Analytische Halbgruppe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Eine analytische Halbgruppe, manchmal auch holomorphe Halbgruppe genannt, ist eine Familie \left(T(z)\right)_{z\in \Sigma_\delta} von beschränkten linearen Operatoren von einem reellen oder komplexen Banachraum X in sich, wobei \Sigma_\delta:= \{\lambda\in\C\setminus\{0\}: |\operatorname{arg}\lambda|<\delta\} \cup \{0\} ein komplexwertiger Sektor und \delta\in(0,\pi/2] ein Winkel ist. Analytische Halbgruppen sind eine Spezialform der stark stetigen Halbgruppen , welche in der Analysis benutzt werden, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen partieller Differentialgleichungen wie etwa der Wärmeleitungsgleichung zu beweisen.

Interessant ist die Untersuchung der analytische Halbgruppen vor allem wegen ihrer Glättungseigenschaften: So ist etwa die Lösung des zugeordneten Cauchyproblems stets unendlich oft differenzierbar in t und liegt für positive stets t in der Domain des Generators.

Definition[Bearbeiten]

Eine Familie T=\left(T(z)\right)_{z\in \Sigma_\delta}\subset \mathcal L(X) wird analytische Halbgruppe genannt, falls für einen Winkel \delta\in(0,\pi/2] folgendes gilt:

  • T(0)=I.
  • T(z_1+z_2)=T(z_1)T(z_2) für alle z_1,z_2\in \Sigma_\delta.
  • die Abbildung z\mapsto T(z) ist auf \Sigma_\delta analytisch.
  • die Abbildung z\mapsto T(z) ist auf \Sigma_{\delta'}\cup\{0\} für \delta'\in(0,\delta) stark stetig.

Falls zusätzlich \|T(z)\| für jedes \delta'\in(0,\delta) in \Sigma_{\delta'} beschränkt ist, wird \left(T(z)\right)_{z\in \Sigma_\delta} beschränkte analytische Halbgruppe genannt (aber: eine beschränkte stark stetige Halbgruppe, die analytisch ist, ist im Allgemeinen keine beschränkte analytische Halbgruppe).

Infinitesimaler Erzeuger[Bearbeiten]

Analog zu stark stetigen Halbgruppen betrachtet man den Operator A mit

Ax:=\lim_{\Sigma_\delta\ni z\rightarrow 0}\frac{T(z)x-x}z

und

D(A):=\{x\in X: \lim_{\Sigma_\delta\ni z\rightarrow 0}\frac{T(z)x-x}z \ \mathrm{existiert} \}.

Der Operator wird (infinitesimaler) Erzeuger oder Generator genannt und ist dicht definiert und abgeschlossen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Das Spektrum eines Erzeugers A
  • Erzeugt A eine analytische Halbgruppe T, dann
    • existieren M\geq 1 und \omega\geq 0 mit \|T(z)\|\leq Me^{\omega\mathrm{Re}\,z} für alle z\in\Sigma_\delta. Ist die Halbgruppe beschränkt, kann \omega=0 gewählt werden.
    • existiert ein \omega>0, so dass A+\omega eine beschränkte analytische Halbgruppe erzeugt.
    • gilt T(t)X\subset D(A) für alle t>0.
    • stimmt die inverse Laplace-Transformation der Resolvente mit der Halbgruppe überein, also T(t)=\frac1{2\pi i}\int_\gamma e^{\lambda t} R(\lambda,A)\mathrm{d}\lambda für t\geq 0 und einem geeigneten Weg \gamma in \C.
  • Erzeugt A eine beschränkte analytische Halbgruppe T, dann enthält die Resolventenmenge \rho(A) den Sektor \Sigma_{\pi/2+\delta'} für alle \delta'\in(0,\delta).
  • A erzeugt genau dann eine beschränkte analytische Halbgruppe, wenn A eine stark stetige Halbgruppe T erzeugt mit \operatorname{rg}(T(t))\subset D(A) für alle t>0 und \sup_{t>0} \|tAT(t)\|<\infty (reelle Charakterisierung).

Beispiele[Bearbeiten]

Das Cauchy-Problem[Bearbeiten]

Erzeugt A eine beschränkte analytische Halbgruppe, so wird das abstrakte Cauchy-Problem

\left\{\begin{array}{lll}
 u'(t)&=&A(u(t)) + f(t) \ \mathrm{f\ddot{u}r\ alle}\ t>0\\
 u(0)&=&u_0
\end{array}\right.

für den Anfangswert u_0 \in X und einer Hölder-stetigen Funktion f\in C^\alpha([0, \infty); X) durch die Funktion

u(t) := T(t)u_0 + \int_0^t T(t-s)f(s){\rm d}s

gelöst.

Literatur[Bearbeiten]

  • Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, New York NY 2000, ISBN 0-387-98463-1 (Graduate Texts in Mathematics 194).
  • Tosio Kato: Perturbation Theory for Linear Operators. Corrected printing of the 2nd edition. Springer, Berlin 1980, ISBN 0-387-07558-5 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 132), (Reprint. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58661-X (Classics in mathematics)).
  • Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1983, ISBN 3-540-90845-5 (Applied Mathematical Sciences 44).