„Algebraische Gleichung“ – Versionsunterschied

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Version vom 10. November 2020, 21:53 Uhr

Die Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms - einem klassischen Problem der Algebra - führt zu einer algebraischen Gleichung, auch Polynomgleichung oder polynomiale Gleichung genannt. Mit ihrer Lösung beschäftigten sich Mathematiker wie Tartaglia, Cardano, Ferrari, Ruffini, Abel, Gauß und Galois.

Definition

Eine algebraische Gleichung vom Grad $n$ ( $n\in \mathbb {N}$ ) über einem Ring oder Körper $K$ ist eine Gleichung

P_{n}(x)=0

mit einem Polynom $P_{n}(x)$ $n$ -ten Grades über $K$ , also eine Gleichung der Form

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=0

mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $K$ und $a_{n}\neq 0.$ ^[1]

Lösung

Die Nullstellen von Polynomen werden auch als Wurzeln des Polynoms bezeichnet.

Jede Lösung einer algebraischen Gleichung über den rationalen Zahlen heißt algebraische Zahl; bei algebraischen Gleichungen über einem beliebigen Körper heißen die Lösungen algebraische Elemente. Die Lösungen liegen im Körper selbst oder einem Erweiterungskörper, der durch eine algebraische Erweiterung - nämlich der Adjunktion aller Lösungen - aus dem ursprünglichen Körper hervorgeht.

Jede algebraische Gleichung vom Grad $n$ mit komplexen Koeffizienten hat genau $n$ komplexe Lösungen - mit Vielfachheit gezählt. (Fundamentalsatz der Algebra).

Für die algebraische Gleichung 2., 3. und 4. Grades gibt es Lösungsformeln (siehe: quadratische Gleichung,kubische Gleichung, quartische Gleichung). Die allgemeinen Gleichungen 5. und höheren Grades sind nicht durch Radikale auflösbar (Satz von Abel-Ruffini). Die Frage, welche speziellen Gleichungen 5. oder höheren Grades durch Radikale auflösbar sind, wird im Rahmen der Galoistheorie beantwortet.

Siehe auch

Differential-algebraische Gleichung

Literatur

Karpfinger/Meyberg: Algebra. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-54721-2.

Weblinks

Wikibooks: Mathematik: Algebra – Lern- und Lehrmaterialien

Universität Frankfurt: Analytische Lösung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades

↑ Karpfinger/Meyberg: Algebra , Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-662-54721-2, Kapitel 30

[1] Karpfinger/Meyberg: Algebra , Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-662-54721-2, Kapitel 30

[1]

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+Die Bestimmung der [[Nullstellenmenge|Nullstellen]] eines [[Polynom|Polynoms]] - einem klassischen Problem der [[Algebra]] - führt zu einer '''algebraischen Gleichung''', auch ''Polynomgleichung'' oder ''polynomiale Gleichung'' genannt. Mit ihrer Lösung beschäftigten sich Mathematiker wie [[Niccolò Tartaglia|Tartaglia]], [[Gerolamo Cardano|Cardano]], [[Lodovico Ferrari|Ferrari]], [[Paolo Ruffini (Mathematiker)|Ruffini]], [[Niels Henrik Abel|Abel]], [[Carl Friedrich Gauß|Gauß]] und [[Évariste Galois|Galois]].
-{{QS-Mathematik}}
-{{Belege fehlen|2=Dieser Artikel|1=Das mag für ein Mathematiker trivial sein, für den allgemeinen Leser ist es das nicht: Bitte Abschnitte ''Literatur'' und ''Weblinks'' aufnehmen und ein, zwei gute Angaben einsetzen, wo dies näher nachgelesen werden kann.--[[Benutzer:Rote4132|Rote4132]] ([[Benutzer Diskussion:Rote4132|Diskussion]]) 22:28, 26. Jan. 2020 (CET)}}
+== Definition ==
-In der [[Mathematik]] wird der Begriff '''algebraische Gleichung''' in einer engeren und einer weiteren Bedeutung verwendet.
+Eine ''algebraische Gleichung'' vom Grad <math>n</math> (<math>n \in \N</math>) über einem [[Ringtheorie|Ring]] oder [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> ist eine Gleichung
-== Engere Bedeutung ==
-Im engeren Sinn versteht man unter einer ''algebraischen Gleichung'' vom Grad <math>n</math> über einem [[Ringtheorie|Ring]] oder [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> eine Gleichung der Form
 :<math>P_n(x)=0</math>
-mit einem [[Polynom]] <math>P_n(x)</math> <math>n</math>-ten Grades über <math>K</math>, also eine Gleichung der Gestalt
+mit einem Polynom <math>P_n(x)</math> <math>n</math>-ten Grades über <math>K</math>, also eine Gleichung der Form
 :<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0 =\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} = 0</math>
-mit [[Koeffizient]]en <math>a_i</math> aus <math>K</math> und <math>a_n \neq 0.</math>
+mit [[Koeffizient]]en <math>a_i</math> aus <math>K</math> und <math>a_n \neq 0.</math><ref>Karpfinger/Meyberg: ''Algebra'' , Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-662-54721-2, Kapitel 30</ref>
-Wird <math>K</math> nicht genauer spezifiziert, so sind üblicherweise die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] gemeint, also beispielsweise die Gleichung
-:<math>-7x^3 + \tfrac{2}{3} x^2 - 5x + 3=0.</math>
-Im Fall der rationalen Zahlen lässt sich die Gleichung durch Multiplikation mit dem [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinsten gemeinsamen Vielfachen]] der Nenner der Koeffizienten stets in eine gleichwertige Gleichung mit [[Ganze Zahl|ganzzahligen]] Koeffizienten umwandeln, so ergibt sich etwa
-:<math>-21x^3 + 2 x^2 - 15x + 9=0</math>
+== Lösung ==
-für obiges Beispiel.
+*Die Nullstellen von Polynomen werden auch als ''Wurzeln des Polynoms'' bezeichnet.
-Jede Lösung einer algebraischen Gleichung über den rationalen Zahlen heißt [[algebraische Zahl]]; bei algebraischen Gleichungen über einem beliebigen Körper heißen die Lösungen [[Algebraisches Element|algebraische Elemente]]. Diese Bezeichnung drückt aus, dass eine solche Lösung nicht in dem Ring oder Körper liegen muss, aus dem die Koeffizienten der Gleichung stammen, sondern erst in einem geeigneten Erweiterungsring oder -körper.
+*Jede Lösung einer algebraischen Gleichung über den rationalen Zahlen heißt [[algebraische Zahl]]; bei algebraischen Gleichungen über einem beliebigen Körper heißen die Lösungen [[Algebraisches Element|algebraische Elemente]]. Die Lösungen liegen im Körper selbst oder einem [[Körpererweiterung|Erweiterungskörper]], der durch eine [[algebraische Erweiterung]] - nämlich der [[Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] aller Lösungen - aus dem ursprünglichen Körper hervorgeht.
-Jede algebraische Gleichung positiven Grades mit reellen oder komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Lösung. Das ist die Aussage des ''[[Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]''.
+*Jede algebraische Gleichung vom Grad <math>n</math> mit komplexen Koeffizienten hat genau <math>n</math> komplexe Lösungen - mit Vielfachheit gezählt. (''[[Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]'').
+*Für die algebraische Gleichung 2., 3. und 4. Grades gibt es Lösungsformeln (siehe: [[quadratische Gleichung]],[[kubische Gleichung]], [[quartische Gleichung]]). Die allgemeinen Gleichungen 5. und höheren Grades sind nicht durch [[Radikal (Mathematik)|Radikale]] auflösbar ([[Satz von Abel-Ruffini]]). Die Frage, welche speziellen Gleichungen 5. oder höheren Grades durch Radikale auflösbar sind, wird im Rahmen der [[Galoistheorie]] beantwortet.
-Die Lösungen einer algebraischen Gleichung mit reellen Koeffizienten sind reell oder paarweise [[Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplex]].
+== Siehe auch ==
-Man kann auch algebraische Gleichungen für [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] definieren. Nimmt man als Koeffizientenring den Ring
+* [[Differential-algebraische Gleichung]]
-:<math>R=C(\R_+,\R)</math>
-der stetigen Funktionen über der positiven Halbachse und bezeichnet mit x die durch ''x(t)=t für alle t'' definierte [[Identische Abbildung|identische Funktion]], so ist die Quadratwurzelfunktion eine Lösung der algebraischen Gleichung
-:<math>y(t)^2-x(t)=0.</math>
-Eine solche Betrachtungsweise ist erforderlich, um Lösungen unterbestimmter algebraischer Gleichungssysteme zu untersuchen.
-== Weitere Bedeutung ==
+== Literatur ==
-In einem weiteren Sinn wird ''algebraische Gleichung'' auch als Abgrenzung gegenüber [[Differentialgleichung]]en verwendet. So bezeichnet man beispielsweise bei der [[Algebro-Differentialgleichung]]
+* {{Literatur
-:<math>
+   |Autor=Karpfinger/Meyberg
-\begin{matrix}
+   |Titel=Algebra
-\dot{x}_1(t) & = & f_1(x_1(t),x_2(t),t)\\
+   |Verlag=Springer Spektrum
-& = & f_2(x_1(t),x_2(t),t)
+   |Ort=Berlin
-\end{matrix}
+   |Datum=2017
-</math>
+   |ISBN=978-3-662-54721-2}}
+== Weblinks ==
-(<math>f_1, f_2</math> sind dabei gegebene Funktionen einer Teilmenge von <math>\R^3</math> nach <math>\R</math>; <math>x_1, x_2</math> sind gesuchte Funktionen einer Teilmenge von <math>\R</math> nach <math>\R</math>) die zweite Gleichung als ''algebraische Gleichung'' (unabhängig davon, ob <math>f_2</math> algebraisch im engeren Sinn ist), um sie von der ersten Gleichung, der ''Differentialgleichung'', zu unterscheiden.
+{{Wikibooks|Mathematik: Algebra}}
+* [https://durus.gcsc.uni-frankfurt.de/~dlogashenko/dload/de_equat34.pdf Universität Frankfurt: Analytische Lösung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades]
 [[Kategorie:Algebra]]

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