„Ungleichung von Argand“ – Versionsunterschied
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Die '''Ungleichung von Argand''' (oder '''argandsche Ungleichung''' oder auch '''d’Alemberts Lemma''') ist eine [[Ungleichung]] aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Analysis]]. Sie geht auf eine [[Publikation]] des [[Schweiz]]er [[Mathematiker]]s [[Jean-Robert Argand]] aus dem Jahre 1814 zurück, in der dieser unter Rückgriff auf eine im Jahre 1746 von [[Jean-Baptiste le Rond d’Alembert]] vorgelegte Grundidee eine [[untere Abschätzung]] für [[Konstante Funktion| nicht-konstante]] [[komplexe Funktion|komplexe]] [[Polynomfunktion]]en liefert. Mit deren Hilfe lässt sich ein einfacher Beweis des [[Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]] führen.<ref name="HDE-etal-001">R. Remmert: ''Fundamentalsatz der Algebra'' In: Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: ''Zahlen.'' 1992, S. 79–99, S. 88</ref><ref name="HVM-KK-001">Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: ''Einführung in die höhere Mathematik. Zweiter Band.'' 1958, S. 546 ff.</ref><ref name="JE-001">Joachim Engel: ''Komplexe Zahlen und ebene Geometrie.'' 1958, S. 87 ff., S. 91</ref><ref name="GK-001">Günter Köhler: ''Analysis.'' 2006, S. 167–168</ref><ref name="MA-GMZ-001">Martin Aigner, Günter M. Ziegler: ''Das BUCH der Beweise .'' 2018, S. 171–173.</ref> |
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Aktuelle Version vom 23. Juni 2023, 19:24 Uhr
Die Ungleichung von Argand (oder argandsche Ungleichung oder auch d’Alemberts Lemma) ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie geht auf eine Publikation des Schweizer Mathematikers Jean-Robert Argand aus dem Jahre 1814 zurück, in der dieser unter Rückgriff auf eine im Jahre 1746 von Jean-Baptiste le Rond d’Alembert vorgelegte Grundidee eine untere Abschätzung für nicht-konstante komplexe Polynomfunktionen liefert. Mit deren Hilfe lässt sich ein einfacher Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra führen.[1][2][3][4][5]
Darstellung der Ungleichung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Ungleichung besagt folgendes:[6]
- Gegeben seien eine nicht-konstante komplexe Polynomfunktion und eine beliebige komplexe Zahl und es gelte .
- Dann existiert stets eine komplexe Zahl mit
- .[A 1]
Anwendung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]In Anwendung der argandschen Ungleichung gewinnt man einen einfachen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra:[6]
Zunächst erhält man nämlich unter Berücksichtigung der Tatsache, dass komplexe Polynomfunktionen immer stetig sind, die Aussage, dass es eine reelle Zahl gibt, so dass stets
- für alle mit
gilt.
Nun ist mit auch die reellwertige Funktion stetig. Da zudem die abgeschlossene Kreisumgebung ein Kompaktum ist, zeigt sich vermöge des Weierstraß'schen Satzes vom Minimum sofort, dass es ein globales Minimum für geben muss, also ein mit
- für alle .
Dieses kann dann nur eine –Nullstelle sein, da sich andernfalls mit der argandschen Ungleichung unmittelbar ein Widerspruch ergäbe.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Das BUCH der Beweise. Mit Zeichnungen von Karl H. Hofmann. 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-57766-0, doi:10.1007/978-3-662-57767-7.
- J. R. d’Alembert: Recherches sur le calcul intégral. In: Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles Lettres. 1746, S. 182–224.
- J. Argand: Réflexions sur la nouvelle théorie d’analyse. In: Annales de Mathématiques. Band 5, 1814, S. 197–209.
- Joachim Engel: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70545-4.
- H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert: Zahlen. Redaktion: K. Lamotke (= Grundwissen Mathematik. Band 1). 3., verbesserte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona, Budapest 1992, ISBN 3-540-55654-0.
- Günter Köhler: Analysis. Mit Aufgaben von Jürgen Grahl (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 14). Heldermann Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-88538-114-1 (MR2219809).
- Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. Zweiter Band: Differentialrechnung, unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie. 11. Auflage. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1958.
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ R. Remmert: Fundamentalsatz der Algebra In: Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen. 1992, S. 79–99, S. 88
- ↑ Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. Zweiter Band. 1958, S. 546 ff.
- ↑ Joachim Engel: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie. 1958, S. 87 ff., S. 91
- ↑ Günter Köhler: Analysis. 2006, S. 167–168
- ↑ Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Das BUCH der Beweise . 2018, S. 171–173.
- ↑ a b H.-D. Ebbinghaus et al.: Zahlen. 1992, S. 91
Anmerkungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ ist die komplexe Betragsfunktion.