Legendresche Chi-Funktion

Die legendresche Chi-Funktion (nach Adrien-Marie Legendre) ist eine spezielle Funktion in der Mathematik.

Definition

Die legendresche Chi-Funktion ist folgendermaßen definiert:

$\chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.$

Sie lässt sich auch mit dem Polylogarithmus $\mathrm {Li} _{\nu }(z)$ ausdrücken:

$\chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right].$

Spezielle Werte

${\begin{matrix}\chi _{2}(\mathrm {i} )&=&\mathrm {i} \cdot G\\\chi _{2}({\sqrt {2}}-1)&=&{\frac {1}{16}}\pi ^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\ln({\sqrt {2}}+1)\right)^{2}\\\chi _{2}({\frac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1))&=&{\frac {1}{12}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}\left(\ln({\sqrt {5}}+1)\right)^{2}\\\chi _{2}({\sqrt {5}}-2)&=&{\frac {1}{24}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}\left(\ln({\sqrt {5}}+1)\right)^{2}\\\chi _{2}(-1)&=&-{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\\\chi _{2}(1)&=&{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\end{matrix}}$

mit der imaginären Einheit ${\rm {i}}$ und der catalanschen Konstanten $G$.

Spezialfälle und Verallgemeinerungen

Zu den Spezialfällen gehören die dirichletsche Lambda-Funktion $\lambda$

$\lambda (n)=\chi _{n}(1)\,$

und die dirichletsche Beta-Funktion $\beta$:

$\beta (n)={\frac {1}{\rm {i}}}\chi _{n}(\mathrm {i} ).$

Die transzendente lerchsche Zeta-Funktion verallgemeinert die legendresche Chi-Funktion:

$\chi _{n}(z)=2^{-n}z\,\Phi (z^{2},n,{\tfrac {1}{2}}).$

Siehe auch

• Hurwitzsche Zeta-Funktion

Referenzen

• Eric W. Weisstein: Legendre's Chi Function. In: MathWorld (englisch).
• Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Math. of Comp. 68 (1999), 1623–1630.