Satz von Paley

Der Satz von Paley, benannt nach dem englischen Mathematiker Raymond Paley, ist ein mathematischer Lehrsatz über die Konstruktion von Hadamard-Blockplänen mit Hilfe der Methoden der Gruppentheorie. Er liegt als solcher im Übergangsfeld von Kombinatorik, Geometrie und Algebra . Blockpläne, welche nach dem Satz von Paley konstruierbar sind, werden manchmal auch als Paley-Blockpläne (engl. Paley designs) bezeichnet.

Formulierung des Satzes

Für eine Primzahlpotenz   $q$   der Gestalt   $q=4n-1$   zu einer natürlichen Zahl   $n$   gilt stets:

(I)   Es existiert ein $2{\text{-}}(4n-1,2n-1,n-1)$-Blockplan, also ein symmetrischer Blockplan mit den Parametern $t=2$   ,   $v=b=q$   ,   $k=2n-1={\frac {q-1}{2}}$   ,   $\lambda =n-1={\frac {q-3}{4}}$   .

(II)   Die zugehörige Inzidenzstruktur   ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)$   lässt sich dabei in folgender Weise konstruieren:

1. Den zu   $q$   gehörenden Galois-Körper   $K=\operatorname {GF} (q)$   wählt man als Punktmenge von   ${\mathcal {I}}$   ; d. h. man wählt   ${\mathfrak {p}}=K$  , also die Körperelemente als die Punkte der Inzidenzstruktur.
2. Für die Konstruktion des Blocksystems   ${\mathfrak {B}}$   geht man aus von der multiplikativen Gruppe   $K^{\times }$   des Galoiskörpers und betrachtet hier die Untergruppe  $U\leq K^{\times }$   der Quadrate   $\neq 0$   , also   $U=\{u\in K^{\times }|\exists x\in K^{\times }:x^{2}=u\}$   . Dann setzt man   ${\mathfrak {B}}=\{U+a|a\in K\}$  .
3. Die Inzidenzrelation   $I$   ist die Elementrelation, also   $I=\in$   .

Anmerkungen zum Beweis des Satzes

Der Beweis des Satzes von Paley lässt sich führen mit Hilfe der Ungleichung von Fisher und der Tatsache, dass eine spezielle Permutationsgruppe   $\Gamma \leq S_{K}$   existiert, welche 2-fach homogen auf   $K$   operiert.

Wie sich zeigt, lässt sich so das Blocksystem   ${\mathfrak {B}}$   auch noch auf andere Weise beschrieben, nämlich als Menge der   $\gamma$-Bilder von   $U$   über alle   $\gamma \in \Gamma$   , also in der Form   ${\mathfrak {B}}=\{\gamma (U)|\gamma \in \Gamma \}$  .

Man gewinnt diese Permutationsgruppe   $\Gamma$   dabei aus der obigen Untergruppe  $U\leq K^{\times }$   , indem man diejenigen Permutationen   $\gamma \colon K\to K$   betrachtet, welche die Form   $x\mapsto \gamma (x)=ux+a$   haben, wobei   $u\in U$   und   $a\in K$   fest gewählte Elemente sind. All diese Permutationen, versehen mit der üblichen Verkettung, bilden dann   $\Gamma$   .

Beim Beweis zeigt sich weiter, dass die Untergruppe   $U$ die Ordnung     $k$   hat , während sich für die Permutationsgruppe   $G$   die Ordnung   $kq={\frac {q(q-1)}{2}}$   ergibt.

Literatur

• Thomas Beth - Dieter Jungnickel - Hanfried Lenz: Design Theory. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2. 
• Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie I. Blockpläne. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.  MR0670590
• Peter Dembowski: Finite Geometries (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 44). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1968. 
• Heinz Lüneburg: Kombinatorik (= Elemente der Mathematik vom höheren Standpunkt aus. Band 6). Birkhäuser Verlag, Basel und Stuttgart 1971, ISBN 3-7643-0548-7.  MR0335267
• R. E. A. C. Paley: On orthogonal matrices. In: J. Math. Phys. Mass. Inst. Tech. Band 12, 1933, S. 311–320.