Hessesche Normalform

Die hessesche Normalform, Hesse-Normalform oder hessesche Normalenform ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. In der hesseschen Normalform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum durch den Abstand vom Koordinatenursprung sowie einen normierten und orientierten Normalenvektor dargestellt. Bei der hesseschen Normalform handelt sich damit um eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene.

Die hessesche Normalform erlaubt eine effiziente Berechnung des Abstands eines beliebigen Punkts zu der Gerade oder Ebene. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker Otto Hesse benannt.

Hessesche Normalform einer Geradengleichung

Hessesche Normalform einer Geradengleichung

Darstellung

In der hesseschen Normalform wird eine Gerade $g$ in der euklidischen Ebene durch einen Normalenvektor ${\vec {n}}_{0}$ der Gerade und ihren Abstand $d$ vom Koordinatenursprung folgendermaßen beschrieben:

$g=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d\}$.

Hierbei bezeichnet $\cdot$ das Skalarprodukt zweier Vektoren. Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet. Er muss normiert sein, also die Länge $|{\vec {n}}_{0}|=1$ besitzen, und vom Koordinatenursprung in Richtung der Gerade zeigen, es muss also ${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d>0$ gelten.

In der hesseschen Normalform werden demnach die Punkte der Geraden implizit dadurch definiert, dass das Skalarprodukt aus Ortsvektor und Normalenvektor gleich dem Abstand der Geraden vom Ursprung ist. Ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\vec {x}}$ die Gleichung nicht erfüllt, liegt für ${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}>d$ auf derjenigen Seite der Gerade, in die der Normalenvektor zeigt, und ansonsten auf der anderen Seite.

Beispiel

Ist beispielsweise ein Normalenvektor einer gegebenen Geraden ${\vec {n}}=({\tfrac {3}{5}},{\tfrac {4}{5}})^{T}$ und der Abstand der Geraden vom Ursprung $d={\tfrac {6}{5}}$, so erhält man als Geradengleichung

${\tfrac {3}{5}}\,x+{\tfrac {4}{5}}\,y={\tfrac {6}{5}}$.

Jede Wahl von $(x,y)$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise $(2,0)$ oder $(-2,3)$, entspricht dann einem Geradenpunkt.

Berechnung

Aus der Normalenform

Aus der Normalenform einer Geradengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Normalenvektor ${\vec {n}}$ lässt sich ein normierter und orientierter Normalenvektor der Geraden durch

${\vec {n}}_{0}={\begin{cases}{\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}&{\text{falls}}~{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\\-{\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}&{\text{falls}}~{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}<0\end{cases}}$

bestimmen. Der Abstand der Geraden vom Ursprung kann dann durch

$d={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}_{0}$

ermittelt werden.

Aus der Parameterform

Aus der Parameterform einer Geradengleichung lässt sich ein Normalenvektor der Geraden bestimmen, indem die beiden Komponenten des Richtungsvektors ${\vec {u}}$ der Geraden vertauscht werden und eine der beiden Komponenten invertiert wird, das heißt

${\vec {n}}={\begin{pmatrix}-u_{2}\\u_{1}\end{pmatrix}}$.

Nun kann weiter wie bei der Normalenform verfahren werden, wobei der Stützvektor ${\vec {p}}$ übernommen werden kann. Liegt eine Gerade in Koordinatenform oder Achsenabschnittsform vor, wird ebenfalls zunächst ein Normalenvektor und gegebenenfalls ein Punkt der Geraden (siehe Normalenform) ermittelt und dann wie oben verfahren.

Abstandsberechnung

Mit Hilfe der hesseschen Normalform kann der Abstand eines beliebigen Punkts in der Ebene von einer Geraden einfach dadurch berechnet werden, dass der Ortsvektor des Punkts in die Geradengleichung eingesetzt wird. Es gilt also für den Abstand eines Punkts $P$ mit Ortsvektor ${\vec {p}}$ von einer Gerade $g$

$d(P,g)={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d$

Dieser Abstand ist vorzeichenbehaftet: für $d(P,g)<0$ liegt der Punkt $P$ auf derjenigen Seite der Gerade, in der der Koordinatenursprung liegt, ansonsten auf der anderen Seite.

Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

Darstellung

Analog wird eine Ebene $E$ im dreidimensionalen Raum in der hesseschen Normalform durch einen Normalenvektor ${\vec {n}}_{0}$ der Ebene und ihren Abstand $d$ vom Koordinatenursprung beschrieben:

$E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d\}$.

Der Normalenvektor ist hier ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Der Normalenvektor muss wiederum normiert sein, also $|{\vec {n}}_{0}|=1$ erfüllen, und vom Koordinatenursprung in Richtung der Ebene zeigen, es muss also ${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d>0$ gelten.

Wiederum liegt ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\vec {x}}$ die Gleichung erfüllt, auf der Ebene. Gilt ${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}>d$, dann liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite.

Beispiel

Ist beispielsweise ein Normalenvektor einer gegebenen Ebene ${\vec {n}}=({\tfrac {2}{3}},{\tfrac {1}{3}},-{\tfrac {2}{3}})^{T}$ und der Abstand der Ebene vom Ursprung $d={\tfrac {4}{3}}$, so erhält man als Ebenengleichung

${\tfrac {2}{3}}\,x+{\tfrac {1}{3}}\,y-{\tfrac {2}{3}}\,z={\tfrac {4}{3}}$.

Jede Wahl von $(x,y,z)$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise $(1,2,0)$ oder $(2,-2,-1)$, entspricht dann einem Ebenenpunkt.

Berechnung

Aus der Normalenform

Aus der Normalenform einer Ebenengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Normalenvektor ${\vec {n}}$ lässt sich ein normierter und orientierter Normalenvektor der Ebene wie im zweidimensionalen Fall durch

${\vec {n}}_{0}={\begin{cases}{\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}&{\text{falls}}~{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\\-{\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}&{\text{falls}}~{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}<0\end{cases}}$

bestimmen. Der Abstand der Ebene vom Ursprung kann dann durch

$d={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}_{0}$

ermittelt werden.

Aus der Parameterform

Aus der Parameterform einer Ebenengleichung mit den beiden Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ lässt sich ein Normalenvektor der Ebene durch Berechnung des Kreuzprodukts

${\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}$

bestimmen. Nun kann wiederum weiter wie bei der Normalenform verfahren werden, wobei der Stützvektor ${\vec {p}}$ übernommen werden kann. Liegt eine Ebene in Koordinatenform oder Achsenabschnittsform vor, wird ebenfalls zunächst ein Normalenvektor und gegebenenfalls ein Punkt der Ebene (siehe Normalenform) ermittelt und dann wie oben verfahren.

Abstandsberechnung

Mit Hilfe der hesseschen Normalform kann der Abstand eines beliebigen Punkts im Raum von einer Ebene wiederum dadurch berechnet werden, dass der Ortsvektor des Punkts in die Ebenengleichung eingesetzt wird. Es gilt also für den Abstand eines Punkts $P$ mit Ortsvektor ${\vec {p}}$ von einer Ebene $E$

$d(P,E)={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d$.

Dieser Abstand ist wieder vorzeichenbehaftet: für $d(P,E)<0$ liegt der Punkt $P$ auf derjenigen Seite der Ebene, in der der Koordinatenursprung liegt, ansonsten auf der anderen Seite.

Verallgemeinerungen

Allgemein wird durch die hessesche Normalform eine Hyperebene im $n$-dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Eine Hyperebene hat somit die Darstellung

$H=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}\mid {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d\}$,

wobei lediglich mit $n$-komponentigen statt zwei- oder dreikomponentigen Vektoren gerechnet wird. Eine Hyperebene teilt den $n$-dimensionalen Raum in zwei Teile, die Halbräume genannt werden. Gilt ${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}<d$, dann liegt der Punkt in demjenigen Halbraum, in dem der Koordinatenursprung liegt, ansonsten in dem anderen. Ein Punkt, dessen Ortsvektor die Gleichung erfüllt, liegt genau auf der Hyperebene.

Die Normalform gibt es auch für ebene Kurven. Sie ist eine implizite Darstellung

$h(x,y)=0$

einer Kurve mit der Eigenschaft $|\operatorname {grad} h|=1$. Zum Beispiel ist

$h(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-r=0$

die Normalform des Kreises $x^{2}+y^{2}=r^{2}$. Die Funktion $h$ beschreibt den orientierten Abstand eines Punktes zur Kurve und wird Distanzfunktion genannt. Auch für Flächen gibt es die Normalform. Normalformen für Kurven und Flächen haben sowohl theoretische Bedeutung (analog der Bogenlängenparametrisierung von Kurven) als auch praktische im Bereich Computer Aided Design.

Literatur

• Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-9598-1. 
• Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Linearen Algebra und der Analysis. Springer, 2009, ISBN 978-3-8274-2255-2.