Brunn-Minkowski-Ungleichung

Die Brunn-Minkowski-Ungleichung bzw. der Satz von Brunn und Minkowski, benannt nach den beiden Mathematikern Hermann Brunn und Hermann Minkowski, ist ein klassischer Lehrsatz auf dem mathematischen Teilgebiet der Konvexgeometrie. Die Ungleichung setzt das Lebesgue-Maß der sogenannten Minkowski-Summe zweier kompakter Teilmengen des n-dimensionalen euklidischen Raums in Relation zum Lebesgue-Maß dieser beiden Teilmengen. Sie hat zahlreiche Anwendungen und zieht insbesondere die isoperimetrische Ungleichung nach sich.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung besagt zusammengefasst Folgendes:

(1) Bildet man im $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ für zwei kompakte Teilmengen $A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

die Menge aller aus zwei Elementen von $A$ bzw. $B$ bildbaren Summen,

so gilt für die dadurch gegebene Minkowski-Summe

$A+B=\{a+b\;\colon \;a\in A\;,\;b\in B\}$

die Ungleichung

${\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(A+B)}}\geq {\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(A)}}+{\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(B)}}$   .

(2) Sind darüberhinaus $A$ und $B$ sogar konvexe Körper,

so gilt für jede reelle Zahl $0<t<1$ die Ungleichung

${\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(tA+(1-t)B)}}\geq t{\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(A)}}+(1-t){\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(B)}}$   .

Quellen und Hintergrundliteratur

• Yu. D. Burago - V. A. Zalgaller: Geometric Inequalities (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 285). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1988, ISBN 3-540-13615-0.  MR0936419
• H. Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 93). Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1957.  MR0102775
• Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1980, ISBN 3-540-09071-1. 
• Boris Makarov, Anatolij Podkorytov: Real Analysis:. Measures, Integrals and Applications (= Universitext). Springer-Verlag, London (u. a.) 2013, ISBN 978-1-4471-5121-0.  MR3089088
• Vitali D. Milman, Gideon Schechtman: Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces (= Lecture Notes in Mathematics. Band 1200). Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1986, ISBN 3-540-16769-2.  MR0856576