Ähnlichkeit (Matrix)

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Die Ähnlichkeit im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen. Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe lineare Abbildung (Endomorphismus) bei Verwendung unterschiedlicher Basen.

Zwei n \times n-Matrizen A und B über dem gleichen Körper K sind ähnliche Matrizen, wenn es eine invertierbare n \times n-Matrix P über K gibt, sodass

B = P^{-1}AP

oder äquivalent

PB = AP

gilt.

Ähnlichkeitsabbildung[Bearbeiten]

Eine Abbildung g, die einer Matrix A eine ihr ähnliche Matrix B zuweist, heißt Ähnlichkeitsabbildung oder Ähnlichkeitstransformation.
Es gilt dann (vgl. oben) g(A) = P^{-1}AP = B.

Diagonalisierbarkeit, Trigonalisierbarkeit[Bearbeiten]

Ist eine Matrix A ähnlich zu einer Diagonalmatrix, so sagt man, sie ist diagonalisierbar. Eine Matrix heißt trigonalisierbar, falls sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist.

Eigenschaften ähnlicher Matrizen[Bearbeiten]

Ähnliche Matrizen besitzen dieselben Eigenwerte (aber nicht notwendigerweise die gleichen Eigenvektoren). Daraus folgt, dass sie

haben.

Zwei Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn ihre charakteristischen Matrizen äquivalent sind (sog. Lemma von Frobenius).

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Die Ähnlichkeit von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation. Sie ist ein Spezialfall der allgemeiner definierten Äquivalenz auf der Klasse der m \times n-Matrizen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4-te Auflage, Vieweg 1985, ISBN 3-528-37235-4, S.101 und S. 163