Äquivalenz (Matrix)

Die Äquivalenz im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der $m\times n$-Matrizen.

Definition

Zwei Matrizen $A$ und $B$ sind per Definition äquivalent, wenn es eine lineare Abbildung

$f\colon \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{m}$ gibt und es Basen $B_{1},B_{2}$ von $\mathbb {K} ^{n}$ und $C_{1},C_{2}$ von $\mathbb {K} ^{m}$ gibt, so dass

$A={}_{B_{1}}M(f)_{C_{1}}$ und

$B={}_{B_{2}}M(f)_{C_{2}}$ gilt,

d. h. $A$ ist eine Darstellung von $f$ bezüglich der Basen $B_{1}$ von $\mathbb {K} ^{n}$ und $C_{1}$ von $\mathbb {K} ^{m}$, und $B$ ist eine Darstellung von $f$ bezüglich der Basen $B_{2}$ von $\mathbb {K} ^{n}$ und $C_{2}$ von $\mathbb {K} ^{m}$.

Äquivalente Aussage

Zur Aussage „die $m\times n$-Matrizen $A$ und $B$ sind äquivalent über dem Körper $K$“ ist folgende Aussage äquivalent:

• Es gibt eine invertierbare $m\times m$-Matrix $S$ und eine invertierbare $n\times n$-Matrix $T$ über $K$, so dass $B=SAT$ gilt.

Aussagen über äquivalente Matrizen

• Zwei reguläre Matrizen vom gleichen Typ sind äquivalent.
• Zwei Matrizen vom gleichen Typ und demselben Rang sind äquivalent.

Äquivalente Matrizen und ähnliche Matrizen

Ein Spezialfall von äquivalenten Matrizen sind die ähnlichen Matrizen.

Literatur

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4. Auflage. Vieweg, 1985, ISBN 3-528-37235-4. S. 101 und S. 163

Siehe auch

• Ähnlichkeit (Matrix)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Equivalent Matrix. In: MathWorld (englisch).