine Position zu definieren. Diese kann man formal in Translations-, Rotations- und innere Schwingungsfreiheitsgrade einteilen.

Hierbei gilt

  • für n-atomige lineare Moleküle:
3 Translationsfreiheitsgrade,
2 Rotationsfreiheitsgrade,
3n-5 Schwingungsfreiheitsgrade (enthalten kinetische und potentielle Energie, zählen daher bei der Berechnung der inneren Energie doppelt),
  • für n-atomige nicht lineare Moleküle:
3 Translationsfreiheitsgrade,
3 Rotationsfreiheitsgrade,
3n-6 Schwingungsfreiheitsgrade (enthalten kinetische und potentielle Energie, zählen daher bei der Berechnung der inneren Energie doppelt).

Ein Molekül mit A Atomen besitzt für die innere Schwingungsenergie allgemein

f_\mathrm{vib} = 3A - f_\mathrm{trans} - f_\mathrm{rot}

Schwingungsfreiheitsgrade.

Stoff Freiheitsgrade
Translation Rotation Schwingung (doppelt zu zählen) Summe
Gasmolekül, 1-atomig +3 +0 2×(3×1−3−0)=+0 03
Gasmolekül, 2-atomig +3 +2 2×(3×2−3−2)=+2 07
Gasmolekül, 3-atomig linear +3 +2 2×(3×3−3−2)=+8 13
Gasmolekül, 3-atomig gewinkelt +3 +3 2×(3×3−3−3)=+6 12
1 Atom im Festkörper +0 +0 2×(3×1−0−0)=+6 06

Die thermodynamischen Freiheitsgrade der Zustandsgrößen auf makroskopischer Ebene ergeben sich für beliebige Systeme im Gleichgewicht über die Gibbssche Phasenregel.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Wolfgang H. Müller, Ferdinand Ferber: Technische Mechanik für Ingenieure: Geeignet für die Bachelor-ausbildung
  2. Eberhard Brommundt, Gottfried Sachs, Delf Sachau: Technische Mechanik: Eine Einführung

Weblinks[Bearbeiten]