„Fredholm-Operator“ – Versionsunterschied

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Version vom 1. Juni 2014, 22:28 Uhr

In der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Klasse der Fredholm-Operatoren (nach E. I. Fredholm) ein bestimmte Klasse linearer Operatoren, die man „fast“ invertieren kann. Jedem Fredholm-Operator ordnet man eine ganze Zahl zu, diese wird Fredholm-Index, analytischer Index oder kurz Index genannt.

Definition

Ein beschränkter linearer Operator $A\colon X\to Y$ zwischen zwei Banachräumen $X$ und $Y$ heißt ein Fredholm-Operator, oder man sagt kurz: " $A$ ist Fredholm", wenn

$\ker A$ endliche Dimension hat und
$\mathrm {ran} \,A$ endliche Kodimension in $Y$ hat.

Dabei ist $\ker A$ der Kern von $A$ , also die Menge $\{x\in X:Ax=0\}$ und $\mathrm {ran} \,A$ ist das Bild von $A$ , also die Teilmenge $\{Ax\mid x\in X\}\subseteq Y$ .

Die Zahl

\mathrm {ind} (A)=\dim(\ker A)-\mathrm {codim} (\mathrm {ran} \,A,Y)\in \mathbb {Z}

heißt Fredholm-Index von $A$ .

Eigenschaften

Bild ist abgeschlossener Unterraum

Das Bild $\mathrm {ran} \;(A)$ eines Fredholm-Operators ist ein abgeschlossener Unterraum.

Komposition

Die Komposition $A\circ B$ zweiter Fredholm-Operatoren $A$ und $B$ ist wieder ein Fredholm-Operator und für den Index gilt^[1]

\operatorname {ind} (A\circ B)=\operatorname {ind} (A)+\operatorname {ind} (B)

.

Dualer Operator

Sei $A^{*}\colon Y'\to X'$ der zum Fredholm-Operator $A$ duale Operator. Dann gilt $\dim(\ker A')=\operatorname {codim} (\mathrm {ran} (A))$ und $\operatorname {codim} (\mathrm {ran} (A'))=\dim(\ker A)$ . Daher ist auch $A'$ ein Fredholm-Operator und für seinen Index gilt $\operatorname {ind} (T')=-\operatorname {ind} (T)$ .^[2]

Satz von Atkinson

Nach dem Satz von Atkinson ist ein Operator $A\colon X\to Y$ genau dann ein Fredholm-Operator, wenn es Operatoren $B_{1},B_{2}$ und kompakte Operatoren $K_{1},K_{2}$ gibt, so dass $AB_{1}=I_{Y}-K_{1}$ und $B_{2}A=I_{X}-K_{2}$ gilt, das heißt wenn $A$ modulo kompakter Operatoren invertierbar ist. Insbesondere ist ein beschränkter Operator $A\colon X\to X$ genau dann ein Fredholm Operator, wenn seine Klasse $[A]_{{\mathcal {C}}(X)}$ in der Calkin-Algebra ${\mathcal {B}}(X)/{\mathcal {C}}(X)$ invertierbar ist.

Für jeden Fredholm-Operator $A$ und jeden kompakten Operator $K$ ist $A+K$ ebenfalls ein Fredholm-Operator mit selbem Fredholm-Index wie $A$ . Insbesondere ist jede kompakte Störung der Identität, also jeder Operator der Form $I+K$ für einen kompakten Operator $K$ ein Fredholm-Operator vom Index 0.

Stetigkeit des Fredholm-Index

Seien $A_{0},A_{1}\colon X\to Y$ Fredholm-Operatoren und $\phi \colon X\times [0,1]\to Y$ eine Homotopie mit $\phi (\cdot ,0)=A_{0}$ und $\phi (\cdot ,1)=A_{1}$ für alle $x\in X$ , dann gilt $\operatorname {ind} (A_{0})=\operatorname {ind} (A_{1})$ . Der Fredholm-Index ist daher eine homotopie-invariante Zahl.^[3] Betrachtet man also eine stetige Familie $A_{t}$ von Fredholm-Operatoren, dann ist

t\mapsto \mathrm {ind} (A_{t})

eine stetige Abbildung bezüglich der Operatornorm. Da die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ ein diskreter topologischer Raum ist, ist $t\mapsto \mathrm {ind} (A_{t})$ eine lokal konstante Funktion, das heißt, sie ist auf einer Zusammenhangskomponenten konstant.

Surjektivität des Fredholm-Index

Der Fredholm-Index, als Abbildung von der Menge der Fredholm-Operatoren in die Menge der ganzen Zahlen, ist surjektiv.^[4]

Punctured Neighbourhood Theorem

Ist $A\colon X\to X$ ein Fredholm-Operator, dann gibt es nach dem Punctured Neighbourhood Theorem ein $\varepsilon >0$ , so dass für alle $\lambda \in \mathbb {C}$ mit $0<|\lambda |<\varepsilon$

$\dim \ker(A-\lambda I)\equiv \mathrm {const} \leq \dim \ker A$ und
$\mathrm {codim} \,\mathrm {ran} (A-\lambda I)\equiv \mathrm {const} \leq \mathrm {codim} \,\mathrm {ran} A$

gilt.^[5] Insbesondere ist $A-\lambda I$ also ein Fredholm-Operator. Da der Fredholm-Index stetig ist, folgt daraus $\mathrm {ind} (A-\lambda I)=\mathrm {ind} (A)$ . Bewiesen wurde das Punctured Neighbourhood Theorem von Israel Gohberg.^[6]

Elliptische Operatoren

Jeder gleichmäßig elliptische Differentialoperator ist ein Fredholm-Operator.

Sei $n\geq 1$ und $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Gebiet mit Lipschitz-Rand. Dann ist der schwache elliptische Differentialoperator mit homogenen Neumann-Randbedingungen $A\colon H^{1,2}(\Omega )\to H^{1,2}(\Omega )'$ definiert durch

A(u)(v):=\int _{\Omega }\sum _{i,j}\partial _{i}va_{ij}\partial _{j}u

für $u,v\in H^{1,2}(\Omega )$ ein Fredholm-Operator.

Literatur

Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6

↑ Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 159.
↑ Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 156.
↑ Masoud Khalkhali: Basic Noncommutative Geometry. 2. Auflage. EMS, 2013, ISBN 978-3-03719-128-6, S. 201.
↑ Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Springer/Vieweg, 2005, ISBN 978-3-322-80243-9, S. 164–165.
↑ Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 171, 293–294.
↑ Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 231.

[1] Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 159.

[2] Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 156.

[3] Masoud Khalkhali: Basic Noncommutative Geometry. 2. Auflage. EMS, 2013, ISBN 978-3-03719-128-6, S. 201.

[4] Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Springer/Vieweg, 2005, ISBN 978-3-322-80243-9, S. 164–165.

[5] Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 171, 293–294.

[6] Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 231.

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[2]

[3]

[4]

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 == Eigenschaften ==
-* Das Bild <math> \mathrm{ran}\; (A)</math> eines Fredholm-Operators ist ein abgeschlossener Unterraum.
+=== Bild ist abgeschlossener Unterraum ===
+Das Bild <math> \mathrm{ran}\; (A)</math> eines Fredholm-Operators ist ein abgeschlossener Unterraum.
-*Die Abbildung
+=== Komposition ===
-:: <math>\mathrm{ind}\colon A\mapsto\mathrm{ind}(A)</math>
+Die Komposition <math>A \circ B</math> zweiter Fredholm-Operatoren <math>A</math> und <math>B</math> ist wieder ein Fredholm-Operator und für den Index gilt<ref>{{Literatur | Autor=Vladimir Müller | Titel= | Auflage=Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras | Verlag=Birkhäuser | Ort=Basel | Jahr=2007 | ISBN=978-3-7643-8265-0 | Seiten=159}}</ref>
-:ist [[Stetigkeit|stetig]] bezüglich der [[Operatornorm]] und daher wegen der [[diskrete Topologie|Diskretheit]] von <math>\mathbb{Z}</math> konstant auf [[Zusammenhängender Raum|Zusammenhangskomponenten]].
+:<math>\operatorname{ind}(A\circ B) = \operatorname{ind}(A) + \operatorname{ind}(B)</math>.
-* Nach dem [[Satz von Atkinson]] ist ein Operator <math> A: X\to Y</math> genau dann ein Fredholm-Operator, wenn es Operatoren <math> B_1, B_2</math> und [[kompakter Operator|kompakte Operatoren]] <math> K_1, K_2</math> gibt, so dass <math> AB_1=I_Y-K_1</math> und <math> B_2A=I_X-K_2</math> gilt, d.h. wenn <math> A</math> modulo kompakter Operatoren invertierbar ist. Insbesondere ist ein beschränkter Operator <math> A: X\to X</math> genau dann ein Fredholm Operator, wenn seine Klasse <math>[A]_{\mathcal{C}(X)}</math> in der [[Calkin-Algebra]] <math>\mathcal{B}(X)/\mathcal{C}(X)</math> invertierbar ist.
-* Für jeden Fredholm-Operator <math>A</math> und jeden kompakten Operator <math>K</math> ist <math>A+K</math> ebenfalls ein Fredholm-Operator mit  selbem Fredholm-Index wie <math>A</math>. Insbesondere ist jede ''kompakte Störung der Identität'', also jeder Operator der Form <math> I+K </math> für einen kompakten Operator <math>K</math> ein Fredholm-Operator vom Index 0.
+=== Dualer Operator ===
-* Ist <math>A: X\to X</math> ein Fredholm-Operator, dann gibt es nach dem '''Punctured Neighbourhood Theorem''' ein <math>\varepsilon > 0</math>, so dass für alle <math>\lambda\in\mathbb{C}</math> mit <math>0 < |\lambda| < \varepsilon</math> gilt:
+Sei <math>A^* \colon Y' \to X'</math> der zum Fredholm-Operator <math>A</math> [[Dualer Operator|duale Operator]]. Dann gilt <math>\dim(\ker A') = \operatorname{codim}(\mathrm{ran}(A))</math> und  <math>\operatorname{codim}(\mathrm{ran}(A')) = \dim(\ker A)</math>. Daher ist auch <math>A'</math> ein Fredholm-Operator und für seinen Index gilt <math>\operatorname{ind}(T') = - \operatorname{ind}(T)</math>.<ref>{{Literatur | Autor=Vladimir Müller | Titel= | Auflage=Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras | Verlag=Birkhäuser | Ort=Basel | Jahr=2007 | ISBN=978-3-7643-8265-0 | Seiten=156}}</ref>
-*# <math>A - \lambda I</math> ist ein Fredholm-Operator;
-*# <math>\dim\ker (A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \dim\ker A</math>;
+=== Satz von Atkinson ===
-*# <math>\mathrm{codim}\,\mathrm{ran}(A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \mathrm{codim}\,\mathrm{ran}A</math>;
+Nach dem [[Satz von Atkinson]] ist ein Operator <math>A \colon X\to Y</math> genau dann ein Fredholm-Operator, wenn es Operatoren <math> B_1, B_2</math> und [[kompakter Operator|kompakte Operatoren]] <math> K_1, K_2</math> gibt, so dass <math> AB_1=I_Y-K_1</math> und <math> B_2A=I_X-K_2</math> gilt, das heißt wenn <math> A</math> modulo kompakter Operatoren invertierbar ist. Insbesondere ist ein beschränkter Operator <math> A \colon X\to X</math> genau dann ein Fredholm Operator, wenn seine Klasse <math>[A]_{\mathcal{C}(X)}</math> in der [[Calkin-Algebra]] <math>\mathcal{B}(X)/\mathcal{C}(X)</math> invertierbar ist.
-*# <math>\mathrm{ind}(A - \lambda I) = \mathrm{ind}(A)</math>.
-* Jeder [[Elliptischer Differentialoperator|gleichmäßig elliptische Differentialoperator]] ist ein Fredholm-Operator.
-* Sei <math>n\geq 1, \Omega \subset \mathbb{R}^n </math> ein Lipschitz-Gebiet. Dann ist der [[Schwache_Ableitung|schwache]] elliptische Differentialoperator mit homogenen [[Neumann-Randbedingung|Neumann-Randbedingungen]] <math>A:H^{1,2}(\Omega) \to H^{1,2}(\Omega)'</math> definiert durch <math> A(u)(v) := \int_{\Omega} \sum_{i,j} \partial_i v a_{ij} \partial_j u </math> für <math> u,v \in H^{1,2}(\Omega) </math> ein Fredholm-Operator.
+Für jeden Fredholm-Operator <math>A</math> und jeden kompakten Operator <math>K</math> ist <math>A+K</math> ebenfalls ein Fredholm-Operator mit  selbem Fredholm-Index wie <math>A</math>. Insbesondere ist jede ''kompakte Störung der Identität'', also jeder Operator der Form <math> I+K </math> für einen kompakten Operator <math>K</math> ein Fredholm-Operator vom Index 0.
+=== Stetigkeit des Fredholm-Index ===
+Seien <math>A_0, A_1 \colon X \to Y</math> Fredholm-Operatoren und <math>\phi \colon X \times [0,1] \to Y</math> eine [[Homotopie]] mit <math>\phi(\cdot,0) = A_0</math> und <math>\phi(\cdot,1) = A_1</math> für alle <math>x \in X</math>, dann gilt <math>\operatorname{ind}(A_0) = \operatorname{ind}(A_1)</math>. Der Fredholm-Index ist daher eine homotopie-invariante Zahl.<ref>{{Literatur | Autor=Masoud Khalkhali | Titel=Basic Noncommutative Geometry | Auflage=2. | Verlag=EMS | Ort= | Jahr=2013 | ISBN=978-3-03719-128-6 | Seiten=201}}</ref> Betrachtet man also eine stetige Familie <math>A_t</math> von Fredholm-Operatoren, dann ist
+: <math>t \mapsto \mathrm{ind}(A_t)</math>
+eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bezüglich der [[Operatornorm]]. Da die Menge der ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> ein [[diskrete Topologie|diskreter topologischer Raum]] ist, ist <math>t \mapsto \mathrm{ind}(A_t)</math> eine [[lokal konstante Funktion]], das heißt, sie ist auf einer [[Zusammenhängender Raum|Zusammenhangskomponenten]] konstant.
+=== Surjektivität des Fredholm-Index ===
+Der Fredholm-Index, als Abbildung von der Menge der Fredholm-Operatoren in die Menge der ganzen Zahlen, ist [[Surjektive Abbildung|surjektiv]].<ref>{{Literatur | Autor=Jürgen Appell, Martin Väth | Titel=Elemente der Funktionalanalysis | Auflage= | Verlag=Springer/Vieweg | Ort= | Jahr=2005 | ISBN=978-3-322-80243-9 | Seiten=164–165}}</ref>
+=== Punctured Neighbourhood Theorem ===
+Ist <math>A \colon X\to X</math> ein Fredholm-Operator, dann gibt es nach dem '''Punctured Neighbourhood Theorem''' ein <math>\varepsilon > 0</math>, so dass für alle <math>\lambda\in\mathbb{C}</math> mit <math>0 < |\lambda| < \varepsilon</math>
+# <math>\dim\ker (A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \dim\ker A</math> und
+# <math>\mathrm{codim}\,\mathrm{ran}(A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \mathrm{codim}\,\mathrm{ran}A</math>
+gilt.<ref>{{Literatur | Autor=Vladimir Müller | Titel= | Auflage=Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras | Verlag=Birkhäuser | Ort=Basel | Jahr=2007 | ISBN=978-3-7643-8265-0 | Seiten=171, 293–294}}</ref> Insbesondere ist <math>A - \lambda I</math> also ein Fredholm-Operator. Da der Fredholm-Index stetig ist, folgt daraus <math>\mathrm{ind}(A - \lambda I) = \mathrm{ind}(A)</math>. Bewiesen wurde das Punctured Neighbourhood Theorem von [[Israel Gohberg]].<ref>{{Literatur | Autor=Vladimir Müller | Titel= | Auflage=Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras | Verlag=Birkhäuser | Ort=Basel | Jahr=2007 | ISBN=978-3-7643-8265-0 | Seiten=231}}</ref>
+=== Elliptische Operatoren ===
+Jeder [[Elliptischer Differentialoperator|gleichmäßig elliptische Differentialoperator]] ist ein Fredholm-Operator.
+Sei <math>n\geq 1</math> und <math> \Omega \subset \mathbb{R}^n </math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit Lipschitz-Rand. Dann ist der [[Schwache_Ableitung|schwache]] elliptische Differentialoperator mit homogenen [[Neumann-Randbedingung|Neumann-Randbedingungen]] <math>A \colon H^{1,2}(\Omega) \to H^{1,2}(\Omega)'</math> definiert durch
+:<math> A(u)(v) := \int_{\Omega} \sum_{i,j} \partial_i v a_{ij} \partial_j u </math>
+für <math> u,v \in H^{1,2}(\Omega) </math> ein Fredholm-Operator.
 == Literatur ==

„Fredholm-Operator“ – Versionsunterschied

Version vom 1. Juni 2014, 22:28 Uhr

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