Stoßmittelpunkt

Der Stoßmittelpunkt und der Schwingungs­mittel­punkt sind in der Mechanik identische Punkte eines festen Körpers. Fasst man den Stiel eines Hammers oder Beils im Stoß­mittel­punkt, dann muss die Hand beim Hämmern keinen Prellstoß aushalten. Reduziert man andererseits den aufgehängten Körper auf einen Massenpunkt im Schwingungs­mittel­punkt, dann hat dieses sogenannte mathematische Pendel dieselbe Schwingungsdauer wie der ursprüngliche Körper. Oszillations­zentrum ist eine andere Bezeichnung für den Schwingungs­mittel­punkt.

Die genannten Eigenschaften legen den Schwingungs- und Stoß­mittel­punkt eindeutig fest, und es stellt sich heraus, dass beide Punkte übereinstimmen.

Stoßmittelpunkt

Abb. 1: Physikalisches Pendel (braun) mit Schwerpunkt S und Stoß­mittel­punkt C

Betrachtet wird ein fester Körper, der in einem Punkt P frei drehbar aufgehängt ist. Der Einfachheit halber soll der Körper eine Symmetrieebene besitzen, in der der Massenmittelpunkt S, das Lager P und die Wirkungslinie der Stoßkraft F liegen. Dann führt der Körper eine ebene Bewegung aus, wo sich alle Körperpunkte in Parallelebenen aufhalten, siehe Abbildung 1.

Auf den nach unten hängenden Körper soll im Punkt C in der Symmetrieebene, exzentrisch eine Kraft F horizontal so wirken, dass bei der einsetzenden Drehbewegung der Lagerpunkt P in Ruhe bleibt, keine horizontale Lagerreaktion auftritt und sich die einsetzende Bewegung als reine Drehung um P darstellt. P ist dann der anfängliche Momentanpol.

Gemäß dem Drallsatz in der Ebene „Drehmoment um einen Punkt ist gleich Massenträgheitsmoment um diesen Punkt mal Winkelbeschleunigung“ wird der Körper in Drehung versetzt, wenn die Kraft nicht im Massen­mittel­punkt angreift. Der Kraftangriffspunkt soll nun so gewählt werden, dass die Drehung um S dieselbe Winkelbeschleunigung ${\ddot {\phi }}$ (zweifache Zeitableitung von ϕ) erfährt wie die Drehung um P. Die Winkelbeschleunigung ist proportional zum Drehmoment „Kraft mal Hebelarm“ um den Drehpunkt und umgekehrt proportional zum Massenträgheitsmoment um diesen Punkt. Für die Punkte P und S ergibt sich:

${\mathsf {{\ddot {\phi }}={\frac {(r+e)F}{\theta _{P}}}{\stackrel {!}{=}}{\frac {eF}{\theta _{S}}}}}$

Mit dem Steiner’schen Satz ${\mathsf {\theta _{P}=mr^{2}+\theta _{S}}}$ folgt

${\mathsf {|PC|=r+e=r+{\frac {\theta _{S}}{mr}}}}$   oder   ${\mathsf {|SC|=e={\frac {\theta _{S}}{mr}}}}$

Anwendungen:

• Wird eine Billardkugel auf einer glatten Ebene in ihrem Stoß­mittel­punkt angestoßen, dann rollt sie auf der Ebene schlupflos ab, siehe Eulersche Kreiselgleichungen#Anstoß einer Billardkugel.
• Wenn ein Körper mit Symmetrieebene, wie das Pendel eines Schlagwerkes, der Glockenklöppel oder das ballistische Pendel, in seinem Stoß­mittel­punkt aufgehängt wird, dann erfährt die Drehachse keinen Stoßdruck.
• Insbesondere wenn eine aufklappende Tür durch einen Türstopper bei 2/3 ihrer Breite aufgehalten wird, werden die Türangeln nur minimal belastet, siehe das #Beispiel mit B≈0. Die hier vernachlässsigte Elastizität der Tür führt zu Biegeschwinungen und Lagerreaktionen, die nur bei schwungvollem Aufschlag beachtenswert sind.
• Fasst man den Stiel eines Hammers oder Beils im Stoß­mittel­punkt, dann muss die Hand beim Hämmern keinen Prellstoß aushalten. Gewöhnlich ist der Stiel so lang, dass sich der Stoß­mittel­punkt an seinem Ende befindet.

Schwingungsmittelpunkt

Abb. 2: Physikalisches Pendel (braun) mit Lager P, Schwerpunkt S und Schwingungs­mittel­punkt C

Betrachtet wird derselbe Körper, der im Punkt P unverschieblich aber drehbar aufgehängt wird. Die Gewichtskraft mg greift in seinem Schwerpunkt S an. Wenn dieser, wie in Abbildung 2, nicht lotrecht unter oder über P liegt, übt die Gewichtskraft ein Drehmoment aus, das den Körper zum Pendeln anregt. Bei kleinen Schwingungen hat dieses sogenannte physikalische Pendel die Kreisfrequenz

${\mathsf {\omega _{p}^{2}={\frac {rmg}{\theta _{P}}}}}$

mit:

r:	Abstand des Schwerpunkts vom Stützpunkt (│PS│)
m:	Masse des Körpers
g:	Schwerebeschleunigung und
θP:	Massenträgheitsmoment des Körpers um P und eine Drehachse senkrecht zur Schwingungsebene.

Beim mathematischen Pendel mit Massenpunkt in C ist die Kreisfrequenz nur vom Abstand |PC|=r+e der Masse vom Lager und nicht von der Masse selbst abhängig:

${\mathsf {\omega _{m}^{2}={\frac {g}{r+e}}}}$

Hier ist |SC|=e der Abstand des Massenpunkts vom Schwerpunkt und die Länge |PC| wird auch reduzierte Länge genannt. Der Schwingungs­mittel­punkt C liegt dort, wo beide Kreisfrequenzen übereinstimmen:

${\mathsf {\omega _{p}^{2}={\frac {rmg}{\theta _{P}}}=\omega _{m}^{2}={\frac {g}{r+e}}\quad \rightarrow \quad |PC|=r+e={\frac {\theta _{P}}{mr}}}}$

Nach dem Steiner’schen Satz sind die Trägheitsmomente um P und S durch ${\mathsf {\theta _{P}=mr^{2}+\theta _{S}}}$ verknüpft, sodass sich wie beim Stoß­mittel­punkt

${\mathsf {|PC|=r+e={\frac {mr^{2}+\theta _{S}}{mr}}=r+{\frac {\theta _{S}}{mr}}}}$   oder   ${\mathsf {|SC|=e={\frac {\theta _{S}}{mr}}}}$

ergibt.

Die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels ändert sich nicht, wenn Aufhängepunkt und Schwingungsmittelpunkt vertauscht werden.

Mathematisches Pendel

Siehe auch: Mathematisches Pendel

Das mathematische Pendel besteht aus einem Massenpunkt, der im Schwerefeld an einem masselosen Faden aufgehängt ist. Beim Massenpunkt stimmen Schwerpunkt und Massen­mittel­punkt überein und relativ zu ihnen hat der Punkt kein Massenträgheitsmoment (θ_S=0). Beim mathematischen Pendel stimmen deshalb Schwerpunkt, Massen­mittel­punkt, Stoß- und Schwingungs­mittel­punkt überein.

Geschichte

Jakob I Bernoulli bestimmte 1703 als erster das Oszillations­zentrum eines Pendels, was er bereits auch in einem ersten, etwas unrichtigen Versuch 1686 tat. Dies ist auch gleichzeitig das erste Auftreten des Drallsatzes, der zu seiner Zeit noch nicht bekannt war.

Beispiel

Betrachtet wird der in Abbildung 1 und Abbildung 2 dargestellte, an einem Ende aufgehängte Balken. Er besitzt einen rechteckigen Querschnitt mit Breite B und Höhe H senkrecht zur Bildebene, die Länge R=2r und die Masse m. Ein solcher Balken hat das Massenträgheitsmoment θ_S=m(R²+B²)/12 um den Massen­mittel­punkt, siehe Liste von Trägheitstensoren#Stab, Parallelogramm und Quader. Der Stoß- und Schwingungs­mittel­punkt befindet sich damit im Abstand

${\mathsf {|PC|=r+e=r+{\frac {\theta _{S}}{mr}}=r+{\frac {m(R^{2}+B^{2})}{12mr}}=r+{\frac {4r^{2}+B^{2}}{12r}}={\frac {4}{3}}r+{\frac {B^{2}}{12r}}}}$

von einem Ende des Balkens. Mit B=r/2=R/4 wie in den Bildern ist

${\mathsf {|PC|=r+e={\frac {4}{3}}r+{\frac {B^{2}}{12r}}={\frac {65}{48}}r=1{,}3541{\bar {6}}\,r}}$   oder   ${\mathsf {|SC|=e=0{,}3541{\bar {6}}\,r}}$

Beim dünnen Balken mit vernachlässigbarer Dicke B ist

${\mathsf {|PC|=r+e={\frac {4}{3}}r={\frac {2}{3}}R}}$   bzw.   ${\mathsf {|SC|=e={\frac {r}{3}}={\frac {R}{6}}}}$