Benutzer:Sigbert/Liste statistischer Tests

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Hinweise für alle Tests

Testtyp
Parametrischer Test
Nichtparametrischer Test

$X_{i}$ und $X_{ij}$ sind Stichprobenvariablen für eine oder mehrere Grundgesamtheiten/Gruppen. Wenn nicht anders angegeben sind sie innerhalb einer Grundgesamtheiten/Gruppe als unabhängig und identisch verteilt vorausgesetzt.

Zur Notation:

• $\forall i:$ bedeutet "Für alle $i$ gilt"
• $\exists i:$ bedeutet "Es gibt min. ein $i$ für das gilt"

Tests auf Lageparameter

In der Grundgesamtheit/den Grundgesamtheiten:

• Mittelwerte: $\mu$ und $\mu _{i}$
• Mediane: ${\tilde {x}}$ und ${\tilde {x}}_{i}$
• Varianzen: $\sigma$ und $\sigma _{i}$
• Verteilungsfunktionen: $F(x)$ und $F_{i}(x)$

Vorgegebene reelle Zahlen:

• $\mu _{0}$ und $\omega _{0}$

Test	Hypothesen		Voraussetzung(en)
	$H_{0}$	$H_{1}$
Einstichproben Tests
Einstichproben Gauß-Test	$\mu =\mu _{0}\,$	$\mu \neq \mu _{0}$	Stichprobenvariablen $X_{i}$ sind normal verteilt oder ${\bar {X}}$ approximativ normalverteiltZGS, $Var(X_{i})=\sigma ^{2}$ bekannt
	$\mu \leq \mu _{0}$	$\mu >\mu _{0}\,$
	$\mu \geq \mu _{0}$	$\mu <\mu _{0}\,$
Einstichproben t-Test	$\mu =\mu _{0}\,$	$\mu \neq \mu _{0}$	Stichprobenvariablen $X_{i}$ sind normal verteilt oder ${\bar {X}}$ approximativ normalverteiltZGS, $Var(X_{i})=\sigma ^{2}$ unbekannt
	$\mu \leq \mu _{0}$	$\mu >\mu _{0}\,$
	$\mu \geq \mu _{0}$	$\mu <\mu _{0}\,$
Einstichproben Vorzeichentest	${\tilde {x}}=\omega _{0}\,$	${\tilde {x}}\neq \omega _{0}$	Stichprobenvariablen $X_{i}$ sind beliebig verteilt
	${\tilde {x}}\leq \omega _{0}$	${\tilde {x}}>\omega _{0}\,$
	${\tilde {x}}\geq \omega _{0}$	${\tilde {x}}<\omega _{0}\,$
Zweistichproben Tests für unabhängige Stichproben
Zweistichproben Gauß-Test	$\mu _{1}-\mu _{2}=\omega _{0}\,$	$\mu _{1}-\mu _{2}\neq \omega _{0}$	Die Stichprobenvariablen $X_{i,1}$ und $X_{i,2}$ sind normal verteilt oder ${\bar {X}}_{i}$ approximativ normalverteiltZGS, $Var(X_{i,j})=\sigma _{j}^{2}$ (j=1,2) bekannt
	$\mu _{1}-\mu _{2}\leq \omega _{0}$	$\mu _{1}-\mu _{2}>\omega _{0}\,$
	$\mu _{1}-\mu _{2}\geq \omega _{0}$	$\mu _{1}-\mu _{2}<\omega _{0}\,$
Zweistichproben t-Test	$\mu _{1}-\mu _{2}=\omega _{0}\,$	$\mu _{1}-\mu _{2}\neq \omega _{0}$	Die Stichprobenvariablen $X_{i,1}$ und $X_{i,2}$ sind normal verteilt oder ${\bar {X}}_{i}$ approximativ normalverteiltZGS, $Var(X_{i,j})=\sigma ^{2}$ unbekannt
	$\mu _{1}-\mu _{2}\leq \omega _{0}$	$\mu _{1}-\mu _{2}>\omega _{0}\,$
	$\mu _{1}-\mu _{2}\geq \omega _{0}$	$\mu _{1}-\mu _{2}<\omega _{0}\,$
Welch-Test	$\mu _{1}-\mu _{2}=\omega _{0}\,$	$\mu _{1}-\mu _{2}\neq \omega _{0}$	Die Stichprobenvariablen $X_{i,1}$ und $X_{i,2}$ sind normal verteilt oder ${\bar {X}}_{i}$ approximativ normalverteiltZGS, $Var(X_{i,j})=\sigma _{j}^{2}$ unbekannt, $\sigma _{1}\neq \sigma _{2}$
	$\mu _{1}-\mu _{2}\leq \omega _{0}$	$\mu _{1}-\mu _{2}>\omega _{0}\,$
	$\mu _{1}-\mu _{2}\geq \omega _{0}$	$\mu _{1}-\mu _{2}<\omega _{0}\,$
Wilcoxon-Mann-Whitney-Test	$a=0\,$	$a\neq 0$	Für die Verteilungsfunktionen der beiden Stichprobenvariablen $X_{i,1}$ und $X_{i,2}$ gilt $F_{1}(x-a)=F_{2}(x)$. Im Fall $a=0$ folgt $F_{1}(x)=F_{2}(x)$ und insbesondere sind dann die Mittelwerte und Mediane gleich.
	$a\leq 0$	$a>0\,$
	$a\geq 0$	$a<0\,$
Zweistichproben Tests für abhängige Stichproben
Zweistichproben Gauß-Test	$\mu _{1}-\mu _{2}=\omega _{0}\,$	$\mu _{1}-\mu _{2}\neq \omega _{0}$	Die Zufallsvariablen $D_{i}=X_{i,1}-X_{i,2}$ sind normal verteilt oder ${\bar {D}}$ approximativ normalverteiltZGS, $Var(D_{i})=\sigma _{D}^{2}$ ist bekannt
	$\mu _{1}-\mu _{2}\leq \omega _{0}$	$\mu _{1}-\mu _{2}>\omega _{0}\,$
	$\mu _{1}-\mu _{2}\geq \omega _{0}$	$\mu _{1}-\mu _{2}<\omega _{0}\,$
Zweistichproben t-Test	$\mu _{1}-\mu _{2}=\omega _{0}\,$	$\mu _{1}-\mu _{2}\neq \omega _{0}$	Die Zufallsvariablen $D_{i}=X_{i,1}-X_{i,2}$ sind normal verteilt oder ${\bar {D}}$ approximativ normalverteiltZGS, $Var(D_{i})=\sigma _{D}^{2}$ unbekannt
	$\mu _{1}-\mu _{2}\leq \omega _{0}$	$\mu _{1}-\mu _{2}>\omega _{0}\,$
	$\mu _{1}-\mu _{2}\geq \omega _{0}$	$\mu _{1}-\mu _{2}<\omega _{0}\,$
Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test	${\tilde {x}}_{1}={\tilde {x}}_{2}\,$	${\tilde {x}}_{1}\neq {\tilde {x}}_{2}$	Die Zufallsvariablen $D_{i}=X_{i,1}-X_{i,2}$ sind symmetrisch verteilt.
	${\tilde {x}}_{1}\leq {\tilde {x}}_{2}$	${\tilde {x}}_{1}>{\tilde {x}}_{2}\,$
	${\tilde {x}}_{1}\geq {\tilde {x}}_{2}$	${\tilde {x}}_{1}<{\tilde {x}}_{2}\,$
Multistichproben Tests für unabhängige Stichproben
Einfaktorielle ANOVA	$\mu _{1}=...=\mu _{p}\,$	$\exists i\neq j:\mu _{i}\neq \mu _{j}$	Stichprobenvariablen $X_{i,j}$ sind normal verteilt und $Var(X_{i,j})=\sigma ^{2}$
Kruskal-Wallis-Test
Jonckheere-Terpstra-Test
Umbrella-Test
Mehrfaktorielle ANOVA
Scheirer-Ray-Hare-Test
Median-Test
Multistichproben Tests für abhängige Stichproben
Quade-Test
Friedman-Test

^ZGS aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes

Tests auf Streuungsparameter

In der Grundgesamtheit/den Grundgesamtheiten:

• Mittelwerte: $\mu$ und $\mu _{i}$
• Varianzen: $\sigma$ und $\sigma _{i}$
• Varianz-Kovarianz-Matrix: $\Sigma$

Vorgeben

• Einheitsmatrix: $I_{p}$

Test	Hypothesen		Voraussetzung
	$H_{0}$	$H_{1}$
F-Test	$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$	$\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}$	Es gilt für die Stichprobenvariablen: $X_{i,1}\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})$ und $X_{i,2}\sim N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$
Bartlett-Test	$\sigma _{1}^{2}=...=\sigma _{p}^{2}$	$\exists i\neq j:\sigma _{i}^{2}\neq \sigma _{j}^{2}$	Stichprobenvariablen $X_{i,j}$ sind unabh., normal verteilt und $Var(X_{i,j})=\sigma _{j}^{2}$
Levene-Test	$\sigma _{1}^{2}=...=\sigma _{p}^{2}$	$\exists i\neq j:\sigma _{i}^{2}\neq \sigma _{j}^{2}$	Stichprobenvariablen $X_{i,j}$ beliebig verteilt und $Var(X_{i,j})=\sigma _{j}^{2}$
Bartlett-Test auf Spherizität	$\Sigma =I_{p}$	$\Sigma \neq I_{p}$	$(X_{i,1},...,X_{i,p})$ sind multivariat normal verteilt

Tests auf Zusammenhangs- und Assoziationsparameter

In der Grundgesamtheit:

• Bravais-Pearson Korrelationskoeffizient: $\rho _{1,2}$

Vorgegebene reelle Zahlen:

• $\rho _{0}$

Test	Hypothesen		Voraussetzung
	$H_{0}$	$H_{1}$
Tests für Zusammenhangsparameter für unabhängige Stichproben
Steigers Z-Test	$\rho _{1,2}=\rho _{0}\,$	$\rho _{1,2}\neq \rho _{0}$	$X_{1}$ und $X_{2}$ sind bivariat normalverteilt
	$\rho _{1,2}\leq \rho _{0}$	$\rho _{1,2}>\rho _{0}\,$
	$\rho _{1,2}\geq \rho _{0}$	$\rho _{1,2}<\rho _{0}\,$
Tests für Assoziationsparameter für unabhängige Stichproben
Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest	$X_{1}$ und $X_{2}$ sind unabhängig	$X_{1}$ und $X_{2}$ sind abhängig	$X_{1}$ und $X_{2}$ sind diskret und stetig klassiert
Exakter Test nach Fisher	$X_{1}$ und $X_{2}$ sind unabhängig	$X_{1}$ und $X_{2}$ sind abhängig	$X_{1}$ und $X_{2}$ sind dichotom
Tests für Assoziationsparameter für abhängige Stichproben
McNemar-Test			$X_{1}$ und $X_{2}$ sind dichotom

Tests auf Verteilungen

In der Grundgesamtheit/den Grundgesamtheiten:

• Wahrscheinlichkeits- oder Dichtefunktionen: $f(x)$ und $f_{i}(x)$
• Verteilungsfunktionen: $F(x)$ und $F_{i}(x)$

Vorgegebene

• Verteilungsfunktion: $F_{0}(x)$

Test	Hypothesen		Voraussetzung
	$H_{0}$	$H_{1}$
Tests auf beliebige Verteilungen
Chi-Quadrat-Anpassungstest	Für alle i: $f(x_{i})=f_{0}(x_{i})$	Es gibt min. ein $x_{i}$ mit $f(x_{i})\neq f_{0}(x_{i})$	$X$ diskret oder stetig klassiert
Anderson-Darling-Test	Für alle $x$: $F(x)=F_{0}(x)$	Es gibt min. ein $x$: $F(x)\neq F_{0}(x)$	$X$ stetig
Kolmogorow-Smirnow-Test	Für alle $x$: $F(x)=F_{0}(x)$	Es gibt min. ein $x$: $F(x)\neq F_{0}(x)$	$X$ stetig
Cramér-von-Mises-Test	Für alle $x$: $F(x)=F_{0}(x)$	Es gibt min. ein $x$: $F(x)\neq F_{0}(x)$	$X$ stetig
Tests auf Normalverteilung
Jarque-Bera-Test	$X$ ist normal verteilt	$X$ ist nicht normal verteilt	$X$ stetig
Lilliefors-Test	$X$ ist normal verteilt	$X$ ist nicht normal verteilt	$X$ stetig
Shapiro-Wilk-Test	$X$ ist normal verteilt	$X$ ist nicht normal verteilt	$X$ stetig
Tests zum Vergleich der Verteilungen von zwei Stichproben
Zweistichproben Kolmogorow-Smirnow-Test	Für alle $x$: $F_{1}(x)=F_{2}(x)$	Es gibt min. ein $x$: $F_{1}(x)\neq F_{2}(x)$	$X$ stetig
Zweistichproben Cramér-von-Mises-Test	Für alle $x$: $F_{1}(x)=F_{2}(x)$	Es gibt min. ein $x$: $F_{1}(x)\neq F_{2}(x)$	$X$ stetig
Tests zum Vergleich der Verteilungen von mehreren Stichproben
Chi-Quadrat-Homogenitätstest	Für alle i: $f_{j}(x_{i})=f(x_{i})$	Es gibt min. ein $x_{i}$ mit $f_{j}(x_{i})\neq f(x_{i})$	$X$ diskret oder stetig klassiert

Tests in der Regressions- und Zeitreihenanalyse

• Für die linearen Regressionmodelle gilt:
  • $Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i,1}+...+\beta _{p}x_{i,p}+\epsilon _{i}\,$ bzw.
  • $Y_{ij}=\beta _{0j}+\beta _{1j}x_{ij,1}+...+\beta _{pj}x_{ij,p}+\epsilon _{ij}\,$
• $\rho$ ist die Autokorrelation in der Grundgesamtheit.

Test	Hypothesen		Voraussetzung
	$H_{0}$	$H_{1}$
Tests in der linearen Regression
F-Test aller Regressionskoeffizienten	$R^{2}=0\,$ oder für alle $i$ gilt $\beta _{i}=0\,$	$R^{2}>0$ oder für min. ein $i$ gilt $\beta _{i}\neq 0$	Für die Residuen gilt: $\epsilon _{i}\sim N(0,\sigma _{\epsilon })\,$. Der Test ist ein Spezialfall der einfaktoriellen ANOVA.
t-Test eines Regressionskoeffizienten	$\beta _{i}=0\,$	$\beta _{i}\neq 0$	Für die Residuen gilt: $\epsilon _{i}\sim N(0,\sigma _{\epsilon })\,$.
Goldfeld-Quandt-Test‎ auf Heteroskedastizität	$\sigma _{\epsilon _{1}}^{2}=\sigma _{\epsilon _{2}}^{2}$	$\sigma _{\epsilon _{1}}^{2}\neq \sigma _{\epsilon _{2}}^{2}$	Für die beiden Residuengruppen gilt: $\epsilon _{ij}\sim N(0,\sigma _{\epsilon _{j}})\,$ (j=1,2).
Chow-Test auf Strukturbrüche	$\forall i:\beta _{i1}=\beta _{i2}$	$\exists i:\beta _{i1}\neq \beta _{i2}$	Für die Residuen gilt: $\epsilon _{i}\sim N(0,\sigma _{\epsilon })\,$ und für die Residuen der Teilregressionen gilt: $\epsilon _{ij}\sim N(0,\sigma _{\epsilon _{j}})\,$ (j=1,2).
Tests in der Zeitreihenanalyse
Durbin-Watson-Test auf Autokorrelation	$\rho =0\,$	$\rho \neq 0$	Für die Residuen gilt: $\epsilon _{t}\sim N(0,\sigma _{\epsilon })\,$.
Box-Pierce-Test auf Autokorrelation	$\rho _{1}=...=\rho _{K}=0$	für min. ein $i$ gilt $\rho _{i}\neq 0$	Länge der Zeitreihe mehr als $100$ Beobachtungen.
Ljung-Box-Test auf Autokorrelation	$\rho _{1}=...=\rho _{K}=0$	für min. ein $i$ gilt $\rho _{i}\neq 0$

Verschiedene Tests

In der Grundgesamtheit/den Grundgesamtheiten:

• Anteilswerte: $\pi \,$

Vorgegebene reelle Zahl:

• $\pi _{0}\,$

Test	Hypothesen		Voraussetzung
	$H_{0}$	$H_{1}$
Tests auf Anteilswert
Binomialtest	$\pi =\pi _{0}\,$	$\pi \neq \pi _{0}$	$X$ ist dichotom
	$\pi \leq \pi _{0}$	$\pi >\pi _{0}\,$
	$\pi \geq \pi _{0}$	$\pi <\pi _{0}\,$
Tests aus der Maximum-Likelihood-Theorie
Likelihood-Quotienten-Test
Wald-Test
Test auf Zufälligkeit
Run-Test