Mathematisches Pendel

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Animation einer Pendelschwingung

Ein mathematisches Pendel ist die Idealisierung eines realen Pendels. Es ist ein grundlegendes Modell zum Verständnis von Pendelschwingungen.

Mathematische Pendel sind durch zwei wesentliche Eigenschaften charakterisiert:

  • Es herrscht keine Reibung in irgendeiner Form, also weder Strömungswiderstand noch innere Reibung in Faden oder Aufhängepunkt.
  • Die gesamte Masse des Pendels ist in einem einzigen Punkt konzentriert. Der Faden wird als masselos betrachtet, die Massenverteilung des Pendelkörpers wird durch seinen Massenmittelpunkt dargestellt.

In der Praxis kann man ein mathematisches Pendel dadurch annähern, dass man einen möglichst langen und dünnen Stab oder Faden und einen möglichst kleinen und schweren Pendelkörper verwendet. Dass die Schwingungsweite oder Amplitude erst nach einer großen Anzahl Schwingungen spürbar zurückgeht, zeigt die weitgehende Abwesenheit von Reibung in diesem Aufbau.

Die Schwingungsdauer ist, anders als man zunächst vermuten könnte, unabhängig von der Masse des schwingenden Körpers. Bei kleinen Schwingungen ist die Schwingungsdauer auch unabhängig von der Größe der Amplitude. Hier zeigt das Pendel eine nahezu harmonische Schwingung, deren Schwingungsdauer ausschließlich von der Länge des Pendels und der herrschenden Fallbeschleunigung bestimmt wird. Bei größeren Auslenkungswinkeln verlängert sich die Schwingungsdauer, und zwar über alle Grenzen, je näher die Amplitude an 180° herankommt.

Mathematische Beschreibung[Bearbeiten]

Bewegungsgleichung[Bearbeiten]

Rückstellkraft am Fadenpendel: \vec F_\mathrm{R} = -\vec F_\mathrm{tan}

Anhand der Kräfte wird im Folgenden die Bewegungsgleichung der Pendelschwingung aufgestellt.

Aufgrund der Schwerkraft (g = Schwerebeschleunigung) ergibt sich bei Auslenkung eines Fadenpendels der Masse m eine Kraft FR(t), die tangential zur kreisförmigen Pendelbahn wirkt. Die radiale Komponente spielt für die Bewegung keine Rolle, da sie in Richtung des Fadens wirkt. Die Rückstellkraft steigt mit dem Auslenkungswinkel φ bezüglich der Ruhelage. Da das mathematische Pendel nur einen Freiheitsgrad besitzt, genügt eine skalare Gleichung.

F_\mathrm{R}(t) =- m \cdot g \cdot \sin \left(\varphi(t) \right)

Beim Betrachten eines schwingenden Fadenpendels zeigt sich, dass die Geschwindigkeit mit zunehmender Auslenkung abnimmt und nach Erreichen des Scheitelpunkts die Richtung wechselt. Die Geschwindigkeitsänderung bedeutet, dass die Pendelmasse eine Beschleunigung erfährt, genauer gesagt findet eine Tangentialbeschleunigung statt, da eine kreisförmige Bewegungsbahn vorliegt. Die Bewegungsgleichung lautet nach dem 2. Newtonschen Gesetz.

m \cdot a_\mathrm{tan}(t) = F_\mathrm{R}(t)

Die Tangentialbeschleunigung lässt sich durch die Winkelbeschleunigung ausdrücken.

a_\mathrm{tan}(t)= l \cdot \ddot{\varphi}(t)

Bei der ungestörten Schwingung stellt die Rückstellkraft des Pendels die einzige äußere Kraft dar. Nach Umstellen und Kürzen der Masse entsteht eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.

m \cdot l \cdot \ddot{\varphi}(t) = - m \cdot g \cdot \sin \left(\varphi(t) \right)
\ddot{\varphi}(t) + \frac{g}{l} \cdot \sin \left(\varphi(t) \right) = 0

Kleine Amplituden: Harmonische Schwingung[Bearbeiten]

Für kleine Winkel gilt die Kleinwinkelnäherung:

\sin (\varphi) \approx \varphi.

Durch Substitution ergibt sich somit eine lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung der allgemeinen Form \ddot x + \omega_0^2 x = 0 \ , deren allgemeine Lösung  x(t) = u\, \sin(\omega_0 t +\phi) zur Schwingungsgleichung führt.

\ddot{\varphi}(t) + \frac{g}{l} \cdot \varphi(t) = 0
\varphi(t) = \hat \varphi \cdot \sin \left( \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t + \varphi_0 \right)

Hierbei bezeichnen \hat \varphi die Winkelamplitude und φ0 den Nullphasenwinkel zum Zeitpunkt t = 0. Darüber hinaus sind die Eigenkreisfrequenz \omega_0 und die zugehörige Periodendauer T_0 ersichtlich.

\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}
T_0 = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}

Alternativ lässt sich die Periodendauer, ohne den Proportionalitätsfaktor 2\pi , auch mit dem Buckinghamschen Π-Theorem herleiten.

Exakte Lösung[Bearbeiten]

Abhängigkeit der Periode vom maximalen Auslenkungswinkel

Da Pendel in der Realität immer mehr als infinitesimal ausgelenkt werden, verhalten sie sich nichtlinear, d.h. Schwingungen mit endlicher Amplitude sind anharmonisch. Die allgemeine Differentialgleichung ist elementar nicht lösbar und erfordert Kenntnisse über elliptische Integrale. Damit lässt sich die allgemeine Lösung für die Periode in eine Reihe entwickeln:

T(\hat \varphi) = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \sin^2\left(\frac{\hat \varphi}{2}\right)+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2 \cdot \sin^4\left(\frac{\hat \varphi}{2}\right) + ...\right)

Alternativ lässt sich das auftretende elliptische Integral auch über das arithmetisch-geometrische Mittel M auswerten:

T(\hat \varphi) = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot\frac{1}{M(1,\cos\frac{\hat \varphi}{2})}

Außerdem ist die Dämpfung durch Reibungsverluste bei einem echten Pendel größer als Null, so dass die Auslenkungen ungefähr exponentiell mit der Zeit abnehmen.

Erhaltungssätze[Bearbeiten]

Beim mathematischen Pendel gilt der Energieerhaltungssatz der Mechanik. Auf dem Weg von der maximalen Auslenkung zur Ruhelage nimmt die potentielle Energie ab und durch die damit verbundene Gewichtskraft genauer deren tangentiale Kraftkomponente verrichtet Beschleunigungsarbeit, wodurch die kinetische Energie zunimmt. Nach Durchschreiten des Minimums wirkt eine Komponente der Gewichtskraft entgegen der Bewegungsrichtung. Es wird Hubarbeit verrichtet.

E_\mathrm{pot} + E_\mathrm{kin} = \text{konst.}\,

Auch hieraus lässt sich die Differentialgleichung herleiten:

E_\mathrm{pot} =m\;g\;l\cdot (1-\cos \varphi)
E_\mathrm{kin} =\frac{m\;l^2}2\ \dot \varphi^2

Die Summe ist zeitlich konstant, also

\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(E_\mathrm{pot} + E_\mathrm{kin}) =0 
& =m\;g\;l\cdot\sin\varphi\cdot\dot\varphi + m\;l^2\cdot\dot\varphi\cdot\ddot\varphi\\
& =m\;l^2\cdot\dot\varphi\cdot\left(\frac gl\cdot\sin\varphi +\ddot\varphi\right)
\end{align}

Diese Gleichung hat zwei Lösungen:

  1. \dot\varphi=0 , es gibt keine Bewegung; diese Lösung kann man hier unbeachtet lassen.
  2. \frac gl\cdot\sin\varphi +\ddot\varphi=0 ; diese Lösung stimmt mit der Lösung oben überein.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Ekbert Hering, Rolf Martin, Martin Stohrer: Physik für Ingenieure. 8. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3540429646.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]