Vektorielles Maß

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Ein vektorielles Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie. Er stellt eine Verallgemeinerung des Maßbegriffes dar: Das Maß ist nicht mehr reellwertig, sondern vektorwertig. Vektormaße werden unter anderem in der Funktionalanalysis benutzt (Spektralmaß).

Definition[Bearbeiten]

Ein vektorielles Maß ist eine endlich oder abzählbar-additive E-wertige Mengenfunktion, das heißt:

Es seien (\Omega,\Sigma) ein Messraum (also eine nichtleere Menge und eine σ-Algebra) und E ein Banachraum mit Norm \|\,\cdot\,\|. Eine E-wertige Mengenfunktion auf \Sigma ist eine Funktion \nu\colon\Sigma\rightarrow E mit \nu(\varnothing)=0.

Die Funktion \nu heißt endlich additiv, falls \nu(A_1\cup\cdots\cup A_n)=\nu(A_1)+\cdots+\nu(A_n) für endlich viele, paarweise disjunkte Mengen A_1,\ldots,A_n aus \Sigma gilt.

Die Funktion \nu heißt abzählbar-additiv (auch \sigma-additiv), falls

\nu\bigg(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n\bigg)=\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)

für jede Folge (A_n)_{n\in \N} paarweise disjunkter Mengen A_n\in \Sigma, wobei die Konvergenz der Summe auf der rechten Seite im Banachraum E zu verstehen ist. Da das für jede Folge paarweise disjunkter Mengen aus \Sigma gelten soll und da eine beliebige Umordnung einer solchen Folge deren Vereinigung und damit die linke Seite obiger Formel nicht ändert, muss auch die Summe auf der rechten Seite bei Umordnungen unverändert bleiben; das heißt, es liegt automatisch unbedingte Konvergenz vor.

Totale Variation[Bearbeiten]

Analog zu den signierten Maßen kann man ebenfalls die totale Variation eines vektoriellen Maßes einführen: Es sei \nu eine E-wertige Mengenfunktion. Die totale Variation von \nu ist die Funktion

\|\nu\|\colon\Sigma\rightarrow [0,\infty],

die durch

\|\nu\|(A):=\sup\bigg\{\sum_{n=1}^{\infty}\|\nu(A_n)\|\,|\,(A_n)_{n\in\mathbb{N}}\text{ ist messbare Zerlegung von } A\bigg\}

erklärt ist. Hierbei sind A eine Menge aus \Sigma und eine messbare Zerlegung von A eine Partition von A, die aus Mengen aus \Sigma besteht. Man kann zeigen, dass die totale Variation von \nu ein endlich bzw. abzählbar additives, positives Maß ist, wenn \nu endlich bzw. abzählbar additiv ist. Ein vektorielles Maß ist von beschränkter Variation, wenn seine totale Variation endlich ist, das heißt, wenn \|\nu\|(\Omega) < \infty. Manche Autoren, z. B. Serge Lang[1], verstehen unter vektoriellen Maßen nur solche von beschränkter Variation. Wir folgen hier der Terminologie von Diestel-Uhl [2], in der vektorielle Maße nicht von beschränkter Variation sein müssen. Es gilt folgender Satz[3]:

  • Ist der Banachraum E endlich-dimensional, so ist die totale Variation von \nu ein endliches Maß, das heißt \nu ist von beschränkter Variation.

In unendlich-dimensionalen Banachräumen ist ein vektorielles Maß nicht notwendig von beschränkter Variation. Als Beispiel sei (\Omega,\Sigma) die Halbgerade \R_0^+=[0,\infty) mit den Borelmengen, E sei der Folgenraum \ell^2. Für A\in\Sigma sei \nu(A) := (\frac{1}{n}\lambda(A\cap[n-1,n]))_{n\in \N} \in \ell^2, wobei \lambda das Lebesguemaß auf [0,\infty) sei. Dann ist \nu ein vektorielles Maß mit Werten in \ell^2, das nicht von beschränkter Variation ist[4].

Der Raum M^1(\Omega,\Sigma, E) der abzählbar additiven Maße beschränkter Variation mit Werten im Banachraum E ist offenbar ein Vektorraum. Mit der totalen Variation \|\nu\|(\Omega) als Norm wird M^1(\Omega,\Sigma, E) zu einem Banachraum.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Jedes komplexe bzw. signierte Maß ist ein vektorielles Maß.
  • Jedes Spektralmaß definiert ein endlich additives vektorielles Maß.
  • Es seien \Omega das Einheitsintervall [0,1] und \Sigma die \sigma-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen von \Omega. Für A in \Sigma bezeichne \nu(A):=\chi_A die charakteristische Funktion von A. Je nach Wahl des Wertebereichs werden hierdurch unterschiedliche vektorielle Maße definiert:
    • Die Funktion \nu\colon\Sigma\rightarrow L^{\infty}[0,1] ist ein endlich additives vektorielles Maß, das nicht abzählbar additiv und nicht von beschränkter Variation ist.
    • Die Funktion \nu\colon\Sigma\rightarrow L^1[0,1] ist ein abzählbar additives vektorielles Maß.

Der Satz von Radon-Nikodym[Bearbeiten]

Sei (\Omega,\Sigma) ein Messraum, \mu ein positives Maß auf \Sigma, E ein Banachraum und f\in \mathcal{L}^1(\mu,E). Dann ist durch

 \mu_f(A)\,:=\,\int_A f \mathrm{d}\mu

ein vektorielles Maß

\mu_f \in M^1(\Omega,\Sigma,E) mit \|\mu_f\|=\|f\|_1

definiert[5].

Ein vektorielles Maß \nu heißt \mu-stetig oder absolut stetig gegen \mu, falls aus A\in \Sigma und \mu(A)=0 stets \nu(A)=0\in E folgt. Leicht zeigt man, dass das oben definierte \mu_f absolut stetig gegen \mu ist. Sei

M^1(\mu,E):= \{\nu \in M^1(\Omega,\Sigma,E);\, \nu \mbox{ absolut stetig gegen } \mu\}.

Dann ist M^1(\mu,E) ein abgeschlossener Unterraum von M^1(\Omega,\Sigma,E). Der Satz von Radon-Nikodym befasst sich mit der Frage, ob jedes \mu-stetige vektorielle Maß bereits von der Form \mu_f ist. In Verallgemeinerung des klassischen Satzes von Radon-Nikodym erhält man: [6]

Sei \mu ein σ-endliches, positives Maß auf dem Messraum (\Omega,\Sigma), E sei ein Hilbertraum. Dann ist die Abbildung L^1(\mu, E) \rightarrow M^1(\mu, E), f \mapsto \mu_f ein isometrischer Isomorphismus. Insbesondere ist jedes \mu-stetige vektorielle Maß aus M^1(\Omega,\Sigma,E) von der Form \mu_f, wobei f\in \mathcal{L}^1(\mu,E) \mu-eindeutig bestimmt ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Serge Lang: Real Analysis (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1969, ISBN 0-201-04179-0.
  2. J. Diestel, J. J. Uhl Jr.: Vector measures. 1977.
  3. Serge Lang: Real Analysis (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1969, ISBN 0-201-04179-0, XI, 4.5. Theorem 8.
  4. Serge Lang: Real Analysis (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1969, ISBN 0-201-04179-0, XI, 4.5.
  5. Serge Lang: Real Analysis (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1969, ISBN 0-201-04179-0, XI, 4.5, Theorem 9.
  6. Serge Lang: Real Analysis (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1969, ISBN 0-201-04179-0, XI, 4.5, Korollar2 zu Theorem 10.

Literatur[Bearbeiten]

  • Joseph Diestel, John J. Uhl Jr.: Vector measures (= Mathematical Surveys. Bd. 15). American Mathematical Society, Providence RI 1977, ISBN 0-821-81515-6.
  • Serge Lang: Real and Functional Analysis (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 142). 3rd edition. Springer, New York NY u. a. 1993, ISBN 0-387-94001-4.
  • Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. World Scientific Publishing Company, River Edge NJ u. a. 2002, ISBN 981-238-038-8.