Funktion (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, $x$-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, $y$-Wert) zuordnet. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem parametrische Kurven, Skalar- und Vektorfelder, Transformationen, Operationen, Operatoren und vieles mehr.

Begriffsgeschichte

Das Nebeneinander der Begriffe Funktion und Abbildung ist nur historisch zu verstehen.

Der Begriff Funktion, 1694 von Leibniz eingeführt, wurde zunächst als formelmäßige Rechenvorschrift aufgefasst, zum Beispiel $y = x^2$ oder $f(x)=\sin x$. In der Schulmathematik wurde dieser naive Funktionsbegriff bis weit in die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts beibehalten. Bisweilen wurden auch mehrwertige Funktionen, zum Beispiel eine im Vorzeichen unbestimmte Quadratwurzelfunktion, zugelassen.

Erst als die Analysis im 19. Jahrhundert mit einem exakten Grenzwertbegriff auf eine neue Grundlage gestellt wurde, entdeckten Weierstraß, Dedekind und andere, dass Grenzwerte unendlicher Folgen „klassischer“ Funktionen sprunghaft sein können und sich nicht immer durch „geschlossene“ Formeln, d. h. mit endlich vielen Rechenoperationen ausdrücken lassen. Das erzwang eine schrittweise Ausweitung des Funktionsbegriffs.

Davon unabhängig wurde im 19. Jahrhundert die Gruppentheorie begründet, mit der man systematisch untersuchen kann, wie sich algebraische Gleichungen unter der Wirkung aufeinanderfolgender Transformationen verändern. Bei der Anwendung dieser Theorie auf geometrische Probleme wurden gleichbedeutend mit Transformation auch die Begriffe Bewegung und Abbildung gebraucht.

Als Anfang des 20. Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik einheitlich in der Sprache der Mengenlehre formuliert wurden, stellten sich die mathematischen Begriffe Funktion und Abbildung als deckungsgleich heraus. Im Sprachgebrauch wirken die unterschiedlichen Traditionen jedoch fort. In der Analysis spricht man heute häufig noch von Funktionen, während man in der Algebra und in der Geometrie von Abbildungen spricht. Einige Mathematiker unterscheiden auch heute noch streng zwischen einer Abbildung und einer Funktion. Diese verstehen unter einer Funktion eine Abbildung in den reellen oder komplexen Zahlenkörper.

Weitere Synonyme für Funktion in spezielleren Zusammenhängen sind unter anderem Operator in der Analysis, Operation, Verknüpfung und Morphismus in der Algebra.

Heute sehen manche Autoren den Funktionsbegriff nicht unbedingt auf Mengen beschränkt an, sondern lassen jede aus geordneten Paaren bestehende Klasse, die keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente enthält, als Funktion gelten. Mengentheoretisch ausgedrückt werden Funktionen also als rechtseindeutige Relationen definiert.

Definitionen und Konventionen

Grundidee

Eine Funktion $f$ ordnet jedem Element $x$ einer Definitionsmenge $D$ genau ein Element $y$ einer Zielmenge $Z$ zu.

Schreibweise:

$f\colon\, D\to Z,\; x\mapsto y.$

Für das dem Element $x \in D$ zugeordnete Element der Zielmenge schreibt man im Allgemeinen $f(x)$.

Anmerkungen:

• Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge muss (wenn überhaupt) nicht nur einem Element der Definitionsmenge zugeordnet worden sein.
• Oft ist an Stelle der Definitionsmenge zunächst eine Quellmenge $Q$ gegeben. Wenn $f$ als Rechenvorschrift gegeben ist, erhält man die Definitionsmenge $D_f$, indem man von $Q$ diejenigen Elemente ausschließt, für die $f$ nicht definiert ist.

Mengentheoretische Definition

Mengentheoretisch ist eine Funktion eine spezielle Relation:

Eine Funktion von der Menge $D$ in die Menge $Z$ ist eine Menge $f$, die die folgenden Eigenschaften hat:

• $f$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts $D\times Z$ von $D$ und $Z$, d. h. $f$ ist eine Relation.
• Für jedes Element $x$ aus $D$ existiert (mindestens) ein Element $y$ in $Z$, so dass das geordnete Paar $(x,y)$ Element der Relation $f$ ist. $f$ ist also linkstotal.
• Zu jedem Element $x$ von $D$ gibt es höchstens ein Element $y$ von $Z$, so dass das Paar $(x,y)$ in $f$ liegt. $f$ ist damit rechtseindeutig oder funktional.

Die letzten beiden Eigenschaften lassen sich auch wie folgt zusammenfassen:

• Zu jedem Element $x$ von $D$ gibt es genau ein Element $y$ von $Z$, so dass das Paar $(x,y)$ Element der Relation $f$ ist.

Oft möchte man aber auch die Zielmenge explizit zu einem Teil der Funktion machen, zum Beispiel um Aussagen zur Surjektivität anstellen zu können:

Ein Paar $f = (G_f,Z)$, bestehend aus einer Relation $G_f$ und einer Menge $Z$, heißt Funktion von der Menge $D$ nach $Z$, wenn gilt: $G_f \subseteq D\times Z$ und zu jedem Element $x$ von $D$ gibt es genau ein Element $y$ von $Z$ (geschrieben $y = f(x)$), so dass das Paar $(x,y)$ Element von $G_f$ ist.

$G_f$ wird auch der Graph der Funktion $f$ genannt. Die Definitionsmenge $D$ der Funktion ist dabei durch ihren Graphen eindeutig bestimmt und besteht aus den ersten Komponenten aller Elemente des Graphen. Stimmen zwei Funktionen in ihren Graphen überein, so sagt man auch, sie seien im Wesentlichen gleich.

Man kann jedoch auch noch die Definitionsmenge hinzunehmen und eine Funktion entsprechend als ein Tripel $f = (G_f,D,Z)$, $G_f$ wie oben, definieren.

Verschiedene Weisen, eine Funktion zu spezifizieren

Eine Zuordnung kann unter anderem in einer der folgenden Formen beschrieben werden:

Funktionsgleichung mit Definitionsmenge

$f(x) = x^2, \qquad x \in \N$

Zuordnungsvorschrift mit Definitionsmenge

$x \mapsto x^2, \qquad x \in \N$

Wertetabelle (für endliche, aber auch abzählbar unendliche Definitionsmengen)

$x$	1	2	3	4	5	6	7	…
$y$	1	4	9	16	25	36	49	…

Als Relation insbesondere auch als aufgezählt oder beschrieben dargestellte Teilmenge

$f = \{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),\ldots\}$

Als Ergebnis von Verknüpfungen und Operationen (zum Beispiel Komposition, Differenzierung, Bildung der Umkehrfunktion, ...), die auf andere Funktionen angewendet werden

$f = (g^\prime\circ h)^{-1}$

Symbolische Schreibweisen

Für Funktionen gibt es etliche symbolische Schreibweisen, die jeweils einige spezielle Eigenschaften der Funktion ausdrücken. Im Folgenden werden einige wichtige genannt.

Symbol	Erklärung
$f\colon\, A\to B$	Funktion von $A$ nach $B$
$f\colon\, a\mapsto b$	Funktion, die $a$ auf $b$ abbildet; statt $b$ kann auch ein Term o. Ä. stehen
$(a,b) \in f$ $(a,b) \in G_f$	Funktion, die $a$ auf $b$ abbildet; statt $b$ kann auch eine Formel o. Ä. stehen (mengentheoretische Schreibweise)
$f\colon\, a\mapsto f(a) := b$	Funktion, die $a$ auf $b$ abbildet, die die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik (statt $f(a)$ stehen oft Dinge wie $a^{{-}1},\; \overline{a},\; a\cdot c$ u. Ä.) und der Formel o. Ä. (an der Stelle von $b$) zur Berechnung des Bildes angibt
$f\colon\, A\to B,\, a\mapsto f(a) := b$	Ausführlichste Notation, die alle beteiligten Mengen und die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik und der Formel o. Ä. zur Berechnung des Bildes angibt
$f\colon\, A\rightarrowtail B$	injektive Funktion von $A$ nach $B$
$f\colon\, A\twoheadrightarrow B$	surjektive Funktion von $A$ nach $B$
$f\colon\, A\;\operatorname\leftrightarrow\; B$ $f\colon\, A\;\operatorname\rightleftarrows\; B$ $f\colon\, A\;\,\operatorname{\twoheadrightarrow\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\rightarrowtail}\; B$	bijektive Funktion von $A$ nach $B$
$f\colon\, A\hookrightarrow B$	Inklusionsabbildung, natürliche Inklusion, natürliche Einbettung von $A$ in $B$ (A ist Untermenge von B, und die Funktion bildet jedes Element von $A$ auf sich ab.)
$f = \operatorname{id}_A$ $f\colon\, A \to A,\, a \mapsto a$ $f\colon\, A = B$	Identität, identische Abbildung auf A oder von $A$ nach $B$ (A = B, und die Funktion bildet jedes Element auf sich ab.)
$f\colon\, A \;\stackrel{\mathrm{\cong}}\rightarrow\; B$ $f\colon\, A \cong B$	Isomorphismus von $A$ nach $B$
$f\colon\, A\rightsquigarrow B$	partielle Funktion (s. o.) von $A$ nach $B$
$f\colon\, A\multimap B$	mehrwertige Funktion, Korrespondenz (s. o.) von $A$ nach $B$

Die Symbole können auch, wo sinnvoll, miteinander kombiniert werden.

Schreib- und Sprechweisen

Für die Zuordnung eines Funktionswertes $y$ zu einem Argument $x$ gibt es eine Reihe verschiedener Sprech- oder ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier einige Beispiele:

x wird abgebildet auf f von x

f von x wird x zugeordnet (vornehmlich, wenn das $\mapsto$-Symbol in der Symbolik steht)

y gleich f von x (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht)

y ist das Bild von x unter der Abbildung f

Davon zu unterscheiden ist die Sprech- und Schreibweise: „y ist eine Funktion von x“, die vor allem in der Physik sehr nahe stehenden Bereichen der Mathematik auftaucht. Sie ist die ältere und ursprüngliche Sprech- und Schreibweise und beschreibt die Abhängigkeit einer Variablen $y$ von einer anderen Variablen $x$, im Gegensatz dazu, dass mit Hilfe der Variablen $x$ und $y$ (stellvertretend) die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird. Die „physikalische“ Sprechweise stammt von dem Vorgehen, zunächst zwei veränderlichen Größen (der physikalischen Realität) Symbole, nämlich die Variablen $x$ und $y$, zuzuordnen und danach deren Abhängigkeit festzustellen. Steht beispielsweise $y$ für die Raumtemperatur und $x$ für die Zeit, so wird man feststellen können, dass sich die Raumtemperatur in Abhängigkeit von der Zeit ändert und somit „die Raumtemperatur eine Funktion der Zeit ist“ oder stellvertretend „y eine Funktion von x ist.“

Statt Definitionsmenge $A$ wird auch Definitionsbereich, Domain, Urbildmenge oder schlicht Urbild gesagt. Insbesondere im Falle partieller Funktionen wird zusätzlich von der Quellmenge gesprochen, diese heißt auch Quelle oder Source. Die Elemente von $A$ heißen Funktionsargumente oder Urbilder, salopp auch x-Werte. Die Zielmenge B wird auch Wertemenge, Wertebereich, Codomain, Destination oder Target genannt, die Elemente von $B$ heißen Zielwerte oder Zielelemente, salopp auch y-Werte. Funktionswerte, Bildelemente oder schlicht Bilder heißen dagegen nur diejenigen Elemente von $B,$ die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten, die Menge der Funktionswerte heißt Bildmenge, Bild, Image oder Range von $f.$

Wertemenge/-bereich wird manchmal etwas uneinheitlich auch als Synonym zu Bildmenge benutzt.

Für die verschiedenen Mengen sind diverse Operatoren-Schreibweisen in Gebrauch, also Kurzschreibweisen, die einer Funktion $f$ ihre verschiedenen Mengen zuordnen. Hier die gängigsten Beispiele:

Definitionsmenge	$\operatorname{Def}_f,\; \operatorname{Def}(f),\; \operatorname{Dom}_f,\; \operatorname{dom}(f),\; \operatorname D_f,\; \operatorname D(f),\; \operatorname{Ur}_f,\; \operatorname{Ur}(f)$
Quellmenge	$\operatorname{Quelle}_f,\; \operatorname{Quelle}(f),\; \operatorname Q_f,\; \operatorname Q(f),\; \operatorname{Src}_f,\; \operatorname{Src}(f)$
Bildmenge	$f(A),\; \operatorname{Bild}_f,\; \operatorname{Bild}(f),\; \operatorname B_f,\; \operatorname B(f),\; \operatorname{Im}_f,\; \operatorname{Im}(f),\; \operatorname I_f,\; \operatorname I(f),\; \operatorname{Ran}_f,\; \operatorname{ran}(f),\; \operatorname R_f,\; \operatorname R(f)$
Wertebereich	$\operatorname{Werte}_f,\; \operatorname{Werte}(f),\; \operatorname W_f,\; \operatorname W(f),\; \operatorname{Ziel}_f,\; \operatorname{Ziel}(f),\; \operatorname{Cod}_f,\; \operatorname{Cod}(f),\; \operatorname{Dst}_f,\; \operatorname{Dst}(f)$

Insbesondere wird für jede Untermenge $C\subset\operatorname{Bild}_f$ von $\operatorname{Bild}_f$ mit $f^{{-}1}(C)$ das Urbild von $C$ bezüglich der Funktion $f$ bezeichnet. Es gilt dann $\operatorname{Def}_f = f^{{-}1}(\operatorname{Bild}_f).$ Dieses $f^{{-}1}(C)$ ist nicht zu verwechseln mit dem Bild der Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion, es ist nur eine Schreibweise für das Urbild; im Falle, dass $f$ bijektiv ist, stimmen aber das so beschriebene Urbild von $C$ bezüglich $f$ und das Bild von $C$ unter der Umkehrfunktion $f^{{-}1}$ überein.

Stelligkeit

→ Hauptartikel: Stelligkeit

Eine Funktion $f \colon X\to Y$, deren Definitionsmenge $X$ eine Produktmenge $X=A\times B$ ist, heißt oft zweistellig. Den Wert von $f$, der bei Anwendung von $f$ auf das Paar $(a,b)$ erhalten wird, bezeichnet man mit $f(a,b)$.

Analoges gilt für höhere Stelligkeiten. Eine Funktion $f\colon A\times B \times C \to D$ bezeichnet man üblicherweise als dreistellig. Eine Funktion, deren Definitionsmenge keine Produktmenge ist (oder bei der die innere Struktur der Definitionsmenge keine Rolle spielt) bezeichnet man als einstellig. Unter einer nullstelligen Funktion versteht man eine Funktion, deren Definitionsmenge das leere Produkt $\{()\}$, eine gewisse einelementige Menge ist.

Statt einstellig, zweistellig, dreistellig sagt man auch oft unär, binär, ternär; Stelligkeit wird daher auch als „Arität“ (englisch: arity) bezeichnet.

Darstellung von Funktionen

Eine Funktion $f\colon\, U \to \R,\ U\subseteq\R$, kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein (zweidimensionales) Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion $f$ kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Elementepaare $(x|y)$, für die $y = f(x)$ ist. Der Graph einer stetigen Funktion auf einem zusammenhängenden Intervall bildet eine zusammenhängende Kurve (genauer: die Menge der Punkte der Kurve, aufgefasst als Unterraum des topologischen Raumes $\R^2$ ist zusammenhängend).

Analog kann man Funktionen $f\colon\, U \to \R^2,\, U\subseteq\R$, und $g\colon\, U \to \R,\, U\subseteq\R^2$, visualisieren, indem man sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnet. Ist $f$ stetig, so ergibt sich eine Kurve (die auch Ecken haben kann), die sich durch das Koordinatensystem „schlängelt“. Ist $g$ stetig, so ergibt sich eine Fläche als Bild, typischerweise in Form einer „Gebirgslandschaft“.

Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionsprogramme gehören auch zum Funktionsumfang von Computeralgebrasystemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, GNU Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar. Es gibt auch Web-gestützte Angebote, die nur einen aktuellen Browser benötigen.

Wichtige Begriffe

• Das Bild eines Elements $a$ der Definitionsmenge ist einfach $f(a)$.
• Das Bild einer Funktion ist die Menge der Bilder aller Elemente der Definitionsmenge $A$, also $f(A) := \{f(a) \mid a\in A\}$. Das Bild ist folglich eine Teilmenge der Zielmenge.
• Das Urbild eines Elements $b$ der Zielmenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild $b$ ist. Man schreibt $f^{-1}(b) := \{a\in A \mid f(a)=b\}$.
• Das Urbild einer Teilmenge $T$ der Zielmenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild Element dieser Teilmenge ist: $f^{-1}(T) := \{a\in A \mid f(a)\in T\}$.
• Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Zielmenge das Urbildelement zu (siehe unten).
• Als Verkettung oder Komposition zweier Funktionen $f,g$ definiert man die Funktion, die durch Hintereinanderausführung $(g\circ f)(a) := g(f(a))$ für alle Elemente $a$ der Definitionsmenge gegeben ist.
• Mit $B^A$ oder ${}^AB$ wird die Menge aller Abbildungen von $A$ nach $B$ bezeichnet:

$B^A := \{f \mid f\colon\, A \to B\}$.

• Die Einschränkung einer Funktion $f\colon\, A \to B$ auf eine Teilmenge $C$ der Definitionsmenge $A$ ist die Funktion $f|_C\colon\, C \to B$, die (je nach Definition) gegeben ist durch

$f|_C := f \cap (C\times B) = \{(a,b) \in f \mid a \in C\}$ oder auch

$G_{f|_C} := G_f \cap (C\times B) = \{(a,b) \in G_f \mid a \in C\}$.

• Ein Fixpunkt ist ein Element $a$ der Definitionsmenge von $f$, für das $f(a) = a$ gilt.

Eigenschaften von Funktionen

Allgemeine Eigenschaften

• Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens ein Urbild hat. D. h. aus $f(x_1) = y = f(x_2)$ folgt $x_1=x_2.$
• Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat. D. h. zu beliebigem $y$ gibt es ein $x$, so dass $f(x)=y.$
• Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, also wenn jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.
• Sie ist idempotent, wenn $f\circ f = f$ ist, d. h. $f(f(x)) = f(x)\,$ für alle Elemente $x$ der Definitionsmenge gilt.
• Sie ist eine Involution, wenn $f\circ f = \operatorname{id} \neq f$ ist, also $f(f(x)) = x\!\,$ für alle Elemente $x$ der Definitionsmenge gilt und für mindestens ein $x_0$ der Definitionsmenge $f(x_0) \neq x_0$ ist.

Eigenschaften, die in der Analysis von Interesse sind

• Konstanz
• Identität
• Beschränktheit
• Periodizität
• Monotonie
• Geradheit
• Stetigkeit
• Differenzierbarkeit
• Glattheit
• Holomorphie
• Homogenität
• Messbarkeit
• Integrierbarkeit
• Konvexität
• Definitheit

Funktionen, die Strukturen beachten

Funktionen, die Zusammenhänge wie Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Zielmenge nicht stören werden verträglich genannt. Siehe auch Homomorphismus, Morphismus und Kategorientheorie.

Strukturen erzeugende Abbildungen

Ein fundamentales Konzept in der Mathematik stellen Strukturen dar, die dadurch entstehen, dass Mengen in Verbindung mit dazugehörigen Abbildungen gesehen werden. Derartige Strukturen bilden die Grundlage praktisch aller mathematischen Disziplinen, sobald sie über elementare Mengenlehre, kombinatorische Probleme oder grundlegende mathematisch-philosophische Fragestellungen hinausgehen.

Algebraische Strukturen

Mengen können durch sogenannte Verknüpfungen strukturiert werden. Der wichtigste Spezialfall ist die innere zweistellige Verknüpfung, dabei handelt es sich um eine Abbildung der Form $f\colon\, A\times A \rightarrow A$.

Beispiele für innere zweistellige Verknüpfungen sind Rechenoperationen, wie die Addition oder Multiplikation auf Zahlenmengen. Dementsprechend wird das Bild $*(x,y)$ eines Paares $(x,y)$ unter einer Verknüpfung $*$ üblicherweise in der Form $x*y$ geschrieben.

Ist auf der Menge $B$ eine innere zweistellige Verknüpfung $*$ gegeben, so lässt sich auch auf $B^A$ eine innere zweistellige Verknüpfung von Abbildungen $f,g \in B^A$ definieren:

$f*g\colon\, A \to B,\, a \mapsto (f*g)(a) := f(a)*g(a).$

Eine zweite wichtige Art der Abbildung ist die äußere zweistellige Verknüpfung, dies ist eine Abbildung der Form $f\colon\, O\times A \to A$ oder $f\colon\, A\times O \to A$. $O$ wird dabei als Operatorenbereich bezeichnet.

Wichtigste Beispiele hierfür sind Moduln über Ringen und Vektorräume.

Topologische Strukturen

Eine topologische Struktur oder ein topologischer Raum besteht aus einer nichtleeren Menge $X$ und einem Mengensystem sogenannter offener Mengen, einer Topologie. Eine Topologie kann definiert werden mittels einer Abbildung

$\mathcal U\colon\, X \to \mathcal P(\mathcal P(X)\setminus\{\emptyset\})\setminus\{\emptyset\}$

mit

1. $U \in \mathcal U(x) \implies x \in U,$
2. $U \in \mathcal U(x)$ und $U \subseteq V \subseteq X \implies V \in \mathcal U(x),$
3. $U,V \in \mathcal U(x) \implies (U \cap V) \in \mathcal U(x),$
4. $U \in \mathcal U(x) \implies$  es existiert ein $V \in \mathcal U(x),$ so dass für alle $y \in V$ gilt:  $U \in \mathcal U(y).$

Die Mengen $U \in \mathcal U(x)$ werden als Umgebungen von $x$ bezeichnet. $\mathcal U$ ordnet also jedem Element $x \in X$ die Menge $\mathcal U(x)$ seiner Umgebungen zu. (Gelegentlich wird die Abbildung $\mathcal U$ selbst als Topologie bezeichnet.)

In der Analysis werden üblicherweise topologische Räume betrachtet, deren topologische Struktur durch eine sogenannte Abstandsfunktion oder Metrik erzeugt wird. Eine Metrik ist dabei eine Abbildung

$d\colon\, X \times X \to [0, \infty[$ mit den folgenden Eigenschaften für alle $x,y,z \in X$:

1. $d(x,y) = 0 \iff x = y,$
2. $d(x,y) = d(y,x),\;\,$
3. $d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)$  (Dreiecksungleichung).

Anschaulich gesprochen, gibt eine Metrik also den Abstand zweier Elemente an.

Handelt es sich bei der zu betrachtenden Menge um einen Vektorraum $V$ über dem reellen oder komplexen Zahlenkörper $\mathbb{K} \in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$, so kann eine Metrik (und damit eine Topologie) mittels einer Norm erzeugt werden. Eine Norm ist eine Abbildung

$\|{\cdot}\|\colon\, V \to [0,\infty[$ mit

1. $\|x\| = 0 \Rightarrow x = 0,$
2. $\|\alpha \cdot x\| = |\alpha| \|x\|$  ($|\alpha|$ ist der Betrag von $\alpha$),
3. $\|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|$  (Dreiecksungleichung)

für alle $x,y \in V$ und alle $\alpha \in \mathbb{K}.$ (Die Definition gilt in analoger Weise für Moduln aller Art.)

Anschaulich kann die Norm eines Vektors als seine Länge interpretiert werden. Abschwächungen des Normbegriffes sind Halbnormen und Quasi-Normen, mittels derer sich ebenfalls topologische Strukturen (allerdings keine Metriken) definieren lassen.

Sesquilinearformen

sind in der linearen Algebra und Funktionalanalysis betrachtete Abbildungen, die eine topologische und insbesondere geometrische Struktur erzeugen können.

Ist $V$ ein Vektorraum über dem reellen oder komplexen Zahlenkörper $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$, so ist eine Sesquilinearform eine Abbildung

$s\colon\, V \times V \to \mathbb{K}$, mit den Eigenschaften

1. $s(x_1+x_2,y)=s(x_1,y)+s(x_2,y)\ \forall\ x,y \in V$,
2. $s(x,y_1+y_2)=s(x,y_1)+s(x,y_2)\ \forall\ x,y \in V$,
3. $s(x,\lambda y)=\lambda \cdot s(x,y)\ \forall\ x,y \in V, \lambda \in \mathbb{K}$,
4. $s(\lambda x,y)=\overline{\lambda} \cdot s(x,y)\ \forall\ x,y \in V, \lambda \in \mathbb{K}.$

Man sagt, $s$ ist linear in der zweiten und antilinear (oder auch semilinear) in der ersten Komponente. Diese Anordnung ist allerdings willkürlich und variiert von Autor zu Autor.

Erfüllt die quadratische Form $q(x) := s(x,x)$ von $s$ zusätzlich die Bedingung

1. $q(x)\geq 0\ \forall\ x \in V$, oder gar
2. $q(x)> 0\ \forall\ x \in V,\, x \neq 0$,

so nennt man $s$ positiv semidefinit oder positiv definit.

Ist $V$ ein komplexer Vektorraum, so bezeichnet man $s$ in diesen Fällen schlicht als positiv, oder strikt positiv und es folgt, dass die Sesquilinearform hermitesch ist, das heißt es gilt

$s(x,y) = \overline{s(y,x)}.$

Ist $V$ ein reeller Vektorraum, so nennt man eine Sesquilinearform, die die entsprechende Bedingung

$s(x,y) = s(y,x)$ erfüllt, symmetrisch. Die Symmetrie einer Sesquilinearform folgt nicht aus ihrer Definitheit.

Eine positive (oder positiv semidefinite und symmetrische) Sesquilinearform bezeichnet man als Semiskalarprodukt, eine strikt positive (oder positiv definite und symmetrische) Sesquilinearform als Skalarprodukt. Im zweiten Fall schreibt man $\langle x,y\rangle = s(x,y)$.

Jedes Skalarprodukt (auch Semiskalarprodukt) erzeugt mittels $(q(x))^{\frac{1}{2}}$ eine Norm (auch Halbnorm), also eine topologische Struktur.

Zusätzlich lässt sich mittels eines Skalarproduktes der Begriff der Orthogonalität definieren. Zwei Vektoren $x,y$ heißen orthogonal genau dann, wenn $\langle x,y\rangle = 0$ gilt.

Spezielle Funktionen und Funktionstypen

• Beispiele einiger Funktionsgraphen
• 

  Lineare Funktion (genauer: Affine Abbildung)

• 

  Polynomfunktion 5. Grades

• 

  Realteil der komplexen Exponentialfunktion

• 

  Sinusfunktion

• 

  Kugelflächenfunktion

• 

  Gaußsche Glockenkurve

• homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch $f(x) = mx$; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
• allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch $f(x) = ax+b$; siehe auch affine Abbildung
• Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch $f(x) = ax^2+bx+c$ (s. Quadratische Gleichung)
• Potenzfunktion
• Polynomfunktionen; auch ganzrationale Funktion: allg. beschrieben durch $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ oder $f(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i$
• Rationale Funktion; gebrochen-rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, $f(x) = g(x)/h(x)$
• Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen, verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke
• Exponentialfunktion
• Logarithmus
• Trigonometrische Funktion: sin, cos, tan, cot, sec, csc
• Betragsfunktion
• Maximumsfunktion und Minimumsfunktion
• Gaußsche Ganzzahlfunktion

Verallgemeinerungen

Multifunktionen

Eine Multifunktion (auch mehrwertige Funktion oder Korrespondenz genannt) ist eine linkstotale Relation. Das heißt, die Elemente der Definitionsmenge $X$ können auf mehrere Elemente der Zielmenge $Y$ abgebildet werden. Man schreibt auch $f\colon X\multimap Y$. Ein Beispiel für Multifunktionen sind die Umkehrfunktionen von surjektiven Funktionen. (Wenn $f\colon X\rightarrow Y$ surjektiv ist, gilt automatisch: $f^{-1}\colon Y\multimap X$ ist eine Multifunktion.)

Wenn $Y$ eine Menge ist, dann kann man jede Multifunktion $f\colon X\multimap Y$ auch als eine Funktion $\tilde f$ darstellen, die in die Potenzmenge von $Y$ geht: $\tilde f\colon X\rightarrow\wp(Y)$.

Partielle Funktionen

Die partielle Funktion und ihre Untermenge die Funktion als spezielle Relationen

Wohlzuunterscheiden vom Begriff der Funktion ist der Begriff der partiellen Funktion der theoretischen Informatik, in der Mathematik spricht man eher von „nicht überall definierten Funktionen“ oder von „funktionaler Relation“. Hier darf es Elemente der Quellmenge ($x$-Werte) geben, denen kein Wert der Zielmenge ($y$-Wert) zugeordnet ist. Hier ist dann die Nennung der Quellmenge in der obigen Tripelschreibweise tatsächlich notwendig. Allerdings darf es auch dort für einen $x$-Wert nicht mehr als einen $y$-Wert geben. Um partielle Funktionen von Funktionen zu unterscheiden, bezeichnet man letztere auch als totale oder überall definierte Funktionen.

Funktionen mit Werten in einer echten Klasse

Häufig liegen die Werte einer Funktion nicht in einer Zielmenge, sondern lediglich in einer echten Klasse, beispielsweise sind Mengenfolgen „Funktionen“ mit Definitionsmenge $\N$ und Werten in der Allklasse. Um die mengentheoretischen Probleme, die sich daraus ergeben, zu vermeiden, betrachtet man nur noch den Graph der entsprechenden Funktion, genauer: Ein funktionsartiger Graph ist eine Menge $G$ von Paaren $(x,y)$, so dass keine zwei Paare im ersten Eintrag übereinstimmen:

$\forall x,y_1,y_2\colon\, (x,y_1),(x,y_2)\in G \implies y_1=y_2$

Definitions- und Wertemenge sind tatsächlich Mengen, aber es ist nicht nötig, sich von vornherein auf eine Zielmenge festzulegen.

Siehe auch

• Gottlob Frege: Funktion und Begriff (der Begriff als Funktion)
• Funktionenplotter (zur graphischen Darstellung)
• Funktionsschar
• Funktion höherer Ordnung

Literatur

• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum, Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
• Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung. Bd. 6). Übersetzt von Manfred Armbrust und Fritz Ostermann. 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17271-1.

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Abbildung – Lern- und Lehrmaterialien

 Wiktionary: Funktion – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

 Commons: Funktionen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien