Empirische Varianz

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Die empirische Varianz , auch Stichprobenvarianz oder einfach nur kurz Varianz genannt, ist in der deskriptiven Statistik eine Kennzahl einer Stichprobe. Sie gehört zu den Streuungsmaßen und gibt an, wie weit die Stichprobe im Mittel vom arithmetische Mittel abweicht.

Die Begriffe "Varianz", "Stichprobenvarianz" und "empirische Varianz" werden in der Literatur nicht einheitliche Verwendet und treten sowohl als Homonym als auch als Synonym für verschiedene Dinge auf. Im allgemeinen muss zwischen der Varianz (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie) als Kennzahl einer Wahrscheinlichkeitsverteilung oder der Verteilung einer Zufallsvariable, der ((un-)korrigierten) Stichprobenvarianz als Schätzfunktion für die Varianz (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie) und der hier beschriebene (empirischen) Varianz unterschieden werden. Die Benennungen sind hierbei nicht eindeutig und überlappen sich. Für Details siehe blblb

Definition

Gegeben sei eine Stichprobe $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ mit $n$ Elementen, also

$x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

und sei

${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}$

das arithmetisches Mittel der Stichprobe. Die empirische Varianz wird auf zweierlei Arten definiert.

Entweder wird die empirische Varianz $v^{*}$ der Stichprobe definiert als

$v^{*}(x)={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}$,

oder sie wird definiert als

$v(x)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}$.

Wird nur von "der" empirischen Varianz gesprochen, so muss darauf geachtet werden, welche Konvention beziehungsweise Definition im entsprechenden Kontext gilt. Weder die Benennung der Definitionen noch die entsprechende Notation ist in der Literatur einheitlich. So finden sich für $v$ auch die Notationen $V(x)_{\text{emp}},S_{\text{emp}}^{2}$ oder $s^{2}$, hingegen wird $v^{*}$ auch mit $Var(x)_{\text{theor}},\;s_{n-1}^{2}$ oder $s^{2}$ bezeichnet. Manche Autoren bezeichnen $v$ als empirische Varianz und $v^{*}$ als theoretische Varianz oder induktive Varianz.

In diesem Artikel werden der klarheit halber die Notationen $v$ und $v^{*}$ verwendet, um Irrtümern vorzubeugen. Diese notation ist in der Literatur nicht verbreitet

Beispiel

Gegeben sei die Stichprobe

$x_{1}=10;x_{2}=9;x_{3}=13;x_{4}=15;x_{5}=16$,

es ist also $n=5$. Für den empirischen Mittelwert ergibt sich

${\overline {x}}={\frac {1}{5}}(10+9+13+15+16)={\frac {63}{5}}=12{,}6$.

Bei stückweiser Berechnung ergibt sich dann

${\begin{aligned}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}&=(10-12{,}6)^{2}+(9-12{,}6)^{2}+(13-12{,}6)^{2}+(15-12{,}6)^{2}+(16-12{,}6)^{2}\\\;&=(-2{,}6)^{2}+(-3{,}6)^{2}+0{,}4^{2}+2{,}4^{2}+3{,}4^{2}=37{,}2\end{aligned}}$.

Über die erste Definition erhält man

$v^{*}={\frac {37{,}2}{4}}=9{,}3$,

wohingegen die zweite Definition

$v={\frac {37{,}2}{5}}=7{,}44$

liefert.

Verhalten bei Transformationen

Die Varianz ist verändert sich nicht bei Verschiebung der Daten um einen fixen Wert. Ist genauer $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ und $y=(x_{1}+c,x_{2}+c,\dots ,x_{n}+c)$, so ist

$v(x)=v(y)$ sowie $v^{*}(x)=v^{*}(y)$

Denn es ist ${\overline {y}}={\overline {x}}+c$ und somit

$(y_{i}-{\overline {y}})^{2}=(x_{i}+c-({\overline {x}}+c))^{2}=(x_{i}-{\overline {x}})^{2}$,

woraus die Behauptung folgt. Werden die Daten nicht nur um $c$ verschoben, sondern auch um einen Faktor $a>0$ reskaliert, so gilt

$v(x)=a^{2}\cdot v(y)$ sowie $v^{*}(x)=a^{2}\cdot v^{*}(y)$.

Hierbei ist $y=(ax_{1}+c,ax_{2}+c,\dots ,ax_{n}+c)$. Dies folgt wie oben durch direktes nachrechnen.

Alternative Darstellungen

Direkt aus der Definition folgen die Darstellungen

$v^{*}={\frac {n}{n-1}}v$

beziehungsweise

$v={\frac {n-1}{n}}v^{*}$.

Eine weitere Darstellung erhält man aus dem Verschiebungssatz, nach dem

$\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}$

gilt. Durch Multiplikation mit ${\tfrac {1}{n}}$ erhält man daraus

$v={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-({\overline {x}})^{2}$,

woraus

$v^{*}={\frac {1}{n-1}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-{\frac {n}{n-1}}({\overline {x}})^{2}$

folgt.

Herkunft der verschiedenen Definitionen

Die Definition von $v$ entspricht der Definition der empirischen Varianz als die mittlere quadratischere Abweichung vom arithmetischen Mittel. Dieses basiert auf der Idee, ein Streumaß um das arithmetische Mittel zu definieren. Ein erster Ansatz ist die Differenz der Messwerte vom arithmetischen Mittel aufzusummieren. Dies führt zu

$k(x)=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})$

Da die Differenzen auch negative Werte annehmen können und es zur Ausöschung kommt, kann man die differenzen entweder in Betrag setzen, also

$|k|(x)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\overline {x}}|$

betrachten, oder aber QUadrieren, also

$k^{2}(x)=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}$

dies Bietet de Vorteil, dass Größere Abweichungen vom Arithmetischen Mittel stärker Gewichtet werden. Um das Streumaß noch unabhängig von der Anzahl der Messwerttze in der Stichprobe zu machen wird noch durch diese ANzahl dividiert. Ergebnis dieses pragmatisch hergelietewten Streumaßes ist die mittlere QUadratische abweichung vom mittelwert oder die oben definierte Varianz $v$.

Die Definition von $v^{*}$ hat ihre Wurzeln in der Schätztheorie. Dort wird

$V^{*}(X)={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}$

als erwartungstreue Schätzfunktion für die unbekannte Varianz einer Wahrscheinlichkeitsverteilung verwendet.

Geht man nun von den Zufallsvariablen $X_{i}$ zu den Realisierungen $X_{i}(\omega )=x_{i}$ über, so erhält man aus der abstrakten Schätzfunktion $V^{*}$ den Schätzwert $v^{*}$. Das Verhältnis von $V^{*}$ zu $v^{*}$ entspricht somit dem Verhältnis einer Funktion $f$ zu ihrem Funktionswert $f(x_{0})$ an einer Stelle $x_{0}$.

Somit kann $v$ als praktisch motiviertes ein Streumaß in der deskriptiven Statistik angesehen werden, wohingegen $v^{*}$ eine Schätzung für eine Unbekannte Varianz in der induktiven Statistik ist. Diese unterschiedleichen Ursprünge rchtfertigen die oben angeführte Sprechweise für $v$ als empirische Varianz und für $v^{*}$ als induktive Varianz oder theoretische Varianz.

Zu Bemerken ist, dass sich auch $v$ als Schätzwert einer Schätzfunktion interpretieren lässt. So erhält man bei Anwendung der Momentenmethode als Schätzfunktion für die Varianz

$V(X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}$.

Ihre Realisierung entspricht $v$. Jedoch wird $V$ meist nicht Verwendet, da sie gängige Qualitätskriterien nicht erfüllt.

Literatur

Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5, doi:10.1007/978-3-8349-4748-2. 

• Reinhold Kosfeld, Hans Friedrich Eckey, Matthias Türck: Deskriptive Statistik. Grundlagen – Methoden – Beispiele – Aufgaben. 6. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-13639-0, doi:10.1007/978-3-658-13640-6.