„Spurpunkt“ – Versionsunterschied
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Als Spurpunkte einer [[Gerade]]n werden die [[Schnittpunkt]]e der Gerade mit den [[Koordinatenebene]]n bezeichnet. In diesen Punkten werden die Grundebenen jeweils von der Geraden durchdrungen und entsprechend ihrer Lage mit <math>S_{xy}</math>, <math>S_{xz}</math> und <math>S_{yz}</math> gekennzeichnet. Wenn beispielsweise eine [[Geradengleichung]] in [[Parameterform]] wie folgt gegeben ist<ref>{{Literatur|Autor=Heinz Rapp|Titel=Mathematik für die Fachschule Technik: Algebra, Geometrie, Differentialrechnung, Integralrechnung, Vektorrechnung, Komplexe Rechnung|Verlag=Springer Verlag|Jahr=2010|Ort=Heidelberg/Berlin|ISBN=9783834809148|Seiten=451| Online ={{Google Buch|BuchID=6Ez4nHYbxnYC| Seite = 451}}}}</ref> |
Als Spurpunkte einer [[Gerade]]n im dreidimensionalen Raums <math>\R^3</math> werden die [[Schnittpunkt]]e der Gerade mit den [[Koordinatenebene]]n bezeichnet. In diesen Punkten werden die Grundebenen jeweils von der Geraden durchdrungen und entsprechend ihrer Lage mit <math>S_{xy}</math>, <math>S_{xz}</math> und <math>S_{yz}</math> gekennzeichnet. Wenn beispielsweise eine [[Geradengleichung]] in [[Parameterform]] wie folgt gegeben ist<ref>{{Literatur|Autor=Heinz Rapp|Titel=Mathematik für die Fachschule Technik: Algebra, Geometrie, Differentialrechnung, Integralrechnung, Vektorrechnung, Komplexe Rechnung|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]|Jahr=2010|Ort=Heidelberg/Berlin|ISBN=9783834809148|Seiten=451| Online ={{Google Buch|BuchID=6Ez4nHYbxnYC| Seite = 451}}}}</ref> |
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:<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} </math> mit <math>\lambda \in \R</math>, |
:<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} </math> mit <math>\lambda \in \R</math>, |
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Der [[Ortsvektor]] des Spurpunktes wird durch Einsetzen von <math>\lambda </math> in die Parameterdarstellung bestimmt: <math>\vec s_{xy} = \begin{pmatrix} -5 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} </math>. Der Spurpunkt besitzt somit die Koordinaten <math>S_{xy} = P(-5\mid-4\mid0)</math>. |
Der [[Ortsvektor]] des Spurpunktes wird durch Einsetzen von <math>\lambda </math> in die Parameterdarstellung bestimmt: <math>\vec s_{xy} = \begin{pmatrix} -5 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} </math>. Der Spurpunkt besitzt somit die Koordinaten <math>S_{xy} = P(-5\mid-4\mid0)</math>. |
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Voraussetzung dafür, dass eine Gerade einen Spurpunkt mit einer der Koordinatenebene besitzt ist, dass sie nicht [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] zu dieser Ebene verlaufen darf.<ref>{{Internetquelle|autor=Institut Computational Mathematics der Technischen Universität Braunschweig| url=http://www.icm.tu-bs.de/~beick/vorl/dageo10/dageo.pdf|titel=Spurpunkte und Fluchtpunkte|werk=Darstellende Geometrie für Architekten und Bauingenieure. Skript und Präsenzübungen. WS 2010/11|seiten=10|zugriff=2016-08-20}}</ref> |
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==Spurpunkte einer Ebene== |
==Spurpunkte einer Ebene== |
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Als Spurpunkte einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] im dreidimensionalen Raums <math>\R^3</math> werden die Schnittpunkte der Ebene mit den [[Koordinatenachse]]n bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Jörg Stark|Titel=Training Intensiv Mathematik: Analytische Geometrie und Lineare Algebra mit Lern-Videos online|Verlag=[[Pons-Verlag]]|Jahr=2013|Ort=Stuttgart|ISBN=9783129491935|Seiten=37| Online ={{Google Buch|BuchID=ZW5jCAAAQBAJ| Seite = 37}}}}</ref> Die Berechnung kann aus [[Achsenabschnittsform#Achsenabschnittsform einer Ebenengleichung|Achsenabschnittsform]] oder der [[Koordinatenform#Koordinatenform einer Ebenengleichung|Koordinatenform]] einer [[Ebenengleichung]] erfolgen. |
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Voraussetzung dafür, dass eine Ebene einen Spurpunkt mit einer der Koordinatenachsen besitzt ist, dass sie nicht parallel zu einer der Koordinatenebenen verlaufen darf.<ref>{{Literatur|Autor=Cornelie Leopold|Titel=Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung|Verlag=Springer Verlag|Jahr=2011|Ort=Heidelberg/Berlin|ISBN=9783834819864|Seiten=199| Online ={{Google Buch|BuchID=IFkeBAAAQBAJ| Seite = 199}}}}</ref> |
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Auch die Schnittpunkte einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] im Raum mit den Koordinatenachsen werden manchmal als Spurpunkte bezeichnet und bestimmen die [[Achsenabschnittsform]] der [[Ebenengleichung]]. Existieren in drei Dimensionen alle drei Spurpunkte, so bestimmen sie das [[Spurdreieck (Vektorrechnung)|Spurdreieck]] der gegebenen Ebene. |
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== Siehe auch == |
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* [[Spurgerade]] |
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* [[Spurdreieck (Vektorrechnung)|Spurdreieck]] |
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* {{Wikibooks|MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Geraden und Ebenen/ Spurpunkte|Darstellung von Spurpunkten mit Beispielen}} |
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* {{Internetquelle|url=http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Vektorpdf/SchnittGeradeEbene2.pdf|titel=Spurpunkte: Aufgaben mit Lösungshinweisen|werk=Niedersächsischer Bildungsserver|zugriff=2016-08-20}} |
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== Einzelnachweise == |
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Version vom 20. August 2016, 19:50 Uhr
Spurpunkt ist ein Begriff der analytischen Geometrie, der in zwei Bedeutungen verwendet wird.
Spurpunkte einer Geraden
Als Spurpunkte einer Geraden im dreidimensionalen Raums werden die Schnittpunkte der Gerade mit den Koordinatenebenen bezeichnet. In diesen Punkten werden die Grundebenen jeweils von der Geraden durchdrungen und entsprechend ihrer Lage mit , und gekennzeichnet. Wenn beispielsweise eine Geradengleichung in Parameterform wie folgt gegeben ist[1]
- mit ,
dann ergibt sich durch Nullsetzen der -Komponente: . Der Ortsvektor des Spurpunktes wird durch Einsetzen von in die Parameterdarstellung bestimmt: . Der Spurpunkt besitzt somit die Koordinaten .
Voraussetzung dafür, dass eine Gerade einen Spurpunkt mit einer der Koordinatenebene besitzt ist, dass sie nicht parallel zu dieser Ebene verlaufen darf.[2]
Spurpunkte einer Ebene
Als Spurpunkte einer Ebene im dreidimensionalen Raums werden die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen bezeichnet.[3] Die Berechnung kann aus Achsenabschnittsform oder der Koordinatenform einer Ebenengleichung erfolgen. Voraussetzung dafür, dass eine Ebene einen Spurpunkt mit einer der Koordinatenachsen besitzt ist, dass sie nicht parallel zu einer der Koordinatenebenen verlaufen darf.[4]
Siehe auch
Weblinks
- Wikibooks: Darstellung von Spurpunkten mit Beispielen – Lern- und Lehrmaterialien
- Spurpunkte: Aufgaben mit Lösungshinweisen. In: Niedersächsischer Bildungsserver. Abgerufen am 20. August 2016.
Einzelnachweise
- ↑ Heinz Rapp: Mathematik für die Fachschule Technik: Algebra, Geometrie, Differentialrechnung, Integralrechnung, Vektorrechnung, Komplexe Rechnung. Springer Verlag, Heidelberg/Berlin 2010, ISBN 978-3-8348-0914-8, S. 451 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Institut Computational Mathematics der Technischen Universität Braunschweig: Spurpunkte und Fluchtpunkte. In: Darstellende Geometrie für Architekten und Bauingenieure. Skript und Präsenzübungen. WS 2010/11. S. 10, abgerufen am 20. August 2016.
- ↑ Jörg Stark: Training Intensiv Mathematik: Analytische Geometrie und Lineare Algebra mit Lern-Videos online. Pons-Verlag, Stuttgart 2013, ISBN 978-3-12-949193-5, S. 37 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Cornelie Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Springer Verlag, Heidelberg/Berlin 2011, ISBN 978-3-8348-1986-4, S. 199 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).