Halbgruppe

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In der Mathematik ist eine Halbgruppe eine algebraische Struktur bestehend aus einer Menge mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung, die dem Assoziativgesetz genügt (also ein assoziatives Magma). Sie ist eine Verallgemeinerung einer Gruppe.

Definitionen[Bearbeiten]

Halbgruppe[Bearbeiten]

Eine Halbgruppe \boldsymbol S = (S,*) besteht aus einer Menge S und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

* \colon\, S\times S \to S,\, (a,b) \mapsto a*b,

die assoziativ ist, d. h. für alle a,b,c \in S gilt

a*(b*c) = (a*b)*c.

Man braucht nicht vorauszusetzen, dass S nichtleer ist. Die leere Menge \emptyset bildet auch eine Halbgruppe bezüglich der leeren Verknüpfung

\emptyset\colon\, \emptyset\times\emptyset \rightarrow \emptyset,

die leere oder triviale Halbgruppe (\emptyset,\emptyset) genannt wird.

Bemerkungen zur Notation[Bearbeiten]

Häufig wird für die Verknüpfung * das Symbol \cdot benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Halbgruppe. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt \cdot weggelassen werden.

Eine Halbgruppe lässt sich auch additiv notieren, indem für die Verknüpfung * das Symbol + benutzt wird, was man in der Regel nur für kommutative Halbgruppen tut.

Mit der Gültigkeit des Assoziativgesetzes lässt sich eine vereinfachte klammerfreie Notation einführen, denn sei

a_1*\cdots*a_n := (a_1*\cdots*a_{n-1})*a_n für jedes n \geq 3,

dann haben alle Verknüpfungen von a_1,\ldots,a_n, die sich nur in der Klammerung von a_1*\cdots*a_n unterscheiden, das gleiche Ergebnis wie a_1*\cdots*a_n (allgemeines Assoziativgesetz, Beweis: vollständige Induktion über n), man kann also für jede dieser Verknüpfungen einfach nur a_1*\cdots*a_n schreiben.[1]

Unterhalbgruppe[Bearbeiten]

Seien \boldsymbol S = (S,*) eine Halbgruppe und U \subseteq S. Ist dann \boldsymbol U := (U,*) eine Halbgruppe (* ist hier eine vereinfachte Schreibweise für die Einschränkung *|_{U\times U} von * auf U\times U), so heißt \boldsymbol U Unterhalbgruppe von \boldsymbol S. Genau dann ist \boldsymbol U eine Unterhalbgruppe von \boldsymbol S, wenn U abgeschlossen ist bezüglich *, d. h. es gilt

a*b \in U für alle a,b \in U.

\boldsymbol S nennt man dann auch Oberhalbgruppe von \boldsymbol U.

Faktorhalbgruppe[Bearbeiten]

Ist \boldsymbol S = (S,*) eine Halbgruppe und R\subseteq S\times S eine mit * verträgliche Äquivalenzrelation auf S, so bildet die Faktormenge S/R von S nach R zusammen mit der durch

[a] {\;*}_{R\;} [b] := [a*b]

definierten Verknüpfung {\;*}_{R\;} ebenfalls eine Halbgruppe. Diese Halbgruppe \boldsymbol S/R = \left(S/R,*_R\right) heißt die Faktorhalbgruppe oder Quotientenhalbgruppe von \boldsymbol S nach R. Die Verknüpfung {\;*}_{R\;} wird die durch die Äquivalenzrelation induzierte Verknüpfung oder die kanonische Verknüpfung der Faktorhalbgruppe genannt.

Halbgruppenhomomorphismus[Bearbeiten]

Eine Abbildung \varphi\colon\, S_1\rightarrow S_2 zwischen zwei Halbgruppen \boldsymbol S_1 = (S_1,*_1) und \boldsymbol S_2 = (S_2,*_2) heißt Halbgruppenhomomorphismus, wenn gilt:

\operatorname{\varphi}(a *_1 b)=\operatorname{\varphi}(a)*_2 \operatorname{\varphi}(b)

für alle a,b \in S_1. Ist aus dem Zusammenhang klar, dass es sich um einen Homomorphismus zwischen Halbgruppen handelt, so lässt man den Zusatz Halbgruppen- auch weg. Je nachdem, ob \varphi injektiv oder surjektiv oder beides ist, heißt der Homomorphismus \varphi Mono-, Epi- bzw. Isomorphismus. Gilt S_1 = S_2, so heißt der Homomorphismus \varphi Endomorphismus von \boldsymbol S_1 und der Isomorphismus Automorphismus von \boldsymbol S_1.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Es folgt eine Übersicht über grundlegende algebraische Eigenschaften, interpretiert und angewandt auf Halbgruppen. Genauere Informationen finden sich in den entsprechenden Hauptartikeln.

Kommutativität[Bearbeiten]

Die Halbgruppe \boldsymbol S = (S,*) heißt kommutativ oder auch abelsch, wenn

b*a = a*b

für alle a,b \in S gilt. Die Verknüpfung * selbst wird hierbei auch als kommutativ bezeichnet.

Über eine nach Alexander Grothendieck benannte Konstruktion lässt sich zu einer gegebenen kommutativen Halbgruppe eine Gruppe konstruieren, die Grothendieck-Gruppe. Für die durch die Addition von natürlichen Zahlen gegebene kommutative Halbgruppe fällt die Grothendieck-Gruppe mit der üblichen Konstruktion der ganzen Zahlen zusammen.

Idempotenz[Bearbeiten]

Hauptartikel: Idempotenz

Ein Element a \in S einer Halbgruppe \boldsymbol S = (S,*) heißt idempotent, wenn a*a = a gilt.

Sind alle Elemente der Halbgruppe \boldsymbol S idempotent, so spricht man auch von einer idempotenten Halbgruppe oder einem Band.

Kürzbarkeit[Bearbeiten]

Ein Element k \in S heißt in \boldsymbol S = (S,*) linkskürzbar, wenn für alle a,b \in S

k*a = k*b \implies a = b

gilt, bzw. rechtskürzbar, wenn für alle a,b \in S

a*k = b*k \implies a = b

gilt. Ist k sowohl links- als auch rechtskürzbar, so heißt es zweiseitig kürzbar oder einfach nur kürzbar.

\boldsymbol S heißt linkskürzbar, falls jedes Element aus S linkskürzbar ist, oder rechtskürzbar, falls jedes Element aus S rechtskürzbar ist, und kürzbar, wenn alle Elemente aus S kürzbar sind. Eine endliche, kürzbare Halbgruppe ist eine Gruppe.

Hinweis: In den folgenden Definitionen wird nur die linksseitige Variante stellvertretend für die entsprechende rechts- und beidseitige Variante aufgeführt; die rechts- und beidseitigen Varianten sind analog definiert.

Neutrales Element[Bearbeiten]

Ein Element e \in S einer Halbgruppe \boldsymbol S = (S,*) heißt linksneutral, wenn für alle a \in S gilt:

e*a = a.

Ein linksneutrales Element e ist offensichtlich idempotent, aber ebenso linkskürzbar:

e*a = e*b \implies a = e*a = e*b = b

für alle a,b \in S. Umgekehrt ist in einer Halbgruppe (S,*) auch jedes idempotente, linkskürzbare Element e linksneutral, denn für alle a \in S gilt:

e*e*a = e*a, also e*a = a.

Gibt es in einer Halbgruppe sowohl ein links- als auch ein rechtsneutrales Element, so sind diese identisch und somit neutral. In einer Halbgruppe \boldsymbol S gibt es höchstens ein neutrales Element (ansonsten entweder nur links- oder nur rechtsneutrale oder weder noch), man spricht dann von dem neutralen Element von \boldsymbol S. Eine Halbgruppe mit neutralem Element nennt man auch Monoid.

Invertierbarkeit und Inverses[Bearbeiten]

In einer Halbgruppe \boldsymbol S = (S,*) mit einem linksneutralen Element e \in S ist ein Element j \in S linksinvertierbar, wenn ein i \in S existiert, so dass gilt:

i*j = e.

Man nennt dann i ein Linksinverses von j. Linksinvertierbare Elemente j \in S sind stets linkskürzbar, denn für alle a,b \in S gilt:

j*a = j*b \implies a = e*a = i*j*a = i*j*b = e*b = b.

Ist jedes Element in \boldsymbol S linksinvertierbar, so ist auch jedes Element j \in S rechtsinvertierbar, denn mit

i*j = e und h*i = e für i,h \in S folgt
j*i = e*j*i = h*i*j*i = h*e*i = h*i = e.

Ebenso ist dann e rechtsneutral:

j*e = j*i*j = e*j = j.

\boldsymbol S ist in diesem Fall also eine Gruppe, so dass alle Inversen eines Elements übereinstimmen.

Absorption[Bearbeiten]

Ein Element o \in S heißt linksabsorbierend in (S,*), wenn für alle a \in S gilt:

o*a = o.

Jedes (links- oder rechts-)absorbierende Element ist idempotent und es gibt höchstens ein absorbierendes (d. h. links- und rechtsabsorbierendes) Element in einer Halbgruppe.

Beispiele[Bearbeiten]

Zur Entstehung des Namens[Bearbeiten]

Die Menge \mathbb N_0 = \{0, 1, \ldots\} der natürlichen Zahlen bildet mit der gewöhnlichen Addition eine kommutative und kürzbare Halbgruppe (\mathbb N_0, +), die keine Gruppe ist. Da hier die negativen Zahlen fehlen, also die „Hälfte“ der abelschen Gruppe (\mathbb Z,+) der ganzen Zahlen, lag der Name Halbgruppe für diese mathematische Struktur nahe. Tatsächlich wurde in der Vergangenheit der Begriff „Halbgruppe“ für ein nach den oben gegebenen Definitionen kommutatives, kürzbares Monoid verwendet,[2] später setzte sich dann die obige Definition allgemein durch.

(\mathbb{N}, +), (\mathbb{N}_0, \cdot) und (\mathbb{N}, \cdot) bilden Beispiele für kommutative Halbgruppen mit verschiedenen Eigenschaften bezüglich neutraler und absorbierender Elemente sowie der Kürzbarkeit.

Transformationshalbgruppen[Bearbeiten]

Für eine beliebige Menge X sei \mathcal T_X := \{\tau \mid \tau\colon X\rightarrow X\} die Menge aller Transformationen von X. Bezeichnet \circ die Komposition von Abbildungen \sigma,\tau \in \mathcal T_X, also \tau \circ \sigma\colon\, x \mapsto \tau(\sigma(x)), dann ist (\mathcal T_X,\circ) eine Halbgruppe, die volle Transformationshalbgruppe über X. Idempotente Elemente in \mathcal T_X sind z. B. für jedes a \in X die konstanten Abbildungen \operatorname{c}_a\colon X\rightarrow X mit \operatorname{c}_a(x) = a für alle x \in X, aber auch die identische Abbildung \operatorname{id}_X auf X als neutrales Element. Unterhalbgruppen von (\mathcal T_X,\circ) heißen Transformationshalbgruppen auf X.[3]

Anwendung[Bearbeiten]

Formale Sprachen[Bearbeiten]

Für eine beliebige Menge X \neq \emptyset sei

X^* := \bigcup_{n \in \mathbb N_0} X^n

die kleenesche Hülle von X. Definiert man für alle (x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_m) \in X^* eine Multiplikation durch

(x_1, \ldots, x_n) \cdot (y_1, \ldots, y_m) = (x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m),

dann ist (X^*, \cdot) eine Halbgruppe, die freie Halbgruppe über X. Schreibt man die Elemente (x_1, \ldots, x_n) \in X^* einfach in der Form x_1 \ldots x_n, dann heißen die Elemente in X^* Worte über dem Alphabet X, \varepsilon := (\,) = \{\,\} ist das leere Wort und die Multiplikation \cdot bezeichnet man als Konkatenation.[4] In der theoretischen Informatik setzt man in der Regel voraus, dass ein Alphabet endlich ist, Teilmengen der kleeneschen Hülle eines Alphabets mit dem leeren Wort nennt man formale Sprachen.[5]

Funktionalanalysis, Partielle Differentialgleichungen[Bearbeiten]

Halbgruppen spielen auch eine Rolle in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen. Sei (A_t)_{t\geq 0} := (A_t)_{t\in [0,\infty)} eine Familie beschränkter Transformationen A_t\colon\, X\rightarrow X auf einem vollständigen metrischen Raum (X,d), d.h. zu jedem t \in [0,\infty) existiert ein m_t \in [0,\infty) mit

d(A_t(x),A_t(y)) \leq m_t\cdot d(x,y) für alle x,y \in X.

Insbesondere ist dann jedes A_t stetig und S := \{A_t\mid t\in [0,\infty)\} bildet eine kommutative Halbgruppe (S,\circ) mit neutralem Element \operatorname{id}_X, wenn gilt:

A_0 = \operatorname{id}_X und
A_{t+s} = A_t\circ A_s für alle t,s \geq 0.

Die Funktion (A_t)_{t\geq 0} ist ein Halbgruppenhomomorphismus von ([0,\infty),+) nach (S,\circ) und wird eine einparametrige Halbgruppe von Operatoren genannt (siehe auch: kontinuierliches dynamisches System). Ein A_t ist außerdem kontraktiv, falls

d(A_t(x),A_t(y)) < d(x,y) ist für alle x,y \in X, x \neq y.[6]

Die Halbgruppe (A_t)_{t\geq 0} heißt gleichmäßig stetig, wenn für alle t\geq 0 A_t ein beschränkter linearer Operator auf einem Banachraum (X,\|.\|_X) ist und gilt:

\lim_{t\downarrow0} \|A_t - \operatorname{id}_X\| = 0,

wobei \|\cdot\| die Operatornorm bezeichne.

Die Halbgruppe (A_t)_{t\geq 0} heißt stark stetig, wenn für alle x\in X die Abbildung

[0,\infty) \to X,\, t \mapsto A_t(x),

stetig ist; dann existieren k,m \in \R mit m \geq 1 so, dass

\|A_t(x)\|_X \leq me^{kt}\|x\|_X

gilt. Kann k = 0 gewählt werden, nennt man (A_t)_{t\geq 0} eine beschränkte einparametrige Halbgruppe.

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Mario Petrich: Introduction to Semigroups. S. 4. P.A. Grillet: Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. S. 4f.
  2. vgl. Paul Lorenzen: Abstrakte Begründung der multiplikativen Idealtheorie. Math. Z. 45 (1939), 533–553.
  3. John Mackintosh Howie: Fundamentals of Semigroup Theory. S. 6. P.A. Grillet: Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. S. 2.
  4. Udo Hebisch, Hanns Joachim Weinert: Halbringe: Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. S. 244.
  5.  John E. Hopcroft, Jeffrey Ullman: Einführung in die Automatentheorie, formale Sprachen und Komplexitätstheorie. 2. Auflage. Addison-Wesley, Bonn, München 1990 (Originaltitel: Introduction to automata theory, languages and computation), ISBN 3-89319-181-X, S. 1.
  6. Einar Hille: Methods in Classical and Functional Analysis. Addison-Wesley, Reading (Mass.) u.a. 1972. S. 165ff.

Literatur[Bearbeiten]

  • Pierre Antoine Grillet: Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. Marcel Dekker, New York 1995, ISBN 0-8247-9662-4.
  • Udo Hebisch, Hanns Joachim Weinert: Halbringe: Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. B.G. Teubner, Stuttgart 1993, ISBN 3-519-02091-2.
  • John F. Berglund, Hugo D. Junghenn, Paul Milnes: Analysis on Semigroups: Function Spaces, Compactifications, Representations. John Wiley & Sons, New York et al. 1989, ISBN 0-471-61208-1.
  • John M. Howie: Fundamentals of Semigroup Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-19-851194-9.
  • Mario Petrich: Introduction to Semigroups. Bell & Howell, Columbus, Ohio, 1973, ISBN 0-675-09062-8.

Weblinks[Bearbeiten]