Satz von Hopkins

Der Satz von Hopkins (englisch Hopkins' theorem), oft auch als Satz von Hopkins-Levitzki (englisch Hopkins–Levitzki theorem) bezeichnet, ist ein im mathematischen Teilgebiet der Ringtheorie gelegener mathematischer Lehrsatz, der auf wissenschaftliche Arbeiten der beiden Mathematiker Charles Hopkins (1902–1939) und Jakob Levitzki (1904–1956) aus dem Jahr 1939 zurückgeht. Der Satz behandelt den Zusammenhang zwischen artinschen und noetherschen Ringen.

Der Satz gab Anlass zu einer Anzahl von weitergehenden Untersuchungen.

Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

Sei $R$ ein beliebiger Ring mit Eins.

Dann gilt:

Ist $R$ linksartinsch (rechtsartinsch), so ist $R$ stets auch linksnoethersch (rechtsnoethersch) .

Andere Darstellung

In seinem Lehrbuch Abstract Algebra (s. u.) gibt Pierre Antoine Grillet eine andere Darstellung, welche den Satz von Hopkins-Levitzki von dem Satz von Hopkins trennt. Grillet zufolge ist unter dem Satz von Hopkins zwar im Wesentlichen der oben ausgeführte Satz zu verstehen. Unter dem Satz von Hopkins-Levitzki indes fasst Grillet die folgende Aussage:

Sei $R$ ein linksartinscher Ring mit Eins und sei $M$ ein unitärer Linksmodul über $R$.

Dann sind die folgenden Eigenschaften gleichwertig:

(i) $M$ ist noethersch.

(ii) $M$ ist artinsch.

(iii) $M$ ist von endlicher Länge.

Den Satz von Hopkins fügt Grillet dann als Korollar unmittelbar an.

In seinem Lehrbuch Basic Algebra (s. u.) gibt P. M. Cohn einen dem letztgenannten weitgehend gleichwertigen Satz wieder, ohne diesen indes eigens nach Autoren zu benennen. Er lautet:

Sei $R$ ein linksartinscher Ring mit Eins und sei $M$ ein unitärer Linksmodul über $R$.

Dann sind die folgenden Bedingunen gleichwertig:

(a) $M$ ist artinsch.

(b) $M$ ist noethersch.

(c) $M$ hat eine Kompositionsreihe.

(d) $M$ ist endlich erzeugt.

Auch Cohn fügt den Satz von Hopkins dann als Korollar an.

Ein verwandter Satz von Artin

In seinem Lehrbuch Advanced Algebra (s. u.) trägt Anthony W. Knapp einen verwandten Satz vor, den er Emil Artin zurechnet und aus dem hervorgeht, dass unter speziellen Voraussetzungen noch schärfere Aussagen gegeben sind. Dieser Satz lautet:

Sei $R$ ein einfacher Ring mit Eins.

Dann sind die folgenden Eigenschaften gleichwertig:

(a) $R$ ist linksartinsch.

(b) $R$ ist ein halbeinfacher Ring.

(c) $R$ besitzt ein minimales Linksideal.

(d) $R$ ist isomorph einem Matrizenring $D^{n\times n}$ für einen Divisionsring $D$ und eine natürliche Zahl $n>0$.

Sei $R$ ein einfacher Ring mit Eins.

Insbesondere git:

Ein linksartinscher Ring mit Eins ist immer auch rechtsartinsch.

Anmerkungen und Erläuterungen

• Wenngleich sowohl Hopkins als auch Levitzki den Satz beide unabhängig voneinander und etwa zeitgleich im Jahr 1939 fanden, konnte Levitzkis Arbeit infolge des Kriegsgeschehens erst im Jahr 1945 zur Veröffentlichung kommen.
• Wie Kurt Meyberg hervorhebt, ist der Hopkins'sche Satz ein bemerkenswerter Satz ... , der die Klasse der linksartinschen Ringe ziemlich einschränkt.
• Der Satz besagt im Wesentlichen, dass unter den gegebenen Voraussetzungen für den Verband der Linksideale (Rechtsideale) das Erfülltsein der aufsteigenden Kettenbedingung eine notwendige Folge des Erfülltseins der absteigenden Kettenbedingung ist. Wie P. M. Cohn betont, ist dabei wesentlich, dass der zugrunde liegende Ring ein Einselement hat.
• Der Darstellung von T. Y. Lam zufolge waren sich offenbar weder Emmy Noether noch Emil Artin bei ihren in den 1920er Jahren vorgelegten Pionierarbeiten zu den Kettenbedingungen über die Aussage des Hopkins'schen Satz im Klaren.
• Es gibt eine Anzahl weiterer Darstellungen des Satzes bzw. der oben angesprochenen Satzvarianten, wobei es hinsichtlich der Unterschiede eine Rolle spielt, welches Gewicht dem modultheoretischen Gesichtspunkt beigemessen wird.
• Ein artinscher kommutativer Ring mit Eins ist notwendig immer noethersch.

Literatur

• Toma Albu: A seventy years jubilee: the Hopkins-Levitzki theorem. In: Ring and Module Theory. Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel 2010, S. 1–26 (MR2744040). 
• Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules (= Graduate Texts in Mathematics. Band 13). 2. Auflage. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, London, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona, Budapest 1992, ISBN 0-387-97845-3 (MR1245487). 
• P. M. Cohn: Basic Algebra. Groups, Rings and Fields. Springer-Verlag, London, Berlin, Heidelberg 2005, ISBN 1-85233-587-4 (MR1935285). 
• Pierre Antoine Grillet: Abstract Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Band 242). Springer-Verlag, New York 2007, ISBN 978-0-387-71567-4 (MR2330890). 
• Charles Hopkins: Rings with minimal condition for left ideals. In: Annals of Mathematics. Second Series. Band 40, 1939, S. 712–730 (MR0000012). 
• I. Martin Isaacs: Algebra. A Graduate Course. Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove, CA 1994, ISBN 0-534-19002-2 (MR1276273). 
• Anthony W. Knapp: Advanced Algebra. Along with a companion volume Basic algebra (= Cornerstones). Birkhäuser Verlag, Boston, Basel, Berlin 2007, ISBN 978-0-8176-4522-9 (MR2360434). 
• T. Y. Lam: A first Course in Noncommutative Rings (= Graduate Texts in Mathematics. Band 131). 2. Auflage. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg 2001, ISBN 0-387-95183-0 (MR1838439). 
• Joachim Lambek: Lectures on Rings and Modules. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, New York 1976 (MR0419493). 
• Jakob Levitzki: On rings which satisfy the minimum condition for the right-hand ideals. In: Compositio Mathematica. Band 7, 1939, S. 214–222 ([1]). 
• Kurt Meyberg: Algebra. Teil 2 (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure). Carl Hanser Verlag, Wien 1976, ISBN 3-446-12172-2 (MR0460011). 
• Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert: Lineare Algebra I (= Heidelberger Taschenbücher. Band 150). Springer-Verlag, Wien 1974, ISBN 3-540-06715-9 (MR0366944). 
• Louis Halle Rowen: Ring Theory. Student Edition. Academic Press, Boston, MA 1991, ISBN 0-12-599840-6 (MR1095047). 
• Le Phuong-Thao, Nguyen Van Sanh: A generalization of Hopkins-Levitzki theorem. In: Southeast Asian Bulletin of Mathematics. Band 37, 2013, S. 591–600 (MR3134922).