Beschränkte Variation

Beispiele für Funktionen unbeschränkter Variation

Beispiele für Funktionen beschränkter Variation

In der Analysis ist eine Funktion von beschränkter Variation (beschränkter Schwankung), wenn ihre totale Variation (totale Schwankung) endlich ist, sie also in gewisser Weise nicht beliebig stark oszilliert. Diese Begriffe hängen eng mit der Stetigkeit und der Integrierbarkeit von Funktionen zusammen.

Der Raum aller Funktionen von beschränkter Variation auf dem Gebiet $\Omega$ wird mit $BV(\Omega )$ bezeichnet.

Reelle Funktionen

Definition

Die totale Variation einer reellwertigen Funktion $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist, ist das Supremum

$\sup _{P}\sum _{i}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,$

wobei dieses Supremum über alle möglichen Partitionen $P=\{x_{1},\dotsc ,x_{n}\mid x_{1}<\dotsb <x_{n}\}$ des Intervalls $[a,b]$ gebildet wird. Das hier angegebene $n$ hängt von $P$ ab.

Genau die stetigen Funktionen von beschränkter Variation sind Riemann-Stieltjes-integrierbar. Deshalb kann $BV[a,b]$ mit einer Halbnorm ausgestattet werden:

$n(f)=\sup _{\varphi }\int f\,{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}$.

Dieses Supremum wird über alle Funktionen $\mathrm {\varphi }$ mit kompaktem Träger und Funktionswerten im Intervall $[-1,1]$ gebildet.

Die Halbnorm stimmt mit dem Supremum, das die beschränkte Variation definiert, überein.

Beispiel

Beispiel für unbeschränkte Variation

Ein einfaches Beispiel für eine unbeschränkte Variation ist die Funktion $\textstyle y=\sin({\frac {1}{x}})$ in der Nähe von $x=0$. Es ist anschaulich einsichtig, dass der Wert des Quotienten ${\tfrac {1}{x}}$ für $x\to 0$ mit zunehmender Annäherung an 0 immer schneller gegen ∞ anwachsen wird, und damit der Sinus dieses Werts dabei unendlich viele Schwingungen durchlaufen wird. Dies zeigt das Bild rechts.

Die Funktion

$f(x)={\begin{cases}0,&{\text{falls }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{falls }}x\neq 0\end{cases}}$

ist ebenfalls nicht von beschränkter Schwankung im Intervall [0, 1], im Gegensatz zur Funktion:

$g(x)={\begin{cases}0,&{\text{falls }}x=0\\x^{2}\sin(1/x),&{\text{falls }}x\neq 0\end{cases}}$.

Hier wird die Variation des Sinusterms, die für $x\to 0$ stark zunimmt, durch die zusätzliche Potenz genug gedämpft.

Erweiterungen

Diese Definition kann auch für komplexwertige Funktionen verwendet werden.

BV-Funktionen in mehreren Variablen

Funktionen von beschränkter Variation, oder $BV$-Funktionen, sind Funktionen, deren distributionelle Ableitungen endliche vektorwertige Radonmaße sind. Genauer:

Definition

Sei $\Omega$ eine offene Teilmenge von $\mathbb {R} ^{n}$. Eine Funktion $u\in L^{1}(\Omega )$ ist von beschränkter Variation oder Element von $BV(\Omega )$, wenn ihre distributionelle Ableitung ein endliches, signiertes, vektorwertiges Radonmaß ist. D.h. es existiert $Du\in {\mathcal {M}}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$, so dass

$\int _{\Omega }u(x)\,\operatorname {div} {\varphi }(x)\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle \varphi ,Du(x)\rangle \qquad {\text{für alle }}{\varphi }\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$

gilt.

Zusammenhang mit rektifizierbaren Wegen

Eine Funktion $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ kann auch als Weg im metrischen Raum $\mathbb {R}$ aufgefasst werden. Es gilt, dass $f$ genau dann von beschränkter Variation ist, wenn $f$ ein rektifizierbarer Weg ist, also eine endliche Länge hat.

Zusammenhang mit der Maßtheorie

In der Maßtheorie sind die reell-/komplexwertigen Funktionen von beschränkter Variation genau die Verteilungsfunktionen von signierten/komplexen Borelmaßen auf $\mathbb {R}$.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 5. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49977-0. 
• Gerald Teschl: Topics in Real and Functional Analysis. 2011 (freie Onlineversion). 
• Luigi Ambrosio, Nicola Fusco and Diego Pallara: Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems. Oxford 2000.