Satz des Heron

Ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c.

Der Satz des Heron ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, welcher nach dem antiken Mathematiker Heron von Alexandria benannt ist. Der Satz beschreibt eine mathematische Formel, mit deren Hilfe der Flächeninhalt eines Dreiecks aus den drei Seitenlängen berechnenbar ist. Man nennt die Formel auch heronsche Formel bzw. heronische Formel oder auch die Formel von Heron (englisch Heron's_formula).

Formulierung des Satzes

Der Flächeninhalt $F_{\Delta }$ eines Dreiecks $\Delta$ der euklidischen Ebene mit den Seitenlängen

$a,b,c$

und halbem Umfang

$s\,=\,{\frac {a+b+c}{2}}$

ist

$F_{\Delta }={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$   .

Umrechnungen

Diese Formel lässt sich auch so ausdrücken:

$F_{\Delta }={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}}$

Ausmultipliziert erhält man:

$F_{\Delta }={\frac {\sqrt {2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}}$

Weiterer Zusammenhang

Die heronische Formel kann als Grenzfall aus der Formel für den Flächeninhalt $F_{\mathcal {Q}}$ eines Sehnenvierecks ${\mathcal {Q}}$ gewonnen werden, wenn zwei der Eckpunkte ineinander übergehen, so dass eine der Seiten des Sehnenvierecks die Länge Null annimmt. Für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gilt nämlich nach der Formel von Brahmagupta

$F_{\mathcal {Q}}={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$   ,

wobei hier der halbe Umfang

$s\,=\,{\frac {a+b+c+d}{2}}$

ist.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Satz des Heron. In: MathWorld (englisch).
• Elementarer Beweis
• Beweis mit Hilfe des Kosinussatzes (Deutsch) (PDF-Datei; 88 kB)
• Beweis für den Satz des Heron und seine Folgerungen (PDF-Datei; 82 kB)

Literatur

• A. M. Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (= Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. Band 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim - Leipzig - Wien - Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1. 
• Max Koecher - Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2007, ISBN 978-3-540-49327-3. 
• Theophil Lambacher - Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965.