Verformungsenergie

Ein an einer elastischen Feder (grau) aufgehängtes Gewicht (gelb) findet ein Gleichgewicht, wo die Abnahme an Lageenergie im Schwerefeld gleich der Zunahme an elastischer Energie in der Feder ist

Die Verformungsenergie, Formänderungsenergie, Verzerrungsenergie oder elastische Energie (englisch strain energy oder auch stored energy function) tritt bei einer Verformung eines Körpers auf und wird dabei in ihm gespeichert. Sie ist der Energie­betrag, der in Materialien aufgebracht werden muss, um die Abweichungen von der idealen, energieärmsten Materialstruktur zu realisieren. Die Verformungsenergie ist eine Form der Lageenergie in elastischen Systemen, siehe Bild. Dort findet ein an einer elastischen Feder im Schwerefeld der Erde aufgehängtes Gewicht ein Gleichgewicht, in dem die Abnahme an Lageenergie im Schwerefeld gleich der Zunahme an elastischer Energie in der Feder ist. Wird ein weiteres Gewicht angehängt, wird die Feder weiter ausgelenkt und kehrt in die vorherige Lage zurück, wenn das zusätzliche Gewicht wieder entfernt wird. Bei linearer Elastizität ist die elastische Energie W der Feder proportional zur Federkonstante D und zum Quadrat der Auslenkung:

${\mathsf {W={\frac {D}{2}}u^{2}}}$

In anderen Strukturbauteilen existieren vergleichbare Formeln, siehe #Berechnung der Formänderungsenergie. Der Auslenkungsprozess ist umkehrbar, solange die Feder nicht überdehnt wird.

Das geschieht wenn ihre Elastizitätsgrenze überschritten wird, siehe #Verformungsarbeit und Verformungsenergie. Bei Verformung über die Elastizitätsgrenze hinaus nur von Teilen des Körpers, kann es vorkommen, dass sich nicht alle elastisch verformten Bereiche nach Wegnahme der Belastung entspannen, und Gebiete mit Eigenspannungen verbleiben.

Verformungsarbeit und Verformungsenergie

Wenn die Feder von der Kraft über ihre Elastizitätsgrenze hinaus belastet wird, wird ein Teil der Verformungsarbeit in einem irreversiblen Prozess verbraucht, beispielsweise bei Plastifizierungen (Knete), Bruch (Steinbruch), oder Wärmeerzeugung (Viskosität/innere Reibung, Reibungsarbeit). Von der Verformungsarbeit kann bei Wegnahme der Kraft hier nur der mechanische Energieanteil vom Körper zurück gegeben werden, der bis zum Erreichen der Elastizitätsgrenze als Formänderungsenergie gespeichert wurde.

Berechnung der Formänderungsenergie

Die Formänderungsenergie berechnet sich aus der Formänderungsenergiedichte U, aus der sich die Spannungen σ_ij als Ableitung nach den Dehnungen ε_ij ergeben:

$\sigma _{ij}={\frac {\partial {\mathsf {U}}}{\partial \varepsilon _{ij}}}$

Die Spannungsarbeit der Komponente ij ist das Produkt

$l_{i_{ij}}=\int _{\varepsilon _{{ij}_{0}}}^{\varepsilon _{{ij}_{1}}}\sigma _{ij}\,\mathrm {d} \varepsilon _{ij}$,

die sich summiert über alle Komponenten ij symbolisch und für beliebige Koordinatensysteme als Matrizenprodukt

$l_{i}=\int _{{\boldsymbol {\varepsilon }}_{0}}^{{\boldsymbol {\varepsilon }}_{1}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}$,

schreiben lässt. Bei Hyperelastizität ergeben sich die Spannungen koordinatenunabhängig aus

${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\partial {\mathsf {U}}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}$

womit die Kurvenintegrale bei der Spannungsarbeit wegunabhängig werden. Das Volumenintegral der Spannungsarbeit über den ganzen Körper liefert die Formänderungsenergie

$W=\int _{V}{\mathsf {U}}\;\mathrm {d} V$

Mit Ansätzen für die Verschiebung und Verzerrung ergeben sich in der linearen Elastizität mit Elastizitätsmodul E und Schubmodul G für den schlanken Stab und Balken der Länge l in x-Richtung die Formeln

• für den geraden Stab:

• unter Normalkraft N: ${\mathsf {W_{N}=\int _{0}^{l}{\frac {N^{2}}{2EA}}dx}}$ mit der Querschnittsfläche A und
• unter Torsionsmoment M_T: ${\mathsf {W_{T}=\int _{0}^{l}{\frac {M_{T}^{2}}{2GJ_{P}}}dx}}$ mit polarem Flächenträgheitsmoment J_P. und

• für den geraden Balken:

• unter Biegemoment M: ${\mathsf {W_{B}=\int _{0}^{l}{\frac {M^{2}}{2EJ}}dx}}$ mit dem axialen Flächenträgheitsmoment J in Richtung der Balkenachse oder
• unter Querkraft Q: ${\mathsf {W_{V}=\int _{0}^{l}{\frac {\chi _{s}Q^{2}}{2GA}}dx}}$ mit dem Formfaktor ${\mathsf {\chi _{s}={\frac {A}{J}}\int _{A}{\frac {S^{2}}{t^{2}}}dA}}$, in dem das statische Moment S und die Breite beziehungsweise Wandstärke t enthalten sind.

Wegen der angenommenen Linearität können die Formänderungsenergien durch mehrere dieser Belastungsarten zur resultierenden Formänderungsenergie addiert werden.

Siehe auch

• Elastizität (Physik)
• Hyperelastizität

Fußnoten

Literatur

• Elastische Energie. In: Lexikon der Physik. spektrum.de, 1998; abgerufen am 7. September 2018. 
• Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 978-3-642-62463-6, S. 211, doi:10.1007/978-3-642-55485-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
• Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 259, doi:10.1007/978-3-642-24119-2.