Bekenstein-Hawking-Entropie

Die Bekenstein-Hawking-Entropie Schwarzer Löcher ordnet diesen eine formale Entropie $S_{\mathrm {SL} }$ zu, die nur vom Oberflächeninhalt ihres Ereignishorizonts und von fundamentalen Naturkonstanten abhängt. Sie wurde 1973 von Jacob Bekenstein gefunden und von Stephen Hawking bald darauf durch seine Entdeckung der Hawking-Strahlung gestützt.

Geschichte

Während seiner Doktorarbeit stellte Jacob Bekenstein das folgende Gedankenexperiment an. Fällt ein Körper mit einer Entropie $S$ in ein Schwarzes Loch, so kann außenstehender Beobachter nur zwei Dinge feststellen: die Entropie außerhalb der Ereignishorizonts hat abgenommen und die Oberfläche des Schwarzen Loches ist größer geworden. Um eine Verletzung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik auszuschließen, muss er daher die Oberfläche des Schwarzen Lochs als ein Maß für die im Schwarzen Loch enthaltene Entropie interpretieren:

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$S={\frac {1}{2}}{\frac {ln2}{4\pi }}{\frac {kc^{3}}{\hbar G}}A$

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Stephen Hawking kritisierte daran, dass damit das Schwarze Loch auch eine Temperatur besitzt müsse. Ein Körper einer nicht-verschwindenden Temperatur besitzt jedoch eine Schwarzkörperstrahlung, die dem gängingen Bild widerspricht, dass aus dem Schwarzen Loch nichts mehr entweicht. Hawking löste dieses Paradoxon dadurch auf, dass er darauf hinwies, dass ein Ereignishorizont ohne jegliche Ausdehnung bei zugleich angenommener exakter Energiedichte der quantenmechanischen Unschärferelation widersprechen würde. In unmittelbarer Nähe des Ereignishorizonts ist die Energiedichte des Gravitationsfeldes vielmehr so groß, dass sich Teilchenpaare bilden, von denen eines in das Schwarze Loch fällt, das andere jedoch entweicht. Mit dieser Hawking-Strahlung ist das Gleichsetzen von Entropie und Oberfläche des Schwarzen Lochs möglich, die Entropie des Schwarzen Lochs trägt daher den Namen Bekenstein-Hawking-Entropie. Die Temperatur des Schwarzen Lochs liegt in der Größenordnung eines Millionstel Kelvins und wird mit zunehmender Masse des Schwarzen Lochs geringer. Das Schwarze Loch kann sich auflösen, wenn die Energie der abgestrahlten Hawing-Strahlung für einen ausreichend langen Zeitraum die Energie der einfallenden Materie übersteigt.

Formeln

Durch die Entropie-Gleichung von Bekenstein und Hawking lässt sich ein Zusammenhang zwischen der Thermodynamik, der Quantenmechanik und der Allgemeinen Relativitätstheorie herstellen:

$S_{\mathrm {SL} }={\frac {k_{\mathrm {B} }Ac^{3}}{4\hbar G}}$

mit

S_SL – Entropie des Schwarzen Lochs

$k_{\mathrm {B} }$ – Boltzmann-Konstante

c – Lichtgeschwindigkeit

A – Oberfläche des Ereignishorizontes

$\hbar$- Plancksches Wirkungsquantum dividiert durch 2$\pi$

G – Gravitationskonstante

Oder durch die Planck-Länge $\ell _{\mathrm {P} }={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}$ ausgedrückt:

$S_{\text{SL}}={\frac {k_{\mathrm {B} }A}{4\ell _{\mathrm {P} }^{2}}}$

In der Literatur wird die Boltzmann-Konstante dabei häufig =1 gesetzt und weggelassen.

Die Oberfläche des Ereignishorizonts ist für stationäre, kugelsymmetrische schwarze Löcher (beschrieben durch eine Schwarzschild-Metrik, Masse $M$) durch

$A=4\pi r_{S}^{2}=16\pi {({\frac {GM}{c^{2}}})}^{2}$

gegeben mit dem Schwarzschildradius $r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}$, und für rotierende Schwarze Löcher (Drehimpuls $J$) durch:

$A=4\pi (r_{S}^{2}+{({\frac {J}{Mc}})}^{2})$

Verallgemeinerter Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass für ein abgeschlossenes System die Entropie nicht kleiner werden kann. Da auch Entropie-enthaltende Körper in ein Schwarzes Loch fallen können, stellt sich die Frage, ob dadurch der Zweite Hauptsatz verletzt wird. Durch den Zusammenhang zwischen Oberfläche und Entropie des Schwarzen Lochs kann der Zweite Hauptsatz jedochverallgemeinert werden: "Die Summe aus „gewöhnlicher“ Entropie und der (mit $k_{B}/(4l_{P}^{2})$ multiplizierten) Gesamtfläche aller Ereignishorizonte kann mit der Zeit nicht abnehmen."

Man betrachte zum Beispiel die Fusion zweier Schwarzer Löcher der Massen M₁ und M₂. Der Fusionsprozess sei isentrop, d. h. die gewöhnliche Entropie des Systems verändert sich nicht. Da die Fläche des Ereignishorizontes A proportional zum Quadrat der Masse ist, ergibt sich für die Änderung $\Delta A=A_{\mathrm {nachher} }-A_{\mathrm {vorher} }$:

$\Delta A=A(M_{1}+M_{2})-A(M_{1})-A(M_{2})\sim (M_{1}+M_{2})^{2}-M_{1}^{2}-M_{2}^{2}=2M_{1}\,M_{2}>0$

Die Gesamtfläche nimmt also zu und die Fusion zweier Schwarzer Löcher steht somit nicht im Widerspruch zum verallgemeinerten zweiten Hauptsatz. Betrachte nun den Zerfall eines Schwarzen Loches der Masse M₁+M₂ in zwei kleinere Schwarze Löcher der Massen M₁ und M₂. Der Zerfallsprozess sei wieder isentrop. Für die Änderung der Gesamtfläche der Ereignishorizonte gilt dann:

$\Delta A=A(M_{1})+A(M_{2})-A(M_{1}+M_{2})\sim M_{1}^{2}+M_{2}^{2}-(M_{1}+M_{2})^{2}=-2M_{1}\,M_{2}<0$

Die Gesamtfläche würde also bei dem Zerfall eines Schwarzen Loches in zwei kleinere abnehmen. Der verallgemeinerte zweite Hauptsatz der Thermodynamik verbietet also den Zerfall eines Schwarzen Loches in zwei kleinere.

Anwendungen

Ein fundamentales Ziel einer bisher nur in Ansätzen existierenden Theorie der Quantengravitation ist die Interpretation der Bekenstein-Hawking Entropie durch mikroskopische Freiheitsgrade.

Die Bekenstein-Hawking-Entropie war eine der Motivationen für das Holografische Prinzip.

Weblinks

• Bekenstein: Bekenstein-Hawking Entropy, Scholarpedia