Problem der Museumswächter

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  Grundriss eines Teils des deutschen historischen Museums.
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  Schematisierung des Grundrisses. Rot eingezeichnet sind 9 Wächterpunkte, die das gesamte Museum bewachen.

Das Problem der Museumswächter (en: Art gallery problem) ist eine Fragestellung der Algorithmischen Geometrie. Dabei wird folgende Situation untersucht:

„Gegeben sei eine polygonale Fläche $G$ mit Rand $\partial G$, interpretiert als Grundriss eines Museums. Wähle nun möglichst wenige Punkte $p_{1},p_{2}\dots p_{k}$ („Wächter“) im Innern des Polygons, sodass jeder Punkt im Innern des Polygons durch eine Gerade, die ganz in $G$ einschließlich Rand liegt, mit einem Wächter verbunden werden kann.“

In der Praxis tritt das Problem in der Robotik auf, wenn bei „künstliche Intelligenzen“ die eine Bewegungsmuster in Abhängigkeit zu ihren Umgebungen ausführen sollen. Manche Fragestellungen der digitalen Bildbearbeitung lassen sich auf Wächterprobleme zurückführen. Auch Beleuchtungsprobleme einer Bühne und das Problem bei der Beobachtung von Tierpopulationen in großen Gebieten können als Wächterproblem modelliert werden. Eine weitere Anwenungen ist die Aufstellung der Infrastruktur für die Wetterbeobachtung oder zur Warnung vor Naturkatastrophen.

Das Problem fällt in die Klasse der APX-Probleme, das heißt, dass wahrscheinlich kein Algorithmus existiert, der es für allgemeine Polygone effizient und korrekt löst. Andererseits hat man für das Problem und seine Varianten obere Schranken an die Zahl der Wächter gefunden und beweisen können, dass diese auch scharf sind. Das heißt, sie können nicht weiter verbessert werden, ohne dass man sich auf spezielle Polygonklassen einschränkt.

Elementare Beispiele

Betrachte zunächst die „einfache“ Version des Problems mit stationären Wächtern. Überlege dir für eine vorgegebene kleine Kantenzahl $n$ ein Polygon, das möglichst viele Wächter benötigt. Bei einem Dreieck und einem Viereck hat man wenig Möglichkeiten, weil offensichtlich stets ein Wächter ausreicht. Bei einem Fünfeck ist das weiterhin richtig, wobei diese Einsicht nicht mehr ganz so offensichtlich ist:

• Spezialfall 5-seitiger Polygone
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  Abbildung 1
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  Abbildung 2
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  Abbildung 3
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  Abbildung 4

Die ersten drei Abbildungen zeigen Stereotypen aller möglichen Fünfecke: jedes Fünfeck kann entweder keine, eine oder zwei konkave Ecken besitzen, also Ecken die einen Innenwinkel von mehr als 180° beziehungsweise im Bogenmaß $\pi$ haben. Das folgt aus der Tatsache, dass in jedem $n$-Eck die Summe der Innenwinkel gleich $\pi (n-2)$ ist, also im Fall $n=5$ ist diese Summe $3\pi$. Sie lässt also höchstens zwei konkave Ecken zu.

Für das 4. Beispiel bräuchte man zwei Wächter: Einen auf einem der Berührungspunkte der Dreiecke und einen Weiteren im jeweils verbleibenden Dreieck. Allerdings würde man dort monieren, dass das Polygon „eigentlich“ 9 Seiten hat, wenn man Überschneidungen verbieten möchte. Für Gewöhnlich tut man das auch. Von nun an werden nur noch solche schneidungsfreien Polygone betrachtet.

• Weitere „kritische Graphen“ für kleine Kantenzahlen
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  Abbildung 5
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  Abbildung 6
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  Abbildung 7
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  Abbildung 8

Im Fall $n=6$ (Abbildungen 5 und 6) tritt der Fall ein, dass Polygone existieren, die nicht von einem Wächter allein bewacht werden können. Allerdings reichen zwei Wächter auch stets hin. Setzt man solche Überlegungen etwas weiter fort, kann man beobachten, dass jeweils, nachdem drei weitere Kanten erlaubt wurden, ein weiterer Wächter nötig werden kann. Ein Polygon, das zu einer Kantenzahl eine maximale Wächterzahl benötigt, nennt man in dem Zusammenhang des Problems ein kritisches Polygon.

Satz von Chvátal

Der Beweis dafür, dass die oberen Beispiele tatsächlich kritische Polygone, also dass für neun- beziehungsweise zwölfkantige Polygone stets drei respektive vier Wächter zum Bewachen ausreichen, ist ein Spazialfall von folgendem Satz.

„Zur Bewachung eines jeden schneidungsfreien, geschlossenen und planaren Polygons mit $n$ Seiten sind $\lfloor {\frac {n}{3}}\rfloor$ Wächterpunkte stets ausreichend und manchmal notwendig.“

– Vašek Chvátal (1975):

Als Beweis gibt es im Wesentlichen zwei Versionen: Eine geometrische Variante, wie sie Chvátal zunächst angab, und eine graphentheoretische, die von S. Fisk angegeben wurde. Sein Beweis benutzt einige wohlbekannte Resultate aus der Graphentheorie, sodass der Beweis vergleichsweise kurz ist und als etwas ästhetischer gilt. Andererseits lässt er im Gegensatz zu Chvátal einige Verallgemeinerungen nicht zu.

Beweis

(Nach Fisk) Zu einem geschlossenen planaren und schneidungsfreien Polygon lassen sich geeignete Sehnen zwischen seinen Ecken ziehen, sodass das Polygon in, bis auf die Sehnen, paarweise disjunkte Dreiecke zerfällt. So eine Zerlegung heißt (naheliegenderwise) Triangulation und ihre Existenz ist unter den gegebenen Voraussetzungen allgemein bewiesen. Weiterhin ist bekannt, dass sich die Ecken eines triangulierten Polygons so färben lassen, dass benachbarte Ecken verschiedene Farben haben, unter Verwendung von nur drei Farben. Jede Farbklasse ist dann offensichtlich eine gültige Wächtermenge; Insbesondere ist das für die kleinste Farbklasse wahr, die gerade $\lfloor {\frac {n}{3}}\rfloor$ Ecken enthält.

Bereits bevor der Satz bewiesen wurde war bekannt, dass diese obere Schranke, falls sie sich als gültig herausstellen sollte, nicht weiter verschärft werden könnte. Dazu betrachtet man folgende Folge von Graphen $G_{n}$ mit $3n$ Kanten. Jedes solche Polygon benötigt $n$ Wächter.

Anlehnend an Fisks Konstruktionsbeweis entwickelten Avis und Toussaint einen Algorithmus, der eine Wächtermenge der Größe $\lfloor {\frac {n}{3}}\rfloor$ konstruiert. Seine Laufzeit hängt im Wesentlichen davon ab, wie effizient eine Triangulation gefunden werden kann. Einige einfache Methoden realisieren das in quadratischer Zeit. in ihrem Papier schlagen sie eine Version in ${\mathcal {O}}(n\log n)$ vor. 1990 hat Chazelle einen Algorithmus mit Laufzeit ${\mathcal {O}}(n)$ vorgestellt.

Die Färbung ist dann relativ leicht konstruierbar, wenn man annimmt, dass die Triangulation eine Datenstruktur übergibt, die alle Adjazenzinformationen enthält. Im Allgemeinen kann das nicht gesichert werden. Die Leistung von Toussaint und Avis war es, eine Färbung in Linearzeit zu finden, allein unter der Benutzung einer Liste von Sehnenkanten der Triangulation.

Varianten und Verallgemeinerungen

Orthogonale Polygone

Ein wesentlicher Spezialfall des Wächterproblems ist die Einschränkung auf orthogonale Polygone. Darunter versteht man Polygone, die ausschließlich die Innenwinkel ${\frac {\pi }{2}}$ und ${\frac {3\pi }{2}}$, das sind 90° beziehungsweise 270°, annehmen. Solche Polygone betrachtet man in geometrischen Anwendungen, die stark an das kartesische Koordinatensystem gebunden sind: darunter fallen Designprobleme hochintegrierter Schaltungen, Architektur und einige Algorithmen auf Rastergraphiken.

Die zunächst naheliegende Vermutung, dass man mit dieser Einschränkung eine bessere Schranke an die Zahl der nötigen Wächter würde beweisen können, wurde 1980 durch einen Satz von Klawe und Kleitman bestätigt. Sie zeigten, die Existenz so genannter „konvexen Quadrilaterationen“: Das sind, analog zur Triangulation, Zerlegungen eines Polygons in konvexe Vierecke, indem Sehnen zwischen gewissen Ecken gezogen werden, die ganz im Polygon liegen. Ihr Beweis dazu ist sehr allgemein gehalten hält auch für eine entsprechende Aussage über Polygonen mit (endlich vielen) „Löchern“ oder „Überlappungen“. Es lässt sich vergleichsweise leicht zeigen, dass der Dualgraph einer konvexen Quadrilateration keinen der Kuratowskiminoren, also die Graphen $K_{5}$ und $K_{3,3}$, enthalten kann. Nach dem Satz von Kuratowski ist der Graph dann planar und nach dem Vierfarbentheorem vierfärbbar. Daraus folgt der Satz:

„Zur Bewachung eines jeden schneidungs- und lochfreien sowie planaren und orthogonalen Polygons mit $n$ Seiten sind $\lfloor {\frac {n}{4}}\rfloor$ Wächterpunkte stets ausreichend und manchmal notwendig.“

– Satz von Klawe und Kleitman (1983)

Dass $\lfloor {\frac {n}{4}}\rfloor$ Wächter manchmal notwendig sind, folgt in Analogie zum Beispiel des allgemeinen Falls, dem „orthogonalen Kamm“:

Um die Existenz der konvexen Quadrilaterationen zu zeigen nutzt der Beweis folgende aufeinander ausbauende Konzepte.

Eine „rechte“ und eine „linke“ Kante $R$ und $L$ eines Polygons $G$ heißen benachbart, falls

1. Das Innere von $G$ „links“ von $R$ und rechts von $L$ liegt.
2. $R$ und $L$ „sehen“ einander (Das heißt es existieren Punkte $r\in R$ und $l\in L$, sodass die Verbindung $rl$ ganz in $G$ enthalten ist.)
3. Der Abstand zwischen $R$ und $L$ zueinander ist unter den Bedingungen (1) und (2) minimal.

Daraus folgt sofort, dass zu einer Kante keine Nachbarin existieren muss, falls aber eine existiert so kann oBdA davon ausgegangen werden, dass diese eindeutig ist. Sind zwei benachbarte Kanten durch eine vertikale Kante miteinander verbunden, nennt man die drei Kanten zusammen ein Ohr. Für „obere“ und „untere“ Kanten definiert man die Nachbarschafts- und Ohreigenschaft ganz analog.

In gegebenen Polygonen solche Ohren zu finden, ist deshalb interessant, weil man relativ leicht beweisen kann, dass jede konvexe Quadrilateration jedes Ohr enthalten muss. Allerdings muss man um die Aussage des Wächtertheorems zu erhalten das Konzept etwas allgemeiner fassen, denn nicht jedes Polygon muss ein Ohr enthalten.

Außerdem gibt es solche (Ohrenthaltenden) Polygone, die es gestatten, ein Polygon durch Abspaltung eines konvexen Vierecks auf ein oder mehrere kleinere, das heißt mit wenigstens einem Loch oder einer Kante weniger, zurückzuführen und solche, die so eine Reduktion nicht getestatten. Diese nennt man reduzibel respektive irreduzibel. Klawe und Kleitmann konnten zeigen, dass orthogonale Polygone

• entweder in diesem Sinne reduzibel sind
• oder ein Ohrenpaar (zwei Ohren, sodass die Verbindungskanten der benachbarten Kanten einander sehen) enthalten,
• oder zwei benachbarte Kanten enthalten, die kein Ohr bilden,
• oder unendlich viele Ecken haben müssen.

Für den Fall des Ohrenpaars und der benachbarten Kanten konnten sie auch eine Reduktion auf ein kleineres Polygon angeben und so induktiv die Existenz der vorgeschlagenen Quadrilaterationen für endliche Polygone begründen.

• Beispiele zu konvexen Quadrilaterationen
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  Konvexe Quadrilaterationen von orthogonalen Polygonen sind im Allgemeinen nicht Eindeutig. Dieses Polygon hat kein Ohr.
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  Das Viereck $\{6,7,8,9\}$ ist ein Ohr. $\{2,3,4,5\}$ ist kein Ohr, weil $\{2,3\}$ mit $\{6,7\}$ benachbart ist. Die in diesem Fall eindeutige konvexe Quadrilateration (eingezeichnet) kann nicht aus einer allgemeinen Triangulation konstruiert werden. (könnte das Dreieck $\{2,6,9\}$ enthalten)

Algorithmen

Einen Versuch der Umsetzung des eben vorgestellten Beweises stellt Sack in seiner Promotionsschrift von 1984 vor.

Einen anderen Beweisansatz und einen daraus abgeleiteten Algorithmus hat Lubiw 1985 entwickelt.

Festungsproblem

Derick Wood und Joseph Malkelvitch stellten in den 1970ern unabhängg voneinander die Frage nach zwei Verallgemeinerungen des Problems der Museumswächter: Anstelle Punkte zu finden, die das Innere eines Polygons bewachen, fragten sie nach Puknten, die das Äußere bewachen oder beides leisten. Wood Prägte dafür die Namen Festungsproblem (Für Bewachungsprobleme von äußeren Gebieten) und Problem des Gefängishofs. (Für Probleme bei denen beides bewacht werden soll) Das festungsproblem ist insofern zufriedenstellend gelöst, alsdass scharfe Aussagen zur benötigten Wächterzhal für ein Polygon in der Eckenzahl bewiesen werden konnten.

Dieses orthogonale Polygon nach Argawall benötigt für $n=24$ Ecken $7$ Wächter um den Außenbreich zu bewachen.

„Zur Lösung des Festungsproblems sind $\lceil {\frac {n}{2}}\rceil$ Eckenwächter manchmal notwendig und immer ausreichend“

– Joseph O'Rourke: Galleries need fewer mobile guards: A variation on Chvátal's theorem. In: Geometriae Dedicata. 14. Jahrgang, Nr. 3, 1983, S. 273–283, doi:10.1007/BF00146907 (doi.org [abgerufen am 1. August 2010]). .

Ein Beispiel für die Notwendigkeit ist jedes konvexe Polygon. Dass das hinreicht folgt aus folgender Konstruktion: Zu einem allgemeinen Polygon betrachte die konvexe Hülle. Trianguliere nun den Teil der Ebene, der innerhalb der Konvexen Hülle, jedoch außerhalb des Polygons liegt. Wähle einen künstchen Knoten $v_{\infty }$ und verbinde Alle Punkte der konvexen Hülle mit ihm. An einem beliebigen Knoten $x$ der konvexen Hülle wird das Polygon nun „geöffnet“: $x$ wird ersetzt durch Knoten $x'$ und $x''$ mit bis Auf je eine Kante, die sie mit ihrem Nachbarn auf der konvexen Hülle verbinden, identischen Inzidenzen wie $x$. Der resultierende Graph mit $n+2$ Knoten ist ein Triangulationsgraph, also Dreifärbbar. Man rechnet dann elementar aus, dass eine minimale chromatische Klasse, die $v_{\infty }$ nicht enthält von der Ordnung höchstens $\lceil {\frac {n}{2}}\rceil$ groß wird. Die Übertragung des Beweises auf den Orthogonalen Fall hat Argawall durchgeführt und kommt darin zu dem Ergebniss, dass $\lceil {\frac {n}{4}}\rceil +1$ Eckenwächter stets ausreichend und manchmal notwendig sind. Beide Beweise liefern Linearzeitalgorithmen zur Konstruktion einer entsprechenden Wächtermenge.

Für $n=13$ braucht man hier $5$ freie Wächter.

Wenn man die Beschränkung aufhebt, dass Wächter ausschließlich an den Ecken platziert werden dürfen, kann man zeigen, dass dafür $\lceil {\frac {n}{3}}\rceil$ stets ausreichend und manchmal nötig sind. Zum Beweis hat sich eine Idee von Shermer als einsichtig erwiesen. Man konstruiert einen Triangulationsgraphen: Zwei zusätzliche Punkte werden rechts und Links des Polygons hinreichend weit entfernt gewählt. Mit der Konvexen Hülle kann dann ein Graph mit $n+2$ Knoten erklärt werden, zu dem eine Triangulation existiert. In dem Fall, dass die Knotenzahl auf der konvexen Hülle gerade ist, ist dieser Graph dann 3-Färbbar. (Die Zuastzknoten die Farbe Eins. Auf der Hülle dann alternierend Zwei und Drei) Ist sie ungerade, kann man mit einem Trick einen weiteren Knoten hinzunehmen und ist im geraden Fall. Eine kleinste chromatische Klasse enthält dann $\lfloor {\frac {n+2}{3}}\rfloor =\lceil {\frac {n}{3}}\rceil$ Knoten.

Historische Anmerkungen

Die wahrscheinlich erste systematische Betrachtung von Sichtbarkeitsfragen regte Victor Klee im August 1973 auf einer Konferrenz in Stanford an, indem er das Museumsproblem für Punktwächter und eine sich als korrekt herausgestellte Vermutung formullierte. Zwei Jahre später präsentierte Chvátal eine bewiesene Lösung des Problems.

Resultate der Wächtertheorie im Überblick

Einklappen fixen

gesichteter Bereich	Polygonstruktur	Löcher	Wächtertyp	untere Schranke	obere Schranke	Diskussion
Innen	allgemein		Ecken	$\lfloor {\frac {n}{3}}\rfloor$		hier
				$r$		Untere Schranke hier, obere Schranke fast trivial
		$h$		$\lfloor {\frac {n+h}{3}}\rfloor$	$\lfloor {\frac {n+2h}{3}}\rfloor$	Untere für kleine $h$ hier. Obere in O' Rourke S.125 ff.
			diag epts	$\lfloor {\frac {n}{4}}\rfloor$
			Kanten	$\lfloor {\frac {n+1}{4}}\rfloor$	$\lfloor {\frac {n}{3}}\rfloor$
			kanten epts	$\lfloor {\frac {2}{7}}\rfloor$	$\lfloor {\frac {n}{3}}\rfloor$
	sternförmig		Ecken	$\lfloor {\frac {n}{3}}\rfloor$		Einige untere Schranken hier. Obere Schranken und Rest in O' Rourke S. 116 ff.
				$\lfloor {\frac {r}{2}}\rfloor +1$
			Linie	$1$
			Dialgonale	$2$
			Kanten	$\lfloor {\frac {n}{5}}\rfloor$	$\lfloor {\frac {n}{3}}\rfloor$
				$\lfloor {\frac {r}{2}}\rfloor +1$
	orthogonal		Ecken	$\lfloor {\frac {n}{4}}\rfloor =\lfloor {\frac {r}{2}}\rfloor +1$		hier
		$1$		$\lfloor {\frac {n}{4}}\rfloor$		Analog zum allgemeinen Fall mit Löchern O' Rourke S. 140 ff.
		$2$	Punkt	$\lfloor {\frac {n}{4}}\rfloor$
		$h$	Ecken	$\lfloor {\frac {n}{4}}\rfloor$	$\lfloor {\frac {n+2h}{4}}\rfloor$
			Diagonal	$\lfloor {\frac {3n+4}{16}}\rfloor$		O' Rourke S. 108 ff. Nach Aggarwal.
Außen	allgemein		Ecken	$\lceil {\frac {n}{2}}\rceil$		hier
			Punk	$\lceil {\frac {n}{3}}\rceil$
	orthogonal		Ecken	$\lceil {\frac {n}{4}}\rceil +1$		hier
Innen und außen	allgemein		Ecken	$\lceil {\frac {n}{2}}\rceil$		Füredi-Keitmann
	konvex			$\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor$		Füredi-Keitmann
	orthogonal			$\lceil {\frac {n}{4}}\rceil +1$	$\lfloor {\frac {5n}{12}}\rfloor +2$	Hoffmann-Kriegel
Legende $n$ notiert die Eckenzahl. (Ecken von Löchern werden mitgezählt, falls welche vorhanden sind) $h$ notiert die Anzahl der Löcher, falls vorhanden. Kein Eintrag bedeutet $h=0$. $r$ notiert die Anzahl der konkaven Ecken. Eine Ecke heißt konkav, gdw ihr Innenwinkel größer als $\pi =180^{\circ }$ ist. $\lfloor \dots \rfloor$ und $\lceil \dots \rceil$ sind die Gauß- bzw. Entierklammern. Sie runden den eingeschlossenen Ausdruck ganzzahlig auf bzw. ab.

Weitere kritische Beispiele

• Für sternförmige Polygone
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  Beweisidee der unteren Schranke in der Eckenzahl für sternförmige Polygone: Für $n=24$ Ecken braucht man hier $8$ Eckenwächter. (Einen für jeden „Zacken“. Keine Ecke bewacht 2 Zacken oder mehr.)
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  Beweis der unteren Schranke in der Zahl de konkaven Ecken für sternförmige Polygone: Für je zwei Zacken braucht man einen Wächter an deren konkaven Ecken. Keine Ecke mehr als zwei Zacken.
• 
  Beweisidee der unteren Schranke in der Eckenzahl für Sternförmige Polygone: Für $n=25$ braucht man hier $5$ Kantenwächter. Bei der Verallgemeinerung für größere $n$ muss man die Zacken Derart spitz wählen, dass die durch jeden Zacken induzierten Strahlen für jeden Zacken eine andere Kante des „Kreises“ schneiden.
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  Beispiel eines sternförmigen Polygons, das zwei Diagonalenwächter benötigt. Zwei der vier möglchen Diagonalen sind eingezeichnet: Keine schneided die grau hervorgehobene Kernregion. Dieses Beispiel wurde von Shermer und Suri entdeck.

• Schranke in der Zahl konkaver Ecken und Polygone mit Löchern.
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  Es gibt Polygonklassen, die für jede konkave Ecke einen Wächter benötigen.
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  Für $n=8$ Ecken werden $3$ Wächter benötigt. Das linke Polygon geht auf Julian Sidarto zurück. Die beiden Rechten auf Tomas Shermer.
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  Hier braucht man $4$ Wächter für $n=11$ Ecken. Das Linke geht auf Shermer zurück; das Rechte auf Arthur Delcher. Diese und die Vorherigen Beispiele mit Löchern wurden in einer Hausaufgabe eines Semminars von O'Rourke gefunden.
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  $n=24$ und drei Löcher brauchen $9$ Eckenwächter.

Literatur

• J. O'Rourke: Art gallery theorems and algorithms. Oxford University Press Oxford, 1987 (smith.edu [PDF]). 
• A. Aggarwal: The art gallery theorem: its variations, applications and algorithmic aspects. 1984. 
• J. Urrutia: Art gallery and illumination problems. In: Handbook of computational geometry. 2000, S. 973–1027. 
• Zoltán Füredi, D. J. Kleitman: The prison yard problem. In: Combinatorica. 14. Jahrgang, Nr. 3, 1994, S. 287–300, doi:10.1007/BF01212977 (doi.org [abgerufen am 1. August 2010]). 
• Frank Hoffmann, Klaus Kriegel: Algorithms and Computation. 1993, A graph coloring result and its consequences for some guarding problems, S. 78–87. 

Fußnoten

Anmerkungen

Einzelnachweise