Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion

Die Abrundungsfunktion (auch Gaußklammer, Ganzzahl-Funktion, Ganzteilfunktion oder Entier-Klammer) und die Aufrundungsfunktion sind Funktionen, die einer reellen Zahl die nächstliegende nicht größere bzw. nicht kleinere ganze Zahl zuordnen. Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt, der das Symbol $\left[ x \right]$ für die Abrundungsfunktion 1808 einführte. Ende des 20. Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E. Iverson eingeführten Bezeichnungen $\operatorname{floor}(x)$ und $\lfloor x \rfloor$ (engl. floor „Boden“) für die Gaußklammer sowie $\operatorname{ceil}(x)$ und $\lceil x \rceil$ (engl. ceiling „Decke“) für die Aufrundungsfunktion.

Abrundungsfunktion oder Gaußklammer

Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion

Definition

Sie ist folgendermaßen definiert:

Für eine reelle Zahl $x$ ist $\lfloor x \rfloor$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist:

$\lfloor x \rfloor=\max \{k\in\Z \mid k\leq x\}$

Beispiele

• $\lfloor 2{,}8 \rfloor = 2$

• $\lfloor -2{,}8 \rfloor = -3$

Man beachte, dass $\lfloor -2{,}8 \rfloor$ nicht etwa gleich $-2$ ist. Die Definition verlangt ja $\lfloor x \rfloor \le x$, und es ist $-2>-2{,}8$.

• $\lfloor -2{,}2 \rfloor = -3$

• $\lfloor 2 \rfloor = 2$

Eigenschaften

• Für alle $k \in \Z, x \in \R$ gilt

  $k \leq \lfloor x \rfloor \Longleftrightarrow k \leq x$.

• Es gilt immer $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor+1$. Dabei ist $\lfloor x \rfloor = x$ genau dann, wenn $x$ eine ganze Zahl ist.

• Für jede ganze Zahl $k$ und jede reelle Zahl $x$ gilt

  $\lfloor x+k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k$.

• Für alle reellen Zahlen $x, y$ gilt

  $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le \lfloor x+y \rfloor \le \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$.

• Für jede ganze Zahl $k$ und jede natürliche Zahl $n$ gilt

  $\left\lfloor \frac{k}{n} \right\rfloor \ge \frac{k-n+1}{n}$.

• Die Abrundungsfunktion ist idempotent: Es gilt

  $\bigl\lfloor \lfloor x \rfloor \bigr\rfloor = \lfloor x \rfloor$.

• Sind $m$ und $n$ teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt

  $\sum_{j=1}^{n-1} \left \lfloor \frac{jm}{n} \right \rfloor = \frac{(m-1)(n-1)}{2}$.

• Die Abrundungsfunktion ist nicht stetig, aber oberhalbstetig.

• Für nichtganze reelle $x$ konvergiert die Fourierreihe der $1$-periodischen Funktion $\lfloor x \rfloor-x$, und es gilt

  $\lfloor x \rfloor = x-\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin{(2k\pi x)}}{k}$.

Aufrundungsfunktion

Aufrundungsfunktion

Definition

Sie ist so definiert:

Für eine reelle Zahl $x$ ist $\lceil x \rceil$ die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich $x$ ist.

$\lceil x \rceil:=\min \{k\in\Z \mid k\ge x\}$

Beispiele

• $\lceil 2{,}8 \rceil = 3$

• $\lceil -2{,}8 \rceil = -2$

• $\lceil 2 \rceil = 2$

Eigenschaften

• Es gilt analog

$\lceil \lceil x \rceil \rceil = \lceil x \rceil$

Allgemeine Eigenschaften

Gaußklammer und Dezimalstellen

Es gilt für positive Zahlen:

$x = \operatorname{floor}(x) + \operatorname{frac} (x)$

Die Funktion frac(x) liefert dabei den Nachkommaanteil der Zahl.

Zusammenhänge zwischen Auf- und Abrundungsfunktion

• Es ist stets

$\lceil x \rceil + \lfloor -x \rfloor = 0$

Deshalb erhält man die Aufrundungsfunktion aus der Gaußklammerfunktion per

$\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor$

• Für ganze Zahlen $k$ gilt:

$\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor + \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil = k$

Kaufmännische Rundung

Die kaufmännische Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedrückt werden:

• $\lfloor x + 0{,}5\rfloor \mbox{ für } x \ge 0$

• $\lceil x - 0{,}5\rceil \mbox{ für } x< 0$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Floor Function. In: MathWorld. (englisch)
• Eric W. Weisstein: Ceiling Function. In: MathWorld. (englisch)