Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski

Der Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski, englisch Kuratowski-Ryll Nardzewski Selection Theorem, ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Analysis, der auf die beiden polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski und Czesław Ryll-Nardzewski zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen sich einer mengenwertigen Abbildung zwischen einem Messraum und einem topologischen Raum unter Berücksichtigung von Messbarkeitsgesichtspunkten eine Auswahlabbildung unterordnen lässt.

Formulierung des Satzes

Anknüpfend an die Darstellung von Leszek Gasiński und Nikolaos S. Papageorgiou lässt sich der genannte Auswahlsatz folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ein Messraum $\Omega$ und ein topologischer Raum $X$.

Weiter gegeben sei eine messbare mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}$ derart, dass für jedes $x\in X$ die zugeordnete Teilmenge $F(x)$ in $X$ abgeschlossen ist.

Ist dabei $X$ ein polnischer Raum, so existiert stets eine zugehörige messbare Auswahlabbildung $f\colon \Omega \to X$.

Verwandter Satz

Mit dem Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski direkt verwandt ist ein anderer Auswahlsatz, der die gleiche Frage unter Stetigkeitsgesichtspunkten statt unter Messbarkeitsgesichtspunkten behandelt und nach seinem Entdecker, dem US-amerikanischen Mathematiker Ernest Arthur Michael, als Auswahlsatz von Michael, englisch Michael Selection Theorem, bezeichnet wird.

Anknüpfend an die Darstellung von Winfried Kaballo lässt sich dieser Satz von folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ein topologischer Raum $\Omega$ und ein topologischer Vektorraum $X$.

Weiter gegeben sei eine unterhalbstetige mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}$ derart, dass für jedes $x\in X$ die zugeordnete Teilmenge $F(x)$ in $X$ zugleich abgeschlossen und konvex ist.

Ist dabei $\Omega$ ein parakompakter Raum und ist zugleich $X$ ein Fréchet-Raum , so existiert stets eine zugehörige stetige Auswahlabbildung $f\colon \Omega \to X$.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Für eine gegebene Grundmenge $X$ und eine mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}$ ist eine Auswahlabbildung von $F$ ( englisch selector, selection) dadurch gekennzeichnet, dass für alle $\omega \in \Omega$ die Beziehung $f(\omega )\in F(\omega )$ erfüllt ist.
• Für einen Messraum $\Omega$ und einen topologischen Raum $X$ wird eine mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {\mathcal {P}}(X)$ als messbar bezeichnet, wenn für jede in $X$ gelegene offene Teilmenge $U\subseteq X$ die zugehörige Teilmenge $F^{-}(U):=\left\{\omega \in \Omega \mid F(\omega )\cap U\neq \emptyset \right\}$ die Beziehung $F^{-}(U)\in {\mathcal {\Sigma }}$ erfüllt.
• Für zwei topologische Räume $\Omega$ und $X$ wird eine mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {\mathcal {P}}(X)$ als unterhalbstetig bezeichnet, wenn für jede in $X$ gelegene offene Teilmenge $U\subseteq X$ die zugehörige zugehörige Teilmenge $F^{-}(U)$ in $\Omega$ offen ist.

Literatur

• Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: Exercises in Analysis. Part 1 (= Problem Books in Mathematics). Springer-Verlag, Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2014, ISBN 978-3-319-06175-7, doi:10.1007/978-3-319-06176-4 (MR3307732). 
• Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Distributionen – lokalkonvexe Methoden – Spektraltheorie. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37793-8, doi:10.1007/978-3-642-37794-5 (MR3672798).