Drehmoment

Physikalische Größe
Name	Drehmoment
Formelzeichen der Größe	$\vec M$
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI N·m M·L2·T−2

Drehmoment M an einer Welle. Im gezeichneten Fall wirkt die Kraft F senkrecht zum Abstandsvektor r, der sich somit mit dem Hebelarm deckt.

Das Drehmoment (von lateinisch momentum Bewegungskraft) ist eine physikalische Größe in der klassischen Mechanik. Das Drehmoment spielt für Drehbewegungen die gleiche Rolle wie die Kraft für die geradlinige Bewegung. Ein Drehmoment kann einen Körper verwinden (tordieren) oder seine Rotation beschleunigen oder bremsen. Die international verwendete Maßeinheit für das Drehmoment ist das Newtonmeter. Das Formelzeichen ist $M$ und lehnt sich an die englische Bezeichnung moment of force an.

Wirkt eine Kraft $F$ senkrecht auf einen Hebelarm der Länge $r$, so ergibt sich der Betrag des Drehmoments aus der Länge des Hebelarms multipliziert mit dem Betrag der Kraft:

$M = r \cdot F$

Allgemein ist das Drehmoment das Vektorprodukt aus Abstandsvektor und Kraftvektor:

$\vec M \, = \, \vec r \times \vec F$

Dabei ist der Abstandsvektor der Vektor $\vec r$ vom vorgewähltem Bezugspunkt zum Angriffspunkt der Kraft.

Das Drehmoment als gerichtete Größe

Wenn eine Kraft $\vec F$ am Punkt $\vec r_1$ angreift, so verursacht sie bezüglich dem Punkt $\vec r_0$ ein Drehmoment $\vec M$, das sich wie folgt berechnen lässt:

$\vec M = (\vec r_1 - \vec r_0)\times\vec F = \vec r\times\vec F$ .

Die Richtung des Drehmomentvektors ergibt sich auch aus der Drei-Finger-Regel, die bei Vektorprodukten allgemein gilt: Wenn man mit dem Daumen der rechten Hand in Richtung des Abstandsvektors $\vec{r}$ zeigt und mit dem Zeigefinger in Richtung der Kraft $\vec{F}$, dann gibt der Mittelfinger die Richtung des Drehmomentvektors $\vec{M}$ an. Daher kann man aus der Richtung des Drehmomentvektors nach der Korkenzieherregel den Drehsinn ablesen.

Der Drehmomentvektor ist ein Pseudovektor (auch "axialer Vektor" genannt). Das bedeutet: Anders als der Abstands- und der Kraftvektor kehrt er bei Raumspiegelung seine Richtung nicht um.

Zwei gleich große, aber genau in entgegengesetzter Richtung wirkende Kräfte auf verschiedenen Wirkungslinien nennt man Kräftepaar. Ein Kräftepaar erzeugt ein Moment des Betrages Kraft $\cdot$ Abstand der Wirkungslinien.

Zur zeichnerischen Darstellung: Wie alle Vektoren kann der Drehmomentvektor in Zeichnungen (vgl. Abbildung im Einleitungsabschnitt) als ein Pfeil dargestellt werden. Dabei steht die Länge des Pfeils für seinen Betrag. Die Richtung gibt - wie gesagt - den Drehsinn des Drehmoments an. Dies kann durch einen zusätzlichen gebogenen Pfeil um die Drehachse angedeutet werden. Da die Pfeilspitze nicht eine lineare sondern eine Drehrichtung symbolisiert, wird der Drehmomentenvektor gelegentlich auch mit einer doppelten Spitze gezeichnet.

Spezialfall: Zwei Dimensionen

Wenn sich alle Kräfte und Abstandsvektoren in einer Ebene befinden, die orthogonal zur Drehachse liegt, so vereinfachen sich alle in diesem Artikel besprochenen Berechnungen enorm, denn sämtliche Drehmomente können dann als Skalare aufgefasst werden. Die Angabe der Richtung reduziert sich in diesem Fall auf das Vorzeichen des Drehmoments: Üblicherweise werden Momente, die gegen den Uhrzeigersinn wirken (in „mathematisch positiver Richtung“) positiv gezählt, Momente im Uhrzeigersinn entsprechend negativ. Für viele technische Anwendungen, bei denen die Lage der Drehachse durch die Lager vorgegeben ist, ist dieser zweidimensionale Spezialfall eher der Regelfall.

Maßeinheit

Die Maßeinheit des Drehmoments ist das Newtonmeter (N m). Mit den Basiseinheiten Kilogramm, Meter und Sekunde gilt:

$1\ \mathrm{N\,m} = 1\ \frac{\mathrm{kg \, m^2}}{\mathrm{s^2}}$

Die Einheit der mechanischen Arbeit ist ebenfalls das Newtonmeter. Dennoch sind Drehmoment und Arbeit unterschiedliche physikalische Größen, die sich nicht ineinander umrechnen lassen, weshalb man die Einheit der Arbeit in Joule umrechnen darf ($1\ \mathrm J = 1\ \mathrm{N\,m}$), diejenige des Drehmoments aber nicht! Arbeit wird geleistet, wenn bei einer Bewegung entlang einer Strecke eine Kraft(komponente) parallel zur Bewegung wirkt. Beim Drehmoment wirkt dagegen die Kraft senkrecht zu der durch den Hebelarm gebildeten Strecke. Die Arbeit ist eine skalare Größe. Das Drehmoment ist dagegen ein Pseudovektor.

Dem "Arbeit = Kraft mal Weg" entspricht hier "Arbeit = Drehmoment mal Winkel". Um diesen Zusammenhang darzustellen, kann für das Drehmoment als Energie pro Winkel auch die Einheit

$1\ \frac{\mathrm J}{\mathrm{rad}}$

verwendet werden, wobei die Richtung des Vektors dann in Richtung der Drehachse zeigt. Dabei ist $\mathrm{rad}$ die Maßeinheit Radiant für ebene Winkel.

In technischen Dokumenten und auf Typenschildern wird das Drehmoment durchgängig in der Einheit Nm angegeben.

Statik

Die Statik ist der Teilbereich der Mechanik, der sich mit Gleichgewichtszuständen befasst. Wenn ein Körper sich im Kräftegleichgewicht befindet, dann ändert er seine Geschwindigkeit nicht (s. 1. Newtonsches Gesetz). Entsprechend dazu gilt, dass ein Körper, der sich im Momentengleichgewicht

$\sum_i{\vec M_i} = \vec 0$

befindet, seine Rotationsgeschwindigkeit nicht ändert. Ist die Summe aller Momente für irgendeinen Bezugspunkt gleich Null, so gilt das auch für jeden beliebigen anderen Bezugspunkt. Daher ist man bei der Wahl des Bezugspunkts völlig frei. Bei drehbar gelagerten Körpern bietet sich aber ein Punkt auf der Drehachse an. Weil nämlich die Zwangskräfte der Lager kein Drehmoment um die Drehachse verursachen, erleichtert dies die Berechnung der Momentenbilanz erheblich.

Ein Kraftpfeil lässt sich entlang seiner Wirkungslinie verschieben. In der Position, wo der Abstandsvektor $\vec r$ senkrecht zum Kraftpfeil und senkrecht zur Drehachse steht, wird er als Hebelarm bezeichnet. Betragsmäßig gilt dann: "Drehmoment gleich Hebelarm mal Kraft". Bei zwei angreifenden Kräften (die dann als Kraft und Last bezeichnet werden) ist das oben genannte Momentengleichgewicht äquivalent zum Hebelgesetz:

Kraftarm mal Kraft = Lastarm mal Last.

(Man beachte, dass streng genommen nur die Beträge gleich sind, denn die beiden Drehmomente sind gegensinnig und haben daher umgekehrte Vorzeichen.)

Dynamik

Die Dynamik beschäftigt sich mit Zuständen, die sich nicht im Gleichgewicht befinden. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz führt eine resultierende Kraft an einem Körper zu einer Geschwindigkeitsänderung. Analog dazu bedeutet ein resultierendes Drehmoment eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit. Man kann dies über die Winkelbeschleunigung $\vec \alpha$ formulieren:

$\vec M = J \cdot \vec \alpha$

Das Trägheitsverhalten bezüglich der Rotation hängt nicht nur von der Masse eines Körpers, sondern auch von deren räumlicher Verteilung ab. Dies wird durch das Trägheitsmoment $J$ ausgedrückt. Hierbei ist zu beachten, dass das Trägheitsmoment nicht nur von der Position der Drehachse (s. Steinerscher Satz) sondern auch von ihrer Richtung abhängig ist. Will man die obige Gleichung allgemeiner für jede beliebige Raumrichtung formulieren, so muss man stattdessen den Trägheitstensor verwenden.

Man kann den Zusammenhang von Drehmoment und Rotation auch über die Änderungsrate des Drehimpulses ausgedrücken:

$\vec M = \frac {\mathrm d \vec L}{\mathrm d t}$

Im zweidimensionalen Spezialfall bewirkt ein Drehmoment lediglich eine Beschleunigung oder Abbremsung einer Rotationsbewegung. Im allgemeinen dreidimensionalen Fall kann es hingegen auch die Richtung der Rotationsachse verändern. (s. z. B.: Präzession)

Entsprechungen zwischen geradliniger Bewegung und Drehbewegung

Das Drehmoment nimmt in der klassischen Mechanik für Drehbewegungen eine ähnliche Rolle ein, wie die Kraft für geradlinige Bewegungen.

Entsprechungen zwischen Kraft F und Drehmoment M bei geradliniger und Drehbewegung

	Geradlinige Bewegung	Drehbewegung
Arbeit	Kraft mal Weg $W = F \cdot \Delta s$	Drehmoment mal Drehwinkel (Bogenmaß) $W = M \cdot \Delta \varphi$
	allgemein: $W=\int \vec F(\vec s) \cdot \mathrm d \vec{s}$	allgemein: $W=\int \vec M(\vec \varphi) \cdot \mathrm d \vec \varphi$
Leistung	Kraft mal Geschwindigkeit $P = \vec F \cdot \vec v$	Drehmoment mal Winkelgeschwindigkeit $P = \vec M \cdot \vec \omega$
Statisches Gleichgewicht	Kräftegleichgewicht $\sum \vec F_{i} = \vec 0$	Momentengleichgewicht $\sum \vec M_{i} = \vec 0$
Beschleunigte Bewegung	Masse mal Beschleunigung $\vec F = m \cdot \vec a$	Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung $\vec M = J \cdot \vec \alpha$
	Änderungsrate des Impulses $\vec{F}=\frac{\mathrm d \vec p}{\mathrm d t}$	Änderungsrate des Drehimpulses $\vec{M}=\frac{\mathrm d \vec L}{\mathrm d t}$

Messung des Drehmoments

Ruhender Körper

Ein auf einen drehbaren, aber ruhenden Körper wirkendes Drehmoment lässt sich durch Anbringen eines statischen Gegenmomentes messen. Direkte Messgröße ist die über einen in der Länge bekannten Hebelarm aufzubringende Gegenkraft, bei der der Körper in Ruhe bleibt. Das zu messende Drehmoment ergibt sich aus dem Produkt der Werte der Gegenkraft und der Hebelarmlänge.

Eine weitere Möglichkeit ist eine Verformung infolge des Drehmoments zu messen und dann über die Elastizität des Werkstoffs auf das Moment zu schließen.

Siehe auch: Drehmomentaufnehmer

drehender Körper

Das die Drehgeschwindigkeit verändernde Drehmoment lässt sich durch Messen der Winkelbeschleunigung $\alpha$ bestimmen, wenn das Trägheitsmoment $J$ bekannt ist. Die Auswertung erfolgt mit der Formel

$M = J \ \alpha$ .

Bei Übertragung einer Leistung $P$ zum Beispiel über rotierende Welle interessiert die Abhängigkeit des dabei wirkenden Drehmomentes von der Drehzahl $n$ (Drehmomentkurve). Dafür ist der Zustand konstanter Drehzahl herzustellen. Gemessen werden die Leistung und die Drehzahl. Die Auswertung erfolgt mit der Formel

$M = \frac {P}{2 \pi n}$ .

Das Messen der Leistung erfolgt mit Hilfe einer sogenannten Leistungsbremse: Pendelmaschine, Pronyscher Zaum oder Wasserwirbelbremse.

Drehmomente an ausgewählten Maschinen

Drehmomentkennlinien eines Asynchronmotors
obere Kennlinie: Dreieckschaltung
mittlere Kennlinie: Sternschaltung

Beispiel: Elektromotor

Elektromotoren haben ein relativ hohes Anfahrmoment, das bei Drehstrommotoren durch temporären Betrieb in Dreieckschaltung noch erhöht werden kann. Das Bild zeigt das Abtriebsmoment eines Asynchronmotors in Abhängigkeit von der Drehzahl. Der normale Betriebsbereich ist rechts von den Kipppunkten K1 oder K2 auf der steil abfallenden Kurve. Der Bereich links von den Kipppunkten ist der Anfahrbereich, der wegen des schlechten Wirkungsgrads möglichst schnell durchfahren werden soll.

Beispiel: Drehmoment und Leistung eines Verbrennungsmotors

Der bei Automobilen verwendete Begriff maximales Drehmoment des Verbrennungsmotors bei einer bestimmten Drehzahl bezeichnet das maximale vom Motor an der Kurbelwelle abgegebene Drehmoment. Das an der Kurbelwelle bei Volllast abgegebene Drehmoment ist nicht über den gesamten Drehzahlbereich des Motors konstant, sondern hat in einem bestimmten Bereich des nutzbaren Drehzahlbereiches ein Maximum.

Das Drehmoment M für Viertaktmotoren berechnet sich aus:

$M = \frac {V_h p_e}{4 \pi}$

Hierbei ist V_h das Hubvolumen und p_e der effektive Mitteldruck, der Faktor $2 \pi$ im Nenner stammt aus der Formel für die Arbeit eines Drehmoments, die entlang des Umfanges $2 \pi$ verrichtet wird. Der Wert $2 \pi$ wird bei Viertaktmotoren mit 2 multipliziert, da Viertaktmotoren nur bei jeder zweiten Umdrehung Arbeit verrichten. Für Zweitaktmotoren gilt entsprechend:

$M = \frac {V_h p_e}{2 \pi}$

Rechenbeispiel für das Drehmoment eines Serienfahrzeuges mit 2000 cm³ (=0,002 m³) Hubvolumen, dessen Viertaktmotor bei einer Drehzahl von 2000/min einen Mitteldruck von 9 Bar (=900.000 Pa; 1 Pa = 1 N/m²) erreicht, in SI-Einheiten gerechnet:

$M = \frac{0{,}002\,\mathrm{m}^{3} \cdot 900.000\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^{2}} }{4 \pi} = 143\,\mathrm{N\,m}$

Die Gleichung für die Leistung bei einer Drehbewegung lautet (siehe oben):

$P=2\pi\ n\ M\$

und für eine drehzahlabhängige Leistung

$P(n) = 2 \pi\ n\ M(n)$

M(n) ist die für die untersuchte Maschine typische drehzahlabhängige Drehmomentkenngröße, die durch Messung erhalten wird.

Bei einem Verbrennungsmotor, der bei 2000 Umdrehungen pro Minute ein Drehmoment von 143 N m abgibt, berechnet sich die Leistung wie folgt:

$P = 2\pi \cdot \frac{2000}{60\ \mathrm{s}} \cdot 143\ \mathrm{N\,m}\ \approx 30\cdot 10^3\ \frac{ \mathrm{N\,m}}{\mathrm{s}} = 30\ \mathrm{kW}$

Beispiel: Leistung und Drehmoment eines Hydraulikmotors

Die hydraulische Leistung $P$ eines Hydraulikmotors errechnet sich aus den Drücken $p_1$ und $p_2$ am Motoreingang bzw. -ausgang und dem geschluckten Ölvolumen $Q = q n$ ($q$ ist das Volumen je Umdrehung):

$P = (p_1 - p_2)\, q n$

Aus der Gleichung für die Leistung bei einer Drehbewegung (siehe oben)

$P=2\pi M n\$

folgt das Drehmoment mit:

$M = \frac{(p_1 - p_2)\, q}{2 \pi}$

Unterschiedliche Bezeichnungen in der Technik

In der Technik wird dem Drehmoment je nach Anwendung eine unterschiedliche Bezeichnung gegeben:

Abtriebsmoment

Das Drehmoment, das an der Welle einer Kraftmaschine oder an der Ausgangswelle eines Drehmomentwandlers (Getriebe) gemessen wird. Für die angetriebene Arbeitsmaschine oder den Drehmomentwandler ist es das Antriebsmoment.

Anfahrmoment

Das Drehmoment, das eine Kraftmaschine aus dem Stand leisten kann, oder das eine Arbeitsmaschine oder ein Fahrzeug beim Anfahren benötigt.

Antriebsmoment

Das Drehmoment, das an der Eingangswelle einer Arbeitsmaschine oder eines Drehmomentwandlers, an der Radachse eines Fahrzeugs oder an der Achse eines Propellers wirkt. Für die treibende Kraftmaschine oder den treibenden Drehmomentwandler ist es das Abtriebsmoment.

Anziehdrehmoment bzw. Anzugsdrehmoment

Das Drehmoment, das beim Befestigen (Anziehen) einer Schraube aufgebracht wird.

Bemessungsmoment

Das Drehmoment, für das ein Bauteil bei der Konstruktion bemessen wurde.

Biegemoment

Ein Drehmoment oder dessen Anteil, das ein längliches Bauteil auf Biegung beansprucht.

Kippmoment

In der Baustatik das Drehmoment, das ein aufrecht stehendes Objekt umzukippen droht (zum Beispiel einen Turm mit durch Windkraft entstehendem Drehmoment). In der Elektrotechnik das maximale Drehmoment in der Drehmoment/Drehzahl-Kennlinie eines Asynchronmotors.

Lastmoment

Das Drehmoment, das eine Arbeitsmaschine der antreibenden Kraftmaschine oder dem Drehmomentwandler entgegensetzt. Für die Kraftmaschine oder den Drehmomentwandler ist es das Abtriebsmoment.

Nennmoment

Das Nennmoment ist derjenige, meist gerundete Wert des Drehmoments, der als typisch angesehen wird , wenn die Drehmoment-Wirkung in Kurzform beschrieben werden soll.

Torsionsmoment

Das Drehmoment, oder dessen Anteil, das ein Bauteil auf Verdrehung (Torsion) belastet.

Literatur

• Wolfgang Nolting: Klassische Mechanik. In: Grundkurs Theoretische Physik. Bd. 1, 8. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-34832-0.
• Herbert Goldstein, Charles P. Poole und John L. Safko: Klassische Mechanik (Übersetzung: Michael Baer). - 3., vollst. überarb. und erw. Aufl - Weinheim : Wiley-VCH, 2006. (Lehrbuch Physik) - ISBN 3-527-40589-5
• Richard P. Feynman: Feynman-Vorlesungen über Physik. Oldenbourg, München/Wien 2007, ISBN 978-3-486-58444-8.
• Paul A. Tipler: Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage. 1994, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin, 2000, ISBN 3-86025-122-8.
• Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer: Mechanik - Akustik - Wärme. In: Lehrbuch der Experimentalphysik. Bd. 1, 12. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2008, ISBN 978-3-11-019311-4.
• Istvan Szabó: Einführung in die Technische Mechanik, Springer, 1999, ISBN 3-540-44248-0
• Peter Gummert, Karl-August Reckling: Mechanik, Vieweg, 1994, ISBN 3-528-28904-X

Weblinks

 Commons: Drehmoment – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Drehmoment am einarmigen Hebel – am Beispiel eines Schraubenschlüssels
• Entwicklung und Zukunft der Drehmomentmesstechnik