Additivität

In der Mathematik heißen Funktionen additiv, wenn sie Summen erhalten, d. h.

$f(x+y) = f(x) + f(y).$

Sind Definitions- und Zielbereich abelsche Gruppen, so spricht man auch von $\mathbb Z$-Linearität.

Sub- und Superadditivität

Ist M eine Halbgruppe mit der Verknüpfung „+“, so heißt eine Abbildung $f: M \to \mathbb{R}$ subadditiv, wenn für alle x und y aus M gilt:

$f(x+y)\leq f(x)+f(y)$

Die Abbildung heißt superadditiv, wenn für alle x und y aus M gilt:

$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$

Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist.

Beispiele

Gemäß der Dreiecksungleichung sind Normen und Beträge stets subadditiv.

Sublineare Funktionen sind subadditiv, lineare Abbildungen additiv.

Eigenschaften

Induktiv kann man zeigen, dass Additivität für jede endliche Auswahl $x_1, \dotsc, x_n$ aus $M$ gilt:

$f(x_1+ \ldots +x_n) = f(x_1)+ \ldots +f(x_n)$

Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

Definition in der Zahlentheorie

Bei einer zahlentheoretischen Funktion fordert man für die Additivität nur, dass die Gleichung $f(x*y)= f(x)+f(y)$ für teilerfremde $x$ und $y$ gilt (dabei ist $f(x*y)$ die zahlentheoretische Faltung von $x$ und $y$). Gilt dies darüber hinaus für alle $x$ und $y$, so heißt die Funktion streng additiv.

Eine ähnliche Einschränkung der Additivität (auf disjunkte statt beliebige Vereinigungen) gibt es in der Maßtheorie, siehe nächster Abschnitt.

Sigma-Additivität, Maße

Ist M eine σ-Algebra und damit insbesondere eine Halbgruppe bezüglich der Verknüpfung $\cup$ (Vereinigung), so heißt eine Funktion $f\colon M \to \mathbb{R}$ abzählbar additiv oder σ-additiv, wenn eine entsprechende Gleichung auch für abzählbar unendlich viele disjunkte Mengen $A_i$ $(i \in \mathbb{N})$ gilt, also:

$f(\dot\bigcup_{i\in\mathbb{N}} A_i)= \sum_{i\in\mathbb{N}} f(A_i)$.

Allgemeiner ist ein äußeres Maß σ-subadditiv, das heißt es gilt:

$f(\bigcup_{i\in\mathbb{N}} A_i)\leq \sum_{i\in\mathbb{N}} f(A_i)$

für alle abzählbaren Familien $\lbrace A_{i\in\mathbb{N}}\rbrace\subseteq M$.

Ein inneres Maß ist dagegen σ-superadditiv für disjunkte Vereinigungen, das heißt es gilt:

$f(\dot\bigcup_{i\in\mathbb{N}} A_i)\geq \sum_{i\in\mathbb{N}} f(A_i)$

für alle abzählbaren Familien disjunkter Mengen $\lbrace A_{i\in\mathbb{N}}\rbrace\subseteq M$.

Eine Abbildung, die sowohl ein äußeres als auch ein inneres Maß ist, ist ein Maß. Maße sind also σ-additiv für disjunkte Vereinigungen, für beliebige Vereinigungen aber nur σ-subadditiv.