Topologische Landkarte

Topologische Landkarte ist ein Terminus aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologischen Graphentheorie. Der Terminus hat Bedeutung inbesondere im Zusammenhang mit Untersuchungen zu Färbungsproblemen und hier nicht zuletzt im Zusammenhang mit dem Vierfarbensatz und verwandten mathematischen Lehrsätzen .

Definitionen

• Eine topologische Landkarte ${\mathfrak {K}}$ auf einer Fläche $F\subset \mathbb {R} ^{3}$ ist ein Tripel ${\mathfrak {K}}=({\mathfrak {L}},{\mathfrak {G}},E)$ , wobei ${\mathfrak {L}}$ und ${\mathfrak {G}}$ zwei endliche Mengensysteme von Teilmengen von $F$ sind und $E\subset F$ ebenfalls eine endliche Menge darstellt.
  • Dabei ist ${\mathfrak {G}}$ die Kantenmenge eines planaren Graphen in $F$, welcher aus endlich vielen innerhalb $F$ verlaufenden Jordankurven besteht, wobei diese sich paarweise höchstens in einem einzigen Punkte und in diesem Falle auch nur in einem der zur Kantenmenge ${\mathfrak {G}}$ gehörigen Knoten schneiden.
  • Die zu ${\mathfrak {G}}$ gehörige Knotenmenge ist gerade $E$, also exakt die Teilmenge derjenigen Punkte von $F$, bei denen eine der Jordankurven anfängt oder endet.
  • Das Mengensystem ${\mathfrak {L}}$ besteht schließlich aus den Wegzusammenhangs- oder Bogenkomponenten der Komplementmenge $F\setminus \bigcup {\mathfrak {G}}$.
  • Man bezeichnet hierbei jedes Element von ${\mathfrak {L}}$ als Land, jedes Element von ${\mathfrak {G}}$ als Grenzlinie und jedes Element von $E$ als Ecke der topologischen Landkarte ${\mathfrak {K}}$.
  • Ein Punkt $x\in \mathbb {R} ^{3}$ ist Randpunkt eines zu der Landkarte gehörenden Landes $L$, wenn er dem relativen topologischen Abschluss ${\overline {L}}\cap F$ von $L$ in $F$ angehört.
• Zwei Länder $L_{1}$ und $L_{2}$ von ${\mathfrak {K}}$ heißen banachbart, wenn unter den Grenzlinien von ${\mathfrak {K}}$ eine vorkommt, welcher ganz aus Randpunkten sowohl von $L_{1}$ als auch von $L_{2}$ besteht.
• Eine zu einer ganzen Zahl $n>0$ gegebene Abbildung $f\colon \,{\mathfrak {L}}\to \{1,\ldots ,n\}$ nennt man $n$-Färbung.
  • Die Elemente von $\{1,\ldots ,n\}$ bezeichnet man (in Einklang mit den Gepflogenheiten der Graphentheorie) als Farben.
  • Eine $n$-Färbung $f\colon \,{\mathfrak {L}}\to \{1,\ldots ,n\}$ heißt zulässig, wenn je zwei benachbarten Ländern vermöge $f$ stets zwei verschiedene Farben zugeordnet sind.

Lehrsätze

• Satz von Weiske: Ist $F$ der $\mathbb {R} ^{2}$, so gibt keine Landkarte mit fünf paarweise benachbarten Ländern.
• Zweifarbensatz: Ist $F$ ein Rechteck und sind darüberhinaus die Grenzlinien so beschaffen, dass jede davon zwischen Randpunkten des Rechtecks verläuft oder eine innerhalb des Rechtecks verlaufene geschlossenen Jordankurven darstell, so existiert zu jeder topologischen Landkarte ${\mathfrak {K}}$ auf $F$ eine zulässige $2$-Färbung.
• Vierfarbensatz: Ist $F$ der $\mathbb {R} ^{2}$ oder die Einheitssphäre $S^{2}$, so existiert zu jeder topologischen Landkarte ${\mathfrak {K}}$ auf $F$ eine zulässige $4$-Färbung.
• Fünffarbensatz: Ist $F$ der $\mathbb {R} ^{2}$ oder die Einheitssphäre $S^{2}$, so existiert zu jeder topologischen Landkarte ${\mathfrak {K}}$ auf $F$ eine zulässige $5$-Färbung.

Literatur

• Rudolf Fritsch: Der Vierfarbensatz. Geschichte, topologische Grundlagen und Beweisidee. Unter Mitarbeit von Gerda Fritsch. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich 1994, ISBN 3-411-15141-2.  MR1270673
• Konrad Jacobs, Dieter Jungnickel: Einführung in die Kombinatorik (= de Gruyter Lehrbuch). 2., völlig neu bearbeitete und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin (u. a.) 2004, ISBN 3-11-016727-1. 
• K. P. Müller, H. Wölpert: Anschauliche Topologie. Eine Einführung in die elementare Topologie und Graphentheorie (= Mathematik für die Lehrerausbildung). B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02709-7. 
• Gerhard Ringel: Das Kantenfärbunsproblem. In: Selecta Mathematica III (Hrsg. Konrad Jacobs) (= Heidelberger Taschenbücher. Band 86). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971, ISBN 3-540-05333-6.  MR0504534
• Lutz Volkmann: Fundamente der Graphentheorie. Springer Verlag, Wien, New York 1996, ISBN 3-211-82774-9.  MR1392955
• Klaus Wagner: Graphentheorie (= BI-Hochschultaschenbücher. 248/248a). Bibliographisches Institut, Mannheim (u. a.) 1970, ISBN 3-411-00248-4.