Freiheitsgrad

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Dieser Artikel beschreibt den Freiheitsgrad im Sinne physikalischer Systeme. Der Freiheitsgrad als Begriff der Statistik wird in Freiheitsgrad (Statistik) behandelt.

Mit Freiheitsgrad wird die Zahl der voneinander unabhängigen (und in diesem Sinne „frei wählbaren”) Bewegungsmöglichkeiten eines Systems bezeichnet. Ein starrer Körper im Raum hat demnach den Freiheitsgrad f=6, denn man kann den Körper in drei voneinander unabhängige Richtungen bewegen und in drei voneinander unabhängigen Ebenen drehen. In dieser Bedeutung als Gesamtzahl der unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten kommt der Begriff Freiheitsgrad nur im Singular vor.[1] Die einzelnen Bewegungsmöglichkeiten werden dann auch Freiheiten genannt. In der Literatur und im allgemeinen Sprachgebrauch wird aber auch jede der unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten eines Systems als ein Freiheitsgrad bezeichnet.[2] Ein starrer Körper ohne Bindungen hat demnach drei Translationsfreiheitsgrade und drei Rotationsfreiheitsgrade.

Mechanik[Bearbeiten]

Ein Doppelpendel, das sich in der Ebene bewegen kann hat zwei Freiheitsgerade, weil zwei Winkel den Zustand vollständig beschreiben

Jeder Freiheitsgrad eines physikalischen Systems entspricht einer unabhängigen verallgemeinerten Koordinate, mit der das System beschrieben werden kann. Was mit dem Wort „unabhängig” gemeint ist, sieht man an einem Beispiel: Angenommen ein Teilchen befindet sich in einer Ebene (z.B. auf einem Tisch) und kann sich in dieser Ebene nur entlang einer Geraden bewegen. Ist beispielsweise die x-Koordinate des Teilchens bekannt, so lässt sich immer die dazugehörige y-Koordinate berechnen und andersherum. Das Teilchen besitzt daher nur einen Freiheitsgrad, weil eine unabhängige Koordinate (beispielsweise der Abstand auf der Linie) die Position vollständig beschreibt.

Die Zahl der verallgemeinerten Koordinaten ist eine Systemeigenschaft. Beispielsweise hat ein freier Massenpunkt drei Translationsfreiheitsgrade. Ein starrer Körper hingegen besitzt neben den drei Translations- noch drei Rotationsfreiheitsgrade, letztere durch dessen Drehwinkel beschrieben.

Die Zahl der Freiheiten eines Systems, das aus vielen Teilsystemen gebildet wird, ist die Summe der Freiheiten der Teilsysteme, sofern diese nicht durch Zwangsbedingungen (z. B. Fahrzeugkupplung: Der Anhänger kann sich nicht unabhängig vom Zugfahrzeug bewegen) eingeschränkt wird.

  • ein Freiheitsgrad > 0 beschreibt ein in sich bewegliches System (Mechanismus).
  • ein Freiheitsgrad = 0 beschreibt ein statisch bestimmtes System.
  • ein Freiheitsgrad < 0 steht für ein statisch überbestimmtes System, in dem starke innere Spannungen auftreten können („klemmt“).

Beispiel: Doppelpendel[Bearbeiten]

Zwei Punktmassen m_1 und m_2 haben im dreidimensionalen Raum insgesamt sechs Freiheitsgrade. Diese werden jedoch beim Doppelpendel durch mehrere Zwangsbedingungen eingeschränkt (s. Abb.): m_1 befindet sich in der xy-Ebene (z_1=0), m_2 ebenso (z_2=0). Außerdem sind die Stäbe der beiden Pendel starr (L_1=\mathrm{const.} und L_2=\mathrm{const. }). Diese vier Zwangsbedingungen reduzieren die Zahl der Freiheitsgrade auf f=6-4=2. Für die Beschreibung des System genügen daher die beiden Winkel \theta_1 und \theta_2 als unabhängige Koordinaten.

Beispiel: Gelenke[Bearbeiten]

Im Gelenk eines Mechanismus sind zwei Teile miteinander beweglich verbunden. Der Freiheitsgrad f ist die Anzahl der möglichen Bewegungen, die das Gelenk ausführen kann. Dabei stehen die Freiheiten des starren Körpers zur Verfügung. Innerhalb eines Gelenks wird mindestens eine Freiheit unterbunden, maximal fünf Freiheiten stehen für eine technische Anwendung zur Verfügung. Mehr als drei Freiheiten werden mit Mehrfachgelenken erreicht.

Verschiedene Arten von Gelenken mit verschiedener Anzahl Freiheitsgrade.
  • Figur 2: Drehgelenk f=1
  • Figur 3: Schraubgelenk f=1
  • Figur 5: Drehschubgelenk, Plattengelenk f=3
  • Figur 6: Drehschubgelenk f=2
  • Figur 7: Kugelgelenk f=3

Thermodynamik und statistische Mechanik[Bearbeiten]

Dasselbe Konzept der Freiheitsgrade aus der Mechanik taucht auch in der statistischen Mechanik und Thermodynamik auf: Die Energie eines thermodynamischen Systems verteilt sich gemäß dem Äquipartitionstheorem gleichmäßig auf die einzelnen Freiheitsgrade. Die Zahl der Freiheitsgrade geht in die Entropie ein, die ein Maß für die Zahl der erreichbaren Zustände ist. Thermodynamische Systeme haben generell sehr viele Freiheitsgrade, etwa in der Größenordnung von 1023. Es können allerdings viele gleichartige Systeme mit jeweils nur wenigen Freiheitsgraden zustande kommen, zum Beispiel 1023 Atome mit effektiv (s.u.) je drei Freiheitsgraden.

Man kann die innere Energie U eines idealen Gases mit N Teilchen in Abhängigkeit von der Temperatur T und der Anzahl der Freiheitsgrade f eines Gasteilchens angeben. Allgemein gilt mit der Boltzmann-Konstante k:

U=\frac{f}{2}NkT.

Im Fall eines einatomigen idealen Gases mit drei Freiheitsgraden pro Teilchen ergibt sich

U=\frac{3}{2}NkT.

Hierbei ist wichtig, dass zur Bestimmung von f Schwingungen doppelt gezählt werden, da sie sowohl kinetische als auch potentielle Energie besitzen (s.u.).

Aufgrund der diskreten Energieniveaus der Quantenmechanik können bei niedrigen Energien meist nicht alle Freiheitsgrade angeregt werden, da der erste angeregte Zustand bereits eine zu hohe Energie besitzt. Dadurch kann ein System bei einer gegebenen Energie effektiv weniger Freiheitsgrade haben. Zum Beispiel hat ein Atom bei Raumtemperatur effektiv nur die drei Translationsfreiheitsgrade, da die mittlere Energie so niedrig ist, dass atomare Anregungen praktisch nicht vorkommen.

Ein zweiatomiges Molekül wie molekularer Wasserstoff hat – neben den elektronischen Anregungen – sechs Freiheitsgrade: Drei der Translation, zwei der Rotation, und einen Schwingungsfreiheitsgrad (der allerdings bei der Berechnung der inneren Energie doppelt zählt). Rotation und Schwingung sind quantisiert und bei geringer Gesamtenergie eines Moleküls können energetisch höher liegende Rotations- und Schwingungsfreiheitsgrade nicht angeregt werden; man sagt, sie seien „eingefroren.” So verhalten sich die meisten zweiatomigen Gase wie zum Beispiel Wasserstoff, Sauerstoff oder Stickstoff unter Normalbedingungen effektiv so, als hätten die Einzelmoleküle nur fünf Freiheitsgrade, was sich am Adiabatenexponenten ablesen lässt. Bei hohen Temperaturen sind dem System alle Freiheitsgrade zugänglich.

Komplexe Moleküle besitzen sehr viele Freiheitsgrade

Komplexere Moleküle haben viel mehr Schwingungsfreiheitsgrade, und liefern somit einen höheren Beitrag zur Entropie.

Jedes Molekül mit n Atomen hat 3n Freiheitsgrade, weil man für jedes Atom drei Koordinaten braucht um seine Position zu definieren. Diese kann man formal in Translations-, Rotations- und innere Schwingungsfreiheitsgrade einteilen.

Hierbei gilt

  • für n-atomige lineare Moleküle:
3 Translationsfreiheitsgrade,
2 Rotationsfreiheitsgrade,
3n-5 Schwingungsfreiheitsgrade (enthalten kinetische und potentielle Energie, zählen daher bei der Berechnung der inneren Energie doppelt),
  • für n-atomige nicht lineare Moleküle:
3 Translationsfreiheitsgrade,
3 Rotationsfreiheitsgrade,
3n-6 Schwingungsfreiheitsgrade (enthalten kinetische und potentielle Energie, zählen daher bei der Berechnung der inneren Energie doppelt).

Ein Molekül mit A Atomen besitzt für die innere Schwingungsenergie allgemein

f_\mathrm{vib} = 3A - f_\mathrm{trans} - f_\mathrm{rot}

Schwingungsfreiheitsgrade.

Stoff Freiheitsgrade
Translation Rotation Schwingung (doppelt zu zählen) Summe
Gasmolekül, 1-atomig +3 +0 2×(3×1−3−0)=+0 03
Gasmolekül, 2-atomig +3 +2 2×(3×2−3−2)=+2 07
Gasmolekül, 3-atomig linear +3 +2 2×(3×3−3−2)=+8 13
Gasmolekül, 3-atomig gewinkelt +3 +3 2×(3×3−3−3)=+6 12
1 Atom im Festkörper +0 +0 2×(3×1−0−0)=+6 06

Die thermodynamischen Freiheitsgrade der Zustandsgrößen auf makroskopischer Ebene ergeben sich für beliebige Systeme im Gleichgewicht über die Gibbssche Phasenregel.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Wolfgang H. Müller, Ferdinand Ferber: Technische Mechanik für Ingenieure: Geeignet für die Bachelor-ausbildung
  2. Eberhard Brommundt, Gottfried Sachs, Delf Sachau: Technische Mechanik: Eine Einführung

Weblinks[Bearbeiten]