Abelsche Gruppe

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Eine abelsche Gruppe (nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel) ist in der Gruppentheorie eine Gruppe, für die das Kommutativgesetz gilt. Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn ihre Verknüpfungstafel symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist. Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist ein Normalteiler der Gruppe. Jeder abelschen Gruppe lässt sich auch ein Rang zuordnen. Die endlich erzeugten abelschen Gruppen sind vollständig klassifiziert.

Definition[Bearbeiten]

Eine Gruppe (G,*) heißt abelsch, wenn für alle Elemente a, b \in G

a * b = b * a

gilt. Ist eine Gruppe abelsch, dann schreibt man ihre Verknüpfung meist als Addition + mit dem Nullelement 0 als neutrales Element und -a als das Negative oder Entgegengesetzte von a, seltener als Multiplikation \cdot mit dem Einselement 1 als neutrales Element und a^{-1} als das Inverse oder der Kehrwert von a.

Beispiele[Bearbeiten]

Jede zyklische Gruppe ist abelsch; Beispiele sind die additive Gruppe (\Bbb Z, +) der ganzen Zahlen oder der Restklassenring (\Bbb Z/n\Bbb Z, +) mit der Addition.

Die reellen Zahlen bilden eine abelsche Gruppe mit der Addition; ohne die Null bilden sie eine abelsche Gruppe mit der Multiplikation.

Allgemeiner liefert jeder Körper (K, +, \cdot) in derselben Weise zwei abelsche Gruppen \left(K, +\right) und (K\setminus\{0\}, \cdot).

Ein weiteres Beispiel ist die Faktorgruppe \Bbb Q/\Bbb Z, die isomorph zur (multiplikativen) Gruppe der komplexen Einheitswurzeln ist. Die Faktorgruppe \R/\Bbb Z ist isomorph zur Gruppe aller komplexen Zahlen mit Betrag 1.

Hingegen ist die Gruppe (\mathrm{GL}_n(K), \cdot) der invertierbaren Matrizen über einem Körper K für n > 1 ein Beispiel für eine nichtabelsche Gruppe, die kleinste nichtabelsche Gruppe ist die S3.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Bei einer kleinen endlichen Gruppe erkennt man leicht, ob sie abelsch ist. Es gilt:

Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn ihre Verknüpfungstafel symmetrisch zur Hauptdiagonalen, die von links oben nach rechts unten führt, ist.

Ist n eine natürliche Zahl und x ein Element der abelschen Gruppe G, dann kann man nx definieren als die Summe x+x+\cdots+x mit genau n Summanden, 0x als 0 (das neutrale Element der Gruppe) und (−n)x als −(nx). Auf diese Weise wird G zu einem Modul über dem Ring  \mathbb{Z} . Da jeder  \Z -Modul eine abelsche Gruppe ist, kann man also die  \Z -Moduln mit den abelschen Gruppen identifizieren. Theoreme über abelsche Gruppen können so oft verallgemeinert werden zu Sätzen für Moduln über Hauptidealringen. Ein Beispiel ist die Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen (siehe unten).

Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist ein Normalteiler, also kann man zu jeder Untergruppe eine Faktorgruppe erzeugen. Untergruppen, Faktorgruppen, Produkte und direkte Summen abelscher Gruppen sind wieder abelsch.

Sind f, g\colon G \to H zwei Gruppenhomomorphismen zwischen abelschen Gruppen, dann ist ihre Summe f + g, definiert durch

\left(f+g\right)\left(x\right) = f\left(x\right)+g\left(x\right)

ebenfalls ein Homomorphismus. (Das gilt im Allgemeinen nicht, wenn H nicht abelsch ist.) Die Menge \operatorname{Hom}(G, H) aller Gruppenhomomorphismen wird mit dieser Addition selbst zu einer abelschen Gruppe.

Die abelschen Gruppen mit ihren Homomorphismen bilden eine Kategorie. Diese ist der Prototyp einer abelschen Kategorie.

Viele abelsche Gruppen haben eine natürliche Topologie, durch die sie zu topologischen Gruppen werden.

Zusätzliche Attribute[Bearbeiten]

  • Eine abelsche Gruppe ist genau dann endlich erzeugt, wenn es eine endliche Menge E = \{e_1, \ldots, e_k\} gibt, so dass sich jedes Element in der Form
a_1\cdot e_1+ \cdots +a_k \cdot e_k
mit ganzen Zahlen a_1, \ldots, a_k schreiben lässt. Insbesondere ist jede endliche abelsche Gruppe endlich erzeugt.
  • Die Eigenschaften frei und projektiv sind äquivalent, ebenso torsionsfrei und flach.
  • Eine abelsche Gruppe  G heißt teilbar, wenn für alle  n \in \N gilt:  n\cdot 
G = G (das heißt, zu jedem  g\in G gibt es ein  x\in G , so dass  n\cdot x = g gilt). Die abelsche Gruppe der rationalen Zahlen \Q mit der Addition als Verknüpfung ist eine teilbare Gruppe.[1]

Strukturtheorie[Bearbeiten]

  • Vollständig klassifiziert sind die endlich erzeugten abelschen Gruppen. Sie sind nämlich direkte Summen endlich vieler zyklischer Gruppen. Diese kann man übrigens so wählen, dass – bei passender Reihenfolge – die Ordnung jeder dieser Gruppen (ab der zweiten, und so weit endlich) ein Vielfaches der Ordnung der vorhergehenden ist, wobei allfällige unendliche unter ihnen an den Schluss gestellt werden. Außerdem sind diese Gruppenordnungen (mit dieser Reihenfolge) dann eindeutig bestimmt.
  • Für beliebige abelsche Gruppen kann man analog zum Begriff der Dimension eines Vektorraums jeder abelschen Gruppe ihren Rang zuordnen. Er ist definiert als die größte Mächtigkeit einer \mathbb{Z}-linear unabhängigen Teilmenge. Die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen \mathbb{Q} haben Rang 1, so wie jede Untergruppe von \mathbb{Q}. Die abelschen Gruppen vom Rang 1 sind gut verstanden, dagegen sind für höhere Ränge noch viele Fragen offen. Abelsche Gruppen mit unendlichem Rang können extrem komplex sein und ihre offenen Fragen sind oft eng verbunden mit Fragen der Mengenlehre.

Siehe auch[Bearbeiten]

  • Jeder Vektorraum (V,+) über einem Körper K ist – allein mit der Vektoraddition als Verknüpfung − eine abelsche Gruppe mit dem Nullvektor als neutralem Element.
  • Ist der Körper K ein endlicher Körper, dann bezeichnet man den K-Vektorraum (V,+) auch als elementar abelsche Gruppe. → Siehe dazu p-Gruppe.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7, S. 86.