Satz von Hopkins

Der Satz von Hopkins (englisch Hopkins' theorem), oft auch als Satz von Hopkins-Levitzki (englisch Hopkins–Levitzki theorem) bezeichnet, ist ein im mathematischen Teilgebiet der Ringtheorie gelegener mathematischer Lehrsatz, der auf wissenschaftliche Arbeiten der beiden Mathematiker Charles Hopkins (1902–1939) und Jakob Levitzki (1904–1956) aus dem Jahr 1939 zurückgeht. Der Satz behandelt den Zusammenhang zwischen artinschen und noetherschen Ringen.

Der Satz gab Anlass zu eine Anzahl von weitergehenden Untersuchungen.

Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

Sei $R$ ein beliebiger Ring mit Eins.

Dann gilt:

Ist $R$ linksartinsch (rechtsartinsch), so ist $R$ stets auch linksnoethersch (rechtsnoethersch) .

Andere Darstellung

In seinem Lehrbuch Abstract Algebra (s. u.) gibt Pierre Antoine Grillet eine andere Darstellung, welche den Satz von Hopkins-Levitzki von dem Satz von Hopkins trennt. Grillet zufolge ist unter dem Satz von Hopkins zwar im Wesentlichen der oben ausgeführte Satz zu verstehen. Unter dem Satz von Hopkins-Levitzki indes fasst Grillet die folgende Aussage:

Sei $R$ ein linksartinscher Ring mit Eins und sei $M$ ein Linksmodul über $R$.

Dann sind die folgenden Eigenschaften gleichwertig:

(i) $M$ ist noethersch.

(ii) $M$ ist artinsch.

(iii) $M$ ist von endlicher Länge.

Anmerkungen und Erläuterungen

• Wenngleich sowohl Hopkins als auch Levitzki den Satz beide unabhängig voneinander und etwa zeitgleich im Jahr 1939 fanden, konnte Levitzki infolge des Kriegsgeschehens erst im Jahr 1945 seine Veröffentlichung machen.
• Wie Kurt Meyberg hervorhebt, ist der Hopkins'sche Satz ein bemerkenswerter Satz ... , der die Klasse der linksartinschen Ringe ziemlich einschränkt.
• Ein artinscher kommutativer Ring mit Eins ist notwendig immer noethersch.

Literatur

• Toma Albu: A seventy years jubilee: the Hopkins-Levitzki theorem. In: Ring and Module Theory. Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel 2010, S. 1–26 (MR2744040). 
• P. M. Cohn: Basic Algebra. Groups, Rings and Fields. Springer-Verlag, London, Berlin, Heidelberg 2005, ISBN 1-85233-587-4 (MR1935285). 
• Pierre Antoine Grillet: Abstract Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Band 242). Springer-Verlag, New York 2007, ISBN 978-0-387-71567-4 (MR2330890). 
• I. Martin Isaacs: Algebra. A Graduate Course. Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove, CA 1994, ISBN 0-534-19002-2 (MR1276273). 
• Kurt Meyberg: Algebra. Teil 2 (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure). Carl Hanser Verlag, Wien 1976, ISBN 3-446-12172-2 (MR0460011). 
• Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert: Lineare Algebra I (= Heidelberger Taschenbücher. Band 150). Springer-Verlag, Wien 1974, ISBN 3-540-06715-9 (MR0366944). 
• Louis Halle Rowen: Ring Theory. Student Edition. Academic Press, Boston, MA 1991, ISBN 0-12-599840-6 (MR1095047). 
• Le Phuong-Thao, Nguyen Van Sanh: A generalization of Hopkins-Levitzki theorem. In: Southeast Asian Bulletin of Mathematics. Band 37, 2013, S. 591–600 (MR3134922).