Galoisverbindung

Eine Galoisverbindung ist nach Évariste Galois benannt; dabei unterscheidet man monotone und antitone Galoisverbindungen. Ohne Angabe von "monoton" oder "antiton" sind in diesem Artikel antitone Galoisverbindungen gemeint.

Definition: Eine antitone Galoisverbindung zwischen zwei partiell geordneten Mengen $S,~T$ ist ein Paar $(\sigma ,\tau )$ von Abbildungen $\sigma \colon S\to T,~\tau \colon T\to S$, falls $\sigma$ und $\tau$ antitone Abbildungen sind und ihre Kompositionen $\sigma \tau$ und $\tau \sigma$ extensiv sind. Das bedeutet, es müssen die folgenden Eigenschaften erfüllt sein:

1. $\forall s_{1},s_{2}\in S:s_{1}\leq s_{2}\Rightarrow \sigma (s_{2})\leq \sigma (s_{1})$
2. $\forall t_{1},t_{2}\in T:t_{1}\leq t_{2}\Rightarrow \tau (t_{2})\leq \tau (t_{1})$
3. $\forall s\in S:s\leq \tau (\sigma (s))$
4. $\forall t\in T:t\leq \sigma (\tau (t))$

Äquivalent ist es zu fordern, dass

$\forall s\in S,t\in T:s\leq \tau (t)\iff t\leq \sigma (s)$

erfüllt ist.

Definition: Eine monotone Galoisverbindung zwischen zwei partiell geordneten Mengen $S,~T$ ist ein Paar $(f,g)$ von Abbildungen $f\colon S\to T,~g\colon T\to S$, falls $f$ und $g$ monotone Abbildungen sind, $gf$ extensiv ist und $fg$ intensiv. Das bedeutet, es müssen die folgenden Eigenschaften erfüllt sein:

1. $\forall s_{1},s_{2}\in S:s_{1}\leq s_{2}\Rightarrow f(s_{1})\leq f(s_{2})$
2. $\forall t_{1},t_{2}\in T:t_{1}\leq t_{2}\Rightarrow g(t_{1})\leq g(t_{2})$
3. $\forall s\in S:s\leq g(f(s))$
4. $\forall t\in T:f(g(t))\leq t$

Äquivalent ist es zu fordern, dass

$\forall s\in S,t\in T:s\leq g(t)\iff f(s)\leq t$

erfüllt ist. Eine monotone Galoisverbindung $(f,g)$ ist gerade der Spezialfall einer kategorientheoretischen Adjunktion $f\dashv g$, wo es sich bei den Kategorien um partiell geordnete Mengen handelt.

Eigenschaften

Eine antitone Galoisverbindung $(\sigma ,\tau )$ zwischen $S$ und $T$ besitzt die folgenden Eigenschaften:

• Symmetrie: $(\tau ,\sigma )$ ist eine Galoisverbindung zwischen $T$ und $S$.
• $\tau \sigma \tau =\tau$, per Symmetrie ebenso $\sigma \tau \sigma =\sigma$.
• $\tau \sigma$ ist ein Hüllenoperator auf $S$, und damit ist $\sigma \tau$ ein Hüllenoperator auf $T$ .
• Eindeutigkeit: Ist $(\sigma ,\tau ')$ eine weitere Galoisverbindung zwischen $S$ und $T$, so ist $\tau =\tau '$. Ist $(\sigma ',\tau )$ eine weitere Galoisverbindung zwischen $S$ und $T$, so ist $\sigma =\sigma '$

Eine monotone Galoisverbindung $(f,g)$ zwischen $S$ und $T$ besitzt die folgenden Eigenschaften:

• $fgf=f$ und $gfg=g$.
• $gf$ ist ein Hüllenoperator auf $S$ und $fg$ ein Kernoperator auf $T$.
• Ist $(f,g')$ eine weitere monotone Galoisverbindung zwischen $S$ und $T$, so ist $g=g'$. Ist $(f',g)$ eine weitere monotone Galoisverbindung zwischen $S$ und $T$, so ist $f=f'$.

Anwendung

Oft sind $S$ und $T$ dabei Potenzmengen, etwa $S={\mathcal {P}}(A)$ und $T={\mathcal {P}}(B)$. Diese sind durch Inklusion halbgeordnet. Unter einer Galoisverbindung zwischen den Mengen $A$ und $B$ versteht man dann eine Galoisverbindung zwischen $S$ und $T$. Solche können mit Hilfe von Relationen gewonnen werden: Sei $R\subseteq A\times B$ eine Relation zwischen $A$ und $B$. Die Abbildungen

$\sigma (X):=\{y\in B~|~\forall x\in X:(x,y)\in R\}$,

$\tau (Y):=\{x\in A~|~\forall y\in Y:(x,y)\in R\}$

stellen dann eine Galoisverbindung zwischen $S$ und $T$ her.

Theorie und Anwendung solcher Galoisverbindungen sind z.B. Gegenstand der Formalen Begriffsanalyse

Beispiele

• Sind die partiellen Ordnungen auf $S$ und $T$ gerade die Gleichheit, ist eine Galois-Verbindung (gleichgültig, ob monoton oder antiton) zwischen $R$ und $S$ ein Paar zueinander inverser Funktionen.
• Die Einbettung der ganzen Zahlen in die reellen Zahlen $i\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {R} ;z\mapsto z$ bildet mit der Abrundungsfunktion $\lfloor -\rfloor \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z}$ eine monotone Galoisverbindung, $i\dashv \lfloor -\rfloor$, zwischen $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {R}$ mit ihren gewöhnlichen Ordnungen.
• Für jede natürliche Zahl $d\neq 0$ bilden die ganzzahlige Division durch $d$, $\lfloor -/d\rfloor \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$, und die Multiplikation mit $d$, d.h. $-\cdot d\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$, eine monotone Galoisverbindung zwischen $(\mathbb {N} ,\leq )$ und $(\mathbb {N} ,\leq )$, $(-\cdot d)\dashv \lfloor -/d\rfloor$.

• Zwischen einem Körper $L$ (mit Unterkörper $K$) und der Galoisgruppe von $G=Gal(L/K)$ besteht die folgende Relation $R$:

$(\phi ,x)\in R\Leftrightarrow \phi x=x.$

Daraus kann eine Galoisverbindung zwischen $L$ und $G$ definiert werden. Diese wird im Hauptsatz der Galoistheorie untersucht. Dieses Beispiel erklärt die Bezeichnung Galoisverbindung.

• Betrachten wir einen Vektorraum $V$ und einen zweiten Vektorraum $F$ bestehend aus linearen Funktionalen von $V$, d. h. einen Unterraum des Dualraumes $V^{*}$. Wir definieren die Relation $R$ auf $V\times F$ durch

$(v,f)\in R:\Leftrightarrow f(v)=0.$

Diese Relation definiert eine Galois-Verbindung zwischen $V$ und $F$, aber auch zwischen deren Unterräumen. Man schreibt dann $\perp$ anstatt $\sigma$ sowie $\top$ anstatt $\tau$, und es gilt

$U^{\perp }=\{f\in V^{*}~|~U\subseteq Kern(f)\},$

$U^{\top }=\bigcap \limits _{f\in U}Kern(f).$

• In der Algebraischen Geometrie besteht eine Galois-Verbindung $({\mathcal {I}},{\mathcal {V}})$ z. B. zwischen den affinen algebraischen Mengen in $k^{n}$ und den Idealen im Polynomring $k[X_{1},X_{2},\dots X_{n}]$, wobei $k$ einen algebraisch abgeschlossenen Körper bezeichnet. Dabei ordnet ${\mathcal {I}}$ jeder algebraischen Menge das Ideal aller Polynome zu, die auf dieser Menge verschwinden und ${\mathcal {V}}$ ordnet jedem Ideal diejenige algebraische Menge zu, die gemeinsame Nullstellenmenge aller Polynome in diesen Ideal ist.

${\mathcal {I}}(A):=\left\{f\in k[X_{1},X_{2},\dots X_{n}]\,~|~\,f(A)=0\right\}$

${\mathcal {V}}(I):=\left\{x\in k^{n}\,~|~\,f(x)=0\;\forall \,f\in I\right\}$

• In der Universellen Algebra, genauer in der Gleichungstheorie, existiert eine Galoisverbindung $(M,G_{X})$ zwischen den Gleichungssystemen und den Klassen von Algebren. Dabei seien Algebren und Terme von einem festen Typ. Die Galoisverbindung wird als die Galoisverbindung der Gleichungstheorie bezeichnet und weicht von der ursprünglichen Definition dahingehend ab, dass nicht bloß auf Mengen, sondern auf Klassen operiert wird. Es sei $\Sigma \subseteq T(X)\times T(X)$ ein Gleichungssystem über der Variablenmenge $X$ und ${\mathcal {K}}$ eine Klasse von Algebren:

$M(\Sigma ):=\left\{A~|~A\models s\approx t\;\forall \,(s,t)\in \Sigma \right\}$, die Klasse aller Modelle von $\Sigma$

$G_{X}({\mathcal {K}}):=\left\{(s,t)\in T(X)\times T(X)~|~A\models s\approx t\;\forall \,A\in {\mathcal {K}}\right\}$, die Menge aller in allen Algebren von ${\mathcal {K}}$ gültigen Gleichungen über $X$

• In $\mathbb {R}$ mit der Standardordnung gilt

$a+b\geq c\iff a\geq c-b$.

Das heißt, $x\mapsto x+b$ und $x\mapsto x-b$ bilden eine monotone Galoisverbindung. Man kann diese Eigenschaft auch als Definition der Subtraktion einer Zahl relativ zur Addition derselben Zahl auffassen. Im Gegensatz zur Definition der Subtraktion als Addition des additiven Inversen ist sie auch in Situationen brauchbar, wo es keine negativen Zahlen gibt.

• Für jede Abbildung $f\colon A\to B$ gibt es die Urbildabbildung $f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(B)\to {\mathcal {P}}(A)$. Bezüglich der Teilmengenrelation hat diese links- und rechtsadjungierte $\Sigma _{f},\Pi _{f}\colon {\mathcal {P}}(A)\to {\mathcal {P}}(B)$, mit $\Sigma _{f}\dashv f^{-1}\dashv \Pi _{f}$, definiert durch

$\Sigma _{f}(X):=\{b\in B\mid \exists a\in A:f(a)=b\land a\in X\}$ und

$\Pi _{f}(X):=\{b\in B\mid \forall a\in A:f(a)=b\Rightarrow a\in X\}$.

$\Sigma _{f}$ ist als Bildung des Bilds unter $f$ bekannt.