„Baryzentrum“ – Versionsunterschied
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+ Quelle für die Definition, + Abgrenzung zu Gravizentrum, Bedeutung des Baryzentrums als "Ruhepunkt" klarer und als Ursprung des Feldes überhaupt erst in die Einleitung, Beispiel Erde-Mond gekürzt (hat Hauptartikel) |
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Mit '''Baryzentrum''' (von [[Griechische Sprache|griechisch]] {{Polytonisch|βαρύς}} (''barys'') für 'schwergewichtig') bezeichnet man in der [[Geometrie]] den gewichteten Schwerpunkt mehrerer Punkte.<ref>Ilka Agricola, Thomas Friedrich: ''Elementargeometrie: Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht''. Springer Spektrum, 2015, {{DOI|10.1007/978-3-658-06731-1}}, {{Google Buch|BuchID=pOXSBAAAQBAJ|Seite=229|Hervorhebung="der gewichtete Schwerpunkt"}}.</ref> In der [[Himmelsmechanik]] sind die Gewichte der Punkte ihre [[Masse (Physik)|Massen]] bzw. im Fall kontinuierlicher Masseverteilung die [[Dichte]]. Für eine formale Definition siehe [[Massenmittelpunkt]]. |
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Im Allgemeinen ist das Baryzentrum verschieden vom [[Gravizentrum]], also dem mittleren Ort der auf die Punkte wirkenden Kräfte in einem ''äußeren'' [[Gravitationsfeld]]. Die äußere Kraft darf man sich als im Gravizentrum angreifend vorstellen, während die Trägheitskraft im Baryzentrum „angreift“. |
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Mit '''Baryzentrum''' ([[Griechische Sprache|griechisch]] {{Polytonisch|βαρύς}} ''barys'', 'schwer' also „Schwerezentrum“) bezeichnet man in der [[Himmelsmechanik]] den [[Massenmittelpunkt]] eines Systems von [[Zweikörperproblem|zwei]] oder [[Mehrkörperproblem|mehreren]] [[Himmelskörper]]n. |
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Es ist der Ruhepunkt des Systems, um den die Körper sich bewegen (z. B. das [[Erde-Mond-System]]) und mit dem das System an der Bewegung in einem größeren System teilnimmt (z. B. Erde und Mond auf ihrer Bahn um die [[Sonne]]). |
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Ohne äußere Kräfte oder in einem homogenen Feld gilt: Ein nicht rotierendes Bezugssystem, in dem das Baryzentrum ruht, ist ein [[Inertialsystem]], also besonders geeignet für die Beschreibung der der Dynamik des Systems, siehe [[Baryzentrische Koordinaten]]. So wird in vielen Erdmodellen, z.B. [[WGS 84]], das Baryzentrum der Erde als Nullpunkt der Koordinaten gewählt. |
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== Baryzentrum und Gravitationsfeld == |
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Zudem gilt für kugelsymmetrische Massenverteilungen, dass deren gemeinsames Gravitationsfeld so wirkt, als wäre die ganze Masse im Baryzentrum konzentriert, siehe [[Birkhoff-Theorem]]. Für andere Massenverteilungen, wie die folgenden Mehrkörpersysteme, gilt das nur näherungsweise, in großer Entfernung. |
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Das [[Gravitationsfeld]], das von den beiden (oder mehreren) Massen ausgeht, ist ''nicht'' kugelsymmetrisch auf das gemeinsame Baryzentrum ausgerichtet, da es nicht dem Schwerpunkt folgt, sondern von „nahen Massen“ dominiert wird. Daher ist das Gravitationsfeld im Nahbereich jedes Himmelskörpers auf dessen eigenes Zentrum, und nicht auf das Baryzentrum, ausgerichtet. |
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In hinreichend großer Entfernung ist die Abweichung des Gravitationsfelds von einer am Baryzentrum sitzenden Gesamtmasse hingegen vernachlässigbar. |
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== Baryzentrum im Zweikörpersystem == |
== Baryzentrum im Zweikörpersystem == |
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In einem Zweikörpersystem liegt das Baryzentrum auf der [[Strecke (Geometrie)|Verbindungsachse]] zwischen den beiden Körperschwerpunkten. Die [[Abstand|Entfernung]] vom Schwerpunkt des Körpers 1 berechnet sich nach der Formel |
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Aufgrund der Linearität der Mittelwertbildung darf man das Baryzentrum mehrerer Körper als das mit ihrer Masse gewichtete Mittel ihrer jeweiligen Baryzentren berechnen. Für ein System aus zwei kugelsymmetrischen Körpern ergibt sich, dass das gemeinsame Baryzentrum auf der Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte liegt, mit folgendem Abstand vom Mittelpunkt 1: |
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:<math>r_1 = r_{\rm tot} {m_2 \over m_1 + m_2}</math> |
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Die Variablen sind: |
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:<math>m_1</math> und <math>m_2</math> — die Massen der beiden Körper. |
:<math>m_1</math> und <math>m_2</math> — die Massen der beiden Körper. |
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== Beispiele == |
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=== Erde und Mond === |
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Das ''[[Erde-Mond-Schwerpunkt|Erde-Mond-Baryzentrum]]'' liegt 4331 bis 4942 km (im Mittel: 4671 km) außerhalb des [[Erdmittelpunkt|Geozentrums]], also noch innerhalb der Erde in rund 1700 km Tiefe. Der Mittelwert ergibt sich aus der durchschnittlichen Mondentfernung (384.000 km) geteilt durch 82, weil die Erdmasse 81 mal so groß ist wie die Mondmasse (obige Formel mit <math>m_1=81</math> und <math>m_2=1</math>). |
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Für Erde und Mond liegt das Baryzentrum knapp innerhalb der Erde, siehe [[Erde-Mond-Schwerpunkt]]. |
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Jeden [[Monat]] beschreibt also nicht nur der Mond eine [[Ellipsenbahn]], sondern auch die Erde eine um den Faktor 81 kleinere. Deshalb läuft sie nicht exakt in der [[Ekliptik]], sondern kann um bis zu 0,8[[Bogensekunde|"]] von ihr abweichen (siehe [[ekliptikale Breite]]). |
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==Baryzentrum von Charon und Pluto== |
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=== Pluto und Charon === |
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[[Datei:Pluto system de.svg|thumb|Bahnen im Plutosystem]] |
[[Datei:Pluto system de.svg|thumb|Bahnen im Plutosystem]] |
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Das Baryzentrum des [[Pluto]]-[[Charon (Mond)|Charon]]-Systems liegt durch das relativ kleine Massenverhältnis von ca. 8/1 ca. 1200 km über Plutos Oberfläche. Dieses wird von Charon und von Pluto umkreist. |
Das Baryzentrum des [[Pluto]]-[[Charon (Mond)|Charon]]-Systems liegt durch das relativ kleine Massenverhältnis von ca. 8/1 ca. 1200 km über Plutos Oberfläche. Dieses wird von Charon und von Pluto umkreist. |
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=== Sonnensystem === |
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== Baryzentrum des Sonnensystems == |
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Die Lage des Baryzentrum des [[Sonnensystem]]s hängt vor allem von der Stellung des [[Jupiter (Planet)|Jupiters]] und des [[Saturn (Planet)|Saturns]] zueinander ab, siehe [[große Konjunktion]]. Die beiden Riesenplaneten besitzen 0,10 bzw. 0,03 Prozent der Masse der [[Sonne]], sodass sie das Baryzentrum um diesen Bruchteil ihrer Bahnhalbachsen beeinflussen (um ca. 740.000 und 410.000 km). Da der Sonnenradius 696.000 km beträgt, liegt das Baryzentrum mal innerhalb, mal außerhalb der Sonnenoberfläche. |
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Dieser Schwerpunkt des Sonnensystems ist für die „[[Temps atomique barymetrique]]“ (TAB) von Bedeutung, die gemeinsame [[Atomzeit]]skala für alle Planeten. |
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Wenn Jupiter und Saturn in einer Linie stehen, kommt das Baryzentrum um fast 2 Sonnenradien außerhalb der Sonnenmitte zu liegen. Dies kommt etwa alle 20 Jahre vor (siehe auch „[[Große Konjunktion]]“). Etwa zehnmal im [[Jahrtausend]] versammeln sich sogar ''alle'' Planeten von [[Merkur (Planet)|Merkur]] bis [[Neptun (Planet)|Neptun]] im selben Quadranten des Sonnensystems, also einem 90°-Sektor – was zuletzt 1817 geschah. Im März 1982 standen die 9 Planeten innerhalb 95 Winkelgraden, weshalb viele [[Astrologe]]n düstere Prognosen stellten; man las sogar vereinzelt, die Anziehungskräfte der Planeten könnten das [[Sonnensystem]] auseinanderreißen. |
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1990 zog das Sonnenzentrum fast exakt durch den Schwerpunkt, 1997 war es dagegen zwei Sonnenradien davon entfernt. Im Mai 2000 wiederum standen die fünf schon im Altertum bekannten Planeten auf der erdabgewandten Sonnenseite. |
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== Doppelsterne und Exoplaneten == |
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[[Datei:orbit5.gif|thumb|right|200px|Simulation eines Doppelsterns. Beide Sterne umkreisen das gemeinsame Baryzentrum auf [[Ellipse|elliptischen]] Bahnen.]] |
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Das ''Baryzentrum von [[Doppelstern]]en'' liegt bei gleichen [[Masse (Physik)|Massen]] genau in der Mitte der zwei Sterne und wird auf gleich großen [[Keplerellipse|Ellipsen]] umrundet. Bei unterschiedlichen Massen bewegt sich der massivere Stern auf einer entsprechend kleineren Ellipse. |
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Mit präzisen Methoden der [[Astrometrie]] können auch ''sehr'' kleine, im Fernrohr unsichtbare Begleiter an winzigen periodischen Bewegungen des Hauptkörpers erkannt werden – etwa in den letzten Jahren bei zahllosen [[Exoplanet]]en von Jupitergröße. Der erste derartige Erfolg war 1844 die Entdeckung von [[Sirius#Sirius B|Sirius B]] – ein [[weißer Zwerg]]stern, der von [[Sirius]], dem [[scheinbare Helligkeit| scheinbar hellstem Stern]] des Himmels, um das 10.000-Fache überstrahlt wird. Erst 18 Jahre nach [[Friedrich Wilhelm Bessel]]s Berechnung konnte das Sternchen in 8" Winkelabstand auch wirklich gesehen werden. |
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Es ist nicht nur der geometrische Ursprung des [[Astronomische Koordinatensysteme|baryzentrischen ekliptikalen Koordinatensystems]], sondern auch der Ort für eine virtuelle Atomuhr, die die {{lang|fr|''[[Temps atomique barymetrique]]''}} (TAB) definiert, siehe [[Allgemeine Relativitätstheorie#Gravitative Zeitdilatation und Rotverschiebung|gravitative Zeitdilatation]]. |
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Der Schwerpunkt unserer [[Milchstraße]] liegt in Richtung zum Sternbild [[Schütze (Sternbild)|Schütze]] und wird ''[[galaktisches Zentrum]]'' genannt. Es wird zwar von allen Sternen der Galaxis umkreist, aber nicht genau auf [[Keplerbahn]]en, weil die Massenverteilung der Milchstraße nicht – wie im Sonnensystem – von ''einer'' Stelle dominiert wird. |
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== Einzelnachweise == |
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<references /> |
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* [[Atomzeit]] (Temps Atomique, TA), [[Universal Time]] (UT), [[Koordinierte Weltzeit]] (UTC) |
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* [[Relativitätstheorie]], [[Konstellation]]en |
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* [[Baryzentrische Koordinaten]] |
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* Baryzentrische Regeln, heute [[Guldinsche Regeln]] genannt |
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* [[Dreikörperproblem]] |
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* [[Vis-Viva-Gleichung]] |
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[[Kategorie:Himmelsmechanik]] |
[[Kategorie:Himmelsmechanik]] |
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Version vom 18. Februar 2015, 05:15 Uhr
Mit Baryzentrum (von griechisch Vorlage:Polytonisch (barys) für 'schwergewichtig') bezeichnet man in der Geometrie den gewichteten Schwerpunkt mehrerer Punkte.[1] In der Himmelsmechanik sind die Gewichte der Punkte ihre Massen bzw. im Fall kontinuierlicher Masseverteilung die Dichte. Für eine formale Definition siehe Massenmittelpunkt.
Im Allgemeinen ist das Baryzentrum verschieden vom Gravizentrum, also dem mittleren Ort der auf die Punkte wirkenden Kräfte in einem äußeren Gravitationsfeld. Die äußere Kraft darf man sich als im Gravizentrum angreifend vorstellen, während die Trägheitskraft im Baryzentrum „angreift“.
Ohne äußere Kräfte oder in einem homogenen Feld gilt: Ein nicht rotierendes Bezugssystem, in dem das Baryzentrum ruht, ist ein Inertialsystem, also besonders geeignet für die Beschreibung der der Dynamik des Systems, siehe Baryzentrische Koordinaten. So wird in vielen Erdmodellen, z.B. WGS 84, das Baryzentrum der Erde als Nullpunkt der Koordinaten gewählt.
Zudem gilt für kugelsymmetrische Massenverteilungen, dass deren gemeinsames Gravitationsfeld so wirkt, als wäre die ganze Masse im Baryzentrum konzentriert, siehe Birkhoff-Theorem. Für andere Massenverteilungen, wie die folgenden Mehrkörpersysteme, gilt das nur näherungsweise, in großer Entfernung.
Baryzentrum im Zweikörpersystem
Aufgrund der Linearität der Mittelwertbildung darf man das Baryzentrum mehrerer Körper als das mit ihrer Masse gewichtete Mittel ihrer jeweiligen Baryzentren berechnen. Für ein System aus zwei kugelsymmetrischen Körpern ergibt sich, dass das gemeinsame Baryzentrum auf der Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte liegt, mit folgendem Abstand vom Mittelpunkt 1:
Die Variablen sind:
- — die Entfernung des Baryzentrums vom Mittelpunkt des Körpers 1
- — die Entfernung der beiden Körpermittelpunkte voneinander
- und — die Massen der beiden Körper.
Beispiele
Erde und Mond
Für Erde und Mond liegt das Baryzentrum knapp innerhalb der Erde, siehe Erde-Mond-Schwerpunkt.
Pluto und Charon
Das Baryzentrum des Pluto-Charon-Systems liegt durch das relativ kleine Massenverhältnis von ca. 8/1 ca. 1200 km über Plutos Oberfläche. Dieses wird von Charon und von Pluto umkreist.
Sonnensystem
Die Lage des Baryzentrum des Sonnensystems hängt vor allem von der Stellung des Jupiters und des Saturns zueinander ab, siehe große Konjunktion. Die beiden Riesenplaneten besitzen 0,10 bzw. 0,03 Prozent der Masse der Sonne, sodass sie das Baryzentrum um diesen Bruchteil ihrer Bahnhalbachsen beeinflussen (um ca. 740.000 und 410.000 km). Da der Sonnenradius 696.000 km beträgt, liegt das Baryzentrum mal innerhalb, mal außerhalb der Sonnenoberfläche.
Es ist nicht nur der geometrische Ursprung des baryzentrischen ekliptikalen Koordinatensystems, sondern auch der Ort für eine virtuelle Atomuhr, die die Temps atomique barymetrique (TAB) definiert, siehe gravitative Zeitdilatation.
Einzelnachweise
- ↑ Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie: Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht. Springer Spektrum, 2015, doi:10.1007/978-3-658-06731-1, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.