Ähnlichkeit (Matrix)

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Die Ähnlichkeit im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen. Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe lineare Abbildung (Endomorphismus) bei Verwendung unterschiedlicher Basen.

Definition[Bearbeiten]

Zwei quadratische Matrizen A, B \in K^{n \times n} über dem Körper K heißen zueinander ähnlich, wenn es eine reguläre Matrix S \in K^{n \times n} gibt, sodass

B = S^{-1}AS

oder äquivalent

SB = AS

gilt. Die Abbildung

A \mapsto B = S^{-1}AS

heißt Ähnlichkeitsabbildung oder Ähnlichkeitstransformation. Ist eine Matrix einer Diagonalmatrix ähnlich, so heißt sie diagonalisierbar, ist sie einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich, so heißt sie trigonalisierbar.

Beispiel[Bearbeiten]

Die beiden reellen Matrizen

A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}   und   B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -5 \end{pmatrix}

sind zueinander ähnlich, denn mit der regulären Matrix

S = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}

gilt

S^{-1} A S =
\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \cdot 
\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -5 \end{pmatrix} = B.

Die Matrix S ist dabei nicht eindeutig bestimmt, denn auch jedes Vielfache c S mit c \neq 0 erfüllt diese Identität.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Kenngrößen[Bearbeiten]

Zwei zueinander ähnliche Matrizen A,B \in K^{n \times n} haben das gleiche charakteristische Polynom, denn es gilt mit der Kommutativität der Einheitsmatrix I \in K^{n \times n}, dem Determinantenproduktsatz und der Determinante der Inversen


\begin{align}
\chi_B(\lambda) & = \det (\lambda I - B) = \det (\lambda I - S^{-1}AS) = \det (S^{-1} \lambda I S - S^{-1}AS) = \\
& = \det (S^{-1} (\lambda I -A) S) = \det (S^{-1}) \det (\lambda I -A) \det (S) = \det (\lambda I -A) = \chi_A(\lambda).
\end{align}

Daher haben zueinander ähnliche Matrizen

Außerdem haben zueinander ähnliche Matrizen

Charakterisierung[Bearbeiten]

Zwei komplexe Matrizen sind genau dann zueinander ähnlich, wenn sie (bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke) die gleiche jordansche Normalform haben.

Allgemein sind nach dem Lemma von Frobenius zwei Matrizen A und B genau dann zueinander ähnlich, wenn sie die gleiche Frobenius-Normalform besitzen. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre charakteristischen Matrizen xI-A und xI-B die gleiche Smith-Normalform aufweisen.

Äquivalenzklassen[Bearbeiten]

Die Ähnlichkeit von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation, also reflexiv, symmetrisch und transitiv. Man schreibt

A \sim B,

wenn A und B zueinander ähnlich sind und notiert die zu einer Matrix A \in K^{n \times n} zugehörige Äquivalenzklasse durch

\left[ A \right] = \{ B \in K^{n \times n} \mid B \sim A \}.

Zum Beispiel besteht die Äquivalenzklasse der zu einem Vielfachen c \in K der Einheitsmatrix I \in K^{n \times n} ähnlichen Matrizen aus genau einem Element \left[ c I \right] = \{ c I \}, denn S^{-1} (cI) S = c I für alle regulären Matrizen S \in K^{n \times n}.

Die Ähnlichkeit von Matrizen ist ein Spezialfall der allgemeiner definierten Äquivalenz auf der Klasse der (m \times n)-Matrizen.

Berechnung der Transformationsmatrix[Bearbeiten]

Vorgehensweise[Bearbeiten]

Sind zwei zueinander ähnliche Matrizen A, B \in K^{n \times n} gegeben, so lässt sich eine Matrix S, mit der B = S^{-1} A S gilt, folgendermaßen ermitteln. Zunächst werden die beiden Matrizen A und B in die gleiche Frobenius-Normalform (oder, falls möglich, die gleiche Jordan-Normalform) F \in K^{n \times n} überführt. Sind die beiden hierzu verwendeten Ähnlichkeitstransformationen

F = G^{-1} A G   und   F = H^{-1} B H

mit regulären Matrizen G, H \in K^{n \times n}, so folgt daraus durch Gleichsetzen

B = H G^{-1} A G H^{-1} = \left(G H^{-1}\right)^{-1} A \left(G H^{-1}\right).

Die gesuchte Transformationsmatrix ist demnach

S = G H^{-1}.

Beispiel[Bearbeiten]

Seien die beiden (2 \times 2)-Matrizen A und B wie im obigen Beispiel gegeben. Die charakteristischen Polynome der beiden Matrizen ergeben sich zu

\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = (\lambda+3)\lambda + 2 = (\lambda+2)(\lambda+1)

und

\chi_B(\lambda) = \det(\lambda I - B) = (\lambda-2)(\lambda+5) + 12 = (\lambda+2)(\lambda+1).

Die beiden charakteristischen Polynome stimmen also überein, wobei die Eigenwerte \lambda_1 = -2 und \lambda_2 = -1 sind. Nachdem das charakteristische Polynom vollständig in reelle Linearfaktoren zerfällt, lässt sich zu beiden Matrizen die gleiche Jordan-Normalform aufstellen, die in diesem Fall die Diagonalgestalt

F = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

hat. Die Transformationsmatrizen in die Jordan-Normalform haben dabei die Form G = ( v_1 \mid v_2 ) und H = ( w_1 \mid w_2 ), wobei v_1, w_1 jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert \lambda_1 = -2 und v_2, w_2 jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert \lambda_2 = -1 sind. Für A ergeben sich zwei Eigenvektoren durch Lösung von (-2I + A) v_1 = 0 und (-I + A) v_2 = 0 als

v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}   und   v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

Entsprechend ergeben sich für B zwei Eigenvektoren durch Lösung von (-2I + B) w_1 = 0 und (-I + B) w_2 = 0 als

w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}   und   w_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.

Die beiden Transformationsmatrizen in die Jordan-Normalform F sind demnach

G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}   und   H = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}

und die gesuchte Ähnlichkeitstransformationsmatrix ist damit

S = G H^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} .

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]