Additivität

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In der Mathematik heißen Funktionen additiv, wenn sie Summen erhalten, d. h.

f(x+y) = f(x) + f(y).

Sind Definitions- und Zielbereich abelsche Gruppen, so spricht man auch von \mathbb Z-Linearität.

Sub- und Superadditivität [Bearbeiten]

Ist M eine Halbgruppe mit der Verknüpfung „+“, so heißt eine Abbildung f\colon M \to \mathbb{R} subadditiv, wenn für alle x und y aus M gilt:

f(x+y)\leq f(x)+f(y)

Die Abbildung heißt superadditiv, wenn für alle x und y aus M gilt:

f(x+y)\geq f(x)+f(y)

Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Ist f eine additive Funktion, so gilt für jede endliche Anzahl x_1, \dotsc, x_n von Elementen aus M:

f(x_1+ \ldots +x_n) = f(x_1)+ \ldots +f(x_n)

Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

Definition in der Zahlentheorie[Bearbeiten]

Bei zahlentheoretischen Funktionen f\colon \N \to \C betrachtet man als Verknüpfung auf \N die Multiplikation. Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn die Gleichung

f(x y)= f(x)+f(y)

für alle teilerfremden x und y \in \N gilt. Gilt dies sogar für alle x und y, so heißt die Funktion streng additiv.

Eine ähnliche Einschränkung der Additivität (auf disjunkte statt beliebige Vereinigungen) gibt es in der Maßtheorie, siehe nächster Abschnitt.

Sigma-Additivität, Maße[Bearbeiten]

Ist M eine σ-Algebra und damit insbesondere eine Halbgruppe bezüglich der Verknüpfung \cup (Vereinigung), so heißt eine Funktion f\colon M \to \mathbb{R} abzählbar additiv oder σ-additiv, wenn eine entsprechende Gleichung auch für abzählbar unendlich viele disjunkte Mengen A_i (i \in \mathbb{N}) gilt, also:

f(\dot\bigcup_{i\in\mathbb{N}} A_i)= \sum_{i\in\mathbb{N}} f(A_i).

Allgemeiner ist ein äußeres Maß σ-subadditiv, das heißt es gilt:

f(\bigcup_{i\in\mathbb{N}} A_i)\leq \sum_{i\in\mathbb{N}} f(A_i)

für alle abzählbaren Familien (A_i)_{i\in\mathbb{N}} in M.

Ein inneres Maß ist dagegen σ-superadditiv für disjunkte Vereinigungen, das heißt es gilt:

f(\dot\bigcup_{i\in\mathbb{N}} A_i)\geq \sum_{i\in\mathbb{N}} f(A_i)

für alle abzählbaren Familien disjunkter Mengen (A_i)_{i\in\mathbb{N}} in M.

Eine Abbildung, die sowohl ein äußeres als auch ein inneres Maß ist, ist ein Maß. Maße sind also σ-additiv für disjunkte Vereinigungen, für beliebige Vereinigungen aber nur σ-subadditiv.