„Fixpunktsatz von Schauder“ – Versionsunterschied
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Der '''Fixpunktsatz von Schauder''' ist nach dem [[Mathematiker]] [[Juliusz Schauder]] benannt und gibt eine hinreichende Bedingung an, unter der eine Abbildung einen [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] besitzt. Er stellt eine starke Verallgemeinerung des [[Fixpunktsatz von Brouwer|Fixpunktsatzes von Brouwer]] dar, der stetige Funktionen auf konvexen, kompakten Teilmengen endlichdimensionaler Vektorräume behandelt. [[Andrei Nikolajewitsch Tichonow|Andrei Nikolajewitsch Tychonoff]] bewies den Fixpunktsatz von Schauder für [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe Vektorräume]]. Daher wird diese Version des Satzes auch '''Fixpunktsatz von Tychonoff''' genannt.<ref>Klaus Deimling: ''Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade.'' Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 1974, ISBN 3-540-06888-0, S. 130.</ref> |
Der '''Fixpunktsatz von Schauder''' ist nach dem [[Mathematiker]] [[Juliusz Schauder]] benannt und gibt eine hinreichende Bedingung an, unter der eine Abbildung einen [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] besitzt.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=J. Schauder |Titel=Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen |Sammelwerk=Studia Mathematica |Band=2 |Nummer=1 |Datum=1930 |ISSN=0039-3223 |DOI=10.4064/sm-2-1-171-180 |Seiten=171–180 |Online=http://www.impan.pl/get/doi/10.4064/sm-2-1-171-180 |Abruf=2022-11-07}}</ref> Er stellt eine starke Verallgemeinerung des [[Fixpunktsatz von Brouwer|Fixpunktsatzes von Brouwer]] dar, der stetige Funktionen auf konvexen, kompakten Teilmengen endlichdimensionaler Vektorräume behandelt. [[Andrei Nikolajewitsch Tichonow|Andrei Nikolajewitsch Tychonoff]] bewies den Fixpunktsatz von Schauder für [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe Vektorräume]]. Daher wird diese Version des Satzes auch '''Fixpunktsatz von Tychonoff''' bzw. ''Schauder-Tychonoff'' genannt.<ref>Klaus Deimling: ''Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade.'' Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 1974, ISBN 3-540-06888-0, S. 130.</ref><ref>{{Literatur |Autor=Vittorino Pata |Titel=The Schauder-Tychonoff Fixed Point Theorem |Sammelwerk=Fixed Point Theorems and Applications |Band=116 |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2019 |Sprache=en |ISBN=978-3-030-19669-1 |DOI=10.1007/978-3-030-19670-7_10 |Seiten=53–57 |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-3-030-19670-7_10 |Abruf=2022-11-07}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Klaus Deimling |Titel=Nonlinear Functional Analysis |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=1985 |Sprache=en |ISBN=978-3-662-00549-1 |DOI=10.1007/978-3-662-00547-7 |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-00547-7 |Abruf=2022-11-07}}</ref> |
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== Formulierungen des Satzes == |
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Schauder bewies den Fixpunktsatz im Jahr 1930 für normierte Räume.<ref |
Schauder bewies den Fixpunktsatz im Jahr 1930 für normierte Räume.<ref name=":0" /> Für den Fall, dass <math>E</math> ein [[lokalkonvexer Raum]] ist, wurde der Satz 1935 durch [[Andrei Nikolajewitsch Tichonow]] bewiesen,<ref>{{Literatur |Autor=A. Tychonoff |Titel=Ein Fixpunktsatz |Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]] |Band=111 |Nummer=1 |Datum=1935-12 |ISSN=0025-5831 |DOI=10.1007/BF01472256 |Seiten=767–776 |Online=http://link.springer.com/10.1007/BF01472256 |Abruf=2022-11-07}}</ref> während Schauder selbst nur einen fehlerhaften Beweis hatte. [[Robert Cauty (Mathematiker)|Robert Cauty]] konnte 2001 zeigen, dass der Satz sogar für alle hausdorffschen topologischen Vektorräume gilt.<ref>{{Literatur |Autor=Robert Cauty |Titel=Solution du problème de point fixe de Schauder |Sammelwerk=Fundamenta Mathematicae |Band=170 |Nummer=3 |Datum=2001 |Sprache=fr |ISSN=0016-2736 |DOI=10.4064/fm170-3-2 |Seiten=231–246 |Online=http://journals.impan.pl/cgi-bin/doi?fm170-3-2 |Abruf=2022-11-07}}</ref> Dies wurde schon von Schauder vermutet, konnte aber bis dato nicht bewiesen werden. |
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In den bekannten Beweisen wird wesentlich der [[Fixpunktsatz von Brouwer|brouwersche Fixpunktsatz]] verwendet, dessen Beweis durchaus nichttrivial ist. Als Anwendung kann man den [[Existenzsatz von Peano]] aus dem schauderschen Fixpunktsatz ableiten. |
In den bekannten Beweisen wird wesentlich der [[Fixpunktsatz von Brouwer|brouwersche Fixpunktsatz]] verwendet, dessen Beweis durchaus nichttrivial ist. Als Anwendung kann man den [[Existenzsatz von Peano]] aus dem schauderschen Fixpunktsatz ableiten.<ref>{{Literatur |Autor=[[Eberhard Zeidler (Mathematiker)|Eberhard Zeidler]] |Titel=Applied Functional Analysis |Verlag=Springer New York |Ort=New York |Sprache=en |Reihe=Applied Mathematical Sciences |BandReihe=108 |HrsgReihe=[[Jerrold Marsden]], L. Sirovich |DOI=10.1007/978-1-4612-0815-0 |Seiten=63 ff.}}</ref> |
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* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. |
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* Klaus Deimling: ''Nonlinear Functional Analysis.'' 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1. |
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* Robert Cauty: ''Solution du problème de point fixe de Schauder.'' In: ''[[Fundamenta Mathematicae]].'' Bd. 170, Nr. 3, 2001, S. 231–246, {{doi|10.4064/fm170-3-2}} |
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== Einzelnachweise == |
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Version vom 7. November 2022, 13:53 Uhr
Der Fixpunktsatz von Schauder ist nach dem Mathematiker Juliusz Schauder benannt und gibt eine hinreichende Bedingung an, unter der eine Abbildung einen Fixpunkt besitzt.[1] Er stellt eine starke Verallgemeinerung des Fixpunktsatzes von Brouwer dar, der stetige Funktionen auf konvexen, kompakten Teilmengen endlichdimensionaler Vektorräume behandelt. Andrei Nikolajewitsch Tychonoff bewies den Fixpunktsatz von Schauder für lokalkonvexe Vektorräume. Daher wird diese Version des Satzes auch Fixpunktsatz von Tychonoff bzw. Schauder-Tychonoff genannt.[2][3][4]
Formulierungen des Satzes
Der schaudersche Fixpunktsatz existiert in mehreren Versionen.
Version für lokalkonvexe Hausdorffräume
Sei ein lokalkonvexer, hausdorffscher, topologischer Vektorraum und eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge von . Dann besitzt jede stetige Abbildung einen Fixpunkt. Da jeder Banachraum ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum ist, umfasst diese Version also schon alle Banachräume.
Version für alle Hausdorffräume
Sei ein hausdorffscher, topologischer Vektorraum und eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge von . Dann besitzt jede stetige Abbildung einen Fixpunkt.
Beispiele
In unendlich-dimensionalen, lokalkonvexen beziehungsweise normierten Vektorräumen gilt der schaudersche Fixpunktsatz im Allgemeinen nicht für abgeschlossene und beschränkte Mengen , das heißt, auf die Voraussetzung der Kompaktheit kann nicht verzichtet werden. Sei die abgeschlossene Einheitskugel des Folgenraums . Da unendlich-dimensional ist, sind die abgeschlossenen Kugeln nicht mehr kompakt. Sei außerdem durch
definiert. Diese Abbildung ist stetig und bildet nach ab. Besäße sie einen Fixpunkt, so müsste gelten. Die einzige konstante Folge in ist jedoch die konstante -Folge. Aber es gilt und somit hat keine Fixpunkte.
Fordert man jedoch, dass die Abbildung kompakt ist, so gilt der schaudersche Fixpunktsatz auch für abgeschlossene und beschränkte Teilmengen.
Anmerkungen
Schauder bewies den Fixpunktsatz im Jahr 1930 für normierte Räume.[1] Für den Fall, dass ein lokalkonvexer Raum ist, wurde der Satz 1935 durch Andrei Nikolajewitsch Tichonow bewiesen,[5] während Schauder selbst nur einen fehlerhaften Beweis hatte. Robert Cauty konnte 2001 zeigen, dass der Satz sogar für alle hausdorffschen topologischen Vektorräume gilt.[6] Dies wurde schon von Schauder vermutet, konnte aber bis dato nicht bewiesen werden.
In den bekannten Beweisen wird wesentlich der brouwersche Fixpunktsatz verwendet, dessen Beweis durchaus nichttrivial ist. Als Anwendung kann man den Existenzsatz von Peano aus dem schauderschen Fixpunktsatz ableiten.[7]
Literatur
Siehe die Auswahl unter Fixpunktsatz.
Einzelnachweise
- ↑ a b J. Schauder: Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen. In: Studia Mathematica. Band 2, Nr. 1, 1930, ISSN 0039-3223, S. 171–180, doi:10.4064/sm-2-1-171-180 (impan.pl [abgerufen am 7. November 2022]).
- ↑ Klaus Deimling: Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 1974, ISBN 3-540-06888-0, S. 130.
- ↑ Vittorino Pata: The Schauder-Tychonoff Fixed Point Theorem. In: Fixed Point Theorems and Applications. Band 116. Springer International Publishing, Cham 2019, ISBN 978-3-03019669-1, S. 53–57, doi:10.1007/978-3-030-19670-7_10 (englisch, springer.com [abgerufen am 7. November 2022]).
- ↑ Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1985, ISBN 978-3-662-00549-1, doi:10.1007/978-3-662-00547-7 (englisch, springer.com [abgerufen am 7. November 2022]).
- ↑ A. Tychonoff: Ein Fixpunktsatz. In: Mathematische Annalen. Band 111, Nr. 1, Dezember 1935, ISSN 0025-5831, S. 767–776, doi:10.1007/BF01472256 (springer.com [abgerufen am 7. November 2022]).
- ↑ Robert Cauty: Solution du problème de point fixe de Schauder. In: Fundamenta Mathematicae. Band 170, Nr. 3, 2001, ISSN 0016-2736, S. 231–246, doi:10.4064/fm170-3-2 (französisch, impan.pl [abgerufen am 7. November 2022]).
- ↑ Eberhard Zeidler: Applied Functional Analysis (= Jerrold Marsden, L. Sirovich [Hrsg.]: Applied Mathematical Sciences. Band 108). Springer New York, New York, S. 63 ff., doi:10.1007/978-1-4612-0815-0 (englisch).