Butterworth-Filter

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Butterworth-Filter sind kontinuierliche Frequenzfilter, die so ausgelegt sind, dass der Frequenzgang unterhalb der Grenzfrequenz ωg möglichst lange horizontal verläuft. Erst kurz vor dieser Grenzfrequenz soll die Übertragungsfunktion abnehmen und in die Verstärkungsabnahme von n·20dB pro Frequenzdekade übergehen (n ist die Ordnung des Butterworth-Filters). Die einfachste Form des Butterworth-Filter 1. Ordnung stellt das RC-Glied dar.

Das Bode-Diagramm eines Butterworth-Tiefpassfilters erster Ordnung

Die Dämpfung bei der Grenzfrequenz beträgt ca. 3dB, das heißt ein Signal mit der Grenzfrequenz wird auf das \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071 -fache des ursprünglichen Signals abgeschwächt. Butterworth-Filter haben sowohl im Durchlassbereich als auch im Sperrbereich einen gleichmäßigen (glatten) Verlauf der Übertragungsfunktion.

Benannt wurde das Butterworth-Filter nach dem britischen Physiker Stephen Butterworth, der diese Art von Filter erstmals beschrieb [1].

Butterworth-Tiefpassfilter der Ordnungen 1 bis 5
Beispiel: Butterworth-Filter 2. Ordnung Tiefpass, realisiert als Sallen-Key-Filter.

Übertragungsfunktion[Bearbeiten]

Daraus ergibt sich als Forderung an die Übertragungsfunktion:


\left|\underline{A}\right|^2 = \frac{A_0^2}{1+ k_{2n} \Omega ^{2n}}

mit

A_0 Gleichspannungsverstärkung
\Omega = \frac{f}{f_g} auf Grenzfrequenz normierte Frequenz
n Ordnung des Filters

Durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Übertragungsfunktion ergeben sich die Koeffizienten des Butterworth-Filters.

Koeffizienten[Bearbeiten]

Bringt man die Übertragungsfunktion in die normierte Form (P = \frac {p}{\omega_0}):


A[P] = \frac{A_0}{\prod_{i} (1 + a_i P + b_i P^2)}

ergeben sich für die Koeffizienten  a_i und  b_i folgende Beziehungen:

Ordnung n des Filters gerade:

i = 1 \ldots \frac {n}{2}
 a_i = 2 \cos \frac{(2 i - 1) \pi}{2 n}
 b_i = 1 \

Ordnung n des Filters ungerade:

i = 2 \ldots \frac{(n + 1)}{2}
 a_1 = 1 \
 b_1 = 0 \
 a_i = 2 \cos \frac{(i - 1) \pi}{n}
 b_i = 1 \

Eigenschaften[Bearbeiten]

Das Butterworth-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

  • monotoner Amplitudengang sowohl im Durchlass- als auch im Sperrbereich
  • schnelles Abknicken bei der Grenzfrequenz, verbessert sich mit der Ordnung
  • beträchtliches Überschwingen bei der Sprungantwort, verschlechtert sich mit der Ordnung
  • der Phasenverlauf besitzt eine kleine Nichtlinearität
  • relativ frequenzabhängige Gruppenlaufzeit
  • großer Realisierungsaufwand bei hoher Ordnung

Filterrealisierung[Bearbeiten]

Butterworth Cauer 1 form.PNG

Das Butterworth-Filter mit einer gegebenen Übertragungsfunktion kann in folgender Form realisiert werden:

Das k-te Element ist gegeben mit:

C_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ] für k ungerade
L_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ] für k gerade

In der digitalen Signalverarbeitung können Butterworth-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden. Die Kaskadierung zweier Butterworth-Filter n-ter Ordnung ergibt einen Linkwitz-Riley-Filter 2n-ter Ordnung.

Normalisierte Butterworth-Polynome[Bearbeiten]

Die Butterworth-Polynome werden normalerweise als komplex konjugierte Pole s1 und sn geschrieben. Die Polynome sind zusätzlich um den Faktor ωc=1 normalisiert. Die normalisierten Butterworth-Polynome haben somit die folgende Form:

B_n(s)=\prod_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right] für n gerade
B_n(s)=(s+1)\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right] für n ungerade

Auf 4 Dezimalziffern genau lauten sie:

n Faktoren der Polynome B_n(s)
1 s+1
2 s^2+\sqrt{2}s+1
3 \left(s+1\right)\left(s^2+s+1\right)
4 \left(s^2+\sqrt{2-\sqrt{2}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2+\sqrt{2}}s+1\right)
5 \left(s+1\right)\left(s^2+\sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}s+1\right)
6 \left(s^2+\sqrt{2-\sqrt{3}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2+\sqrt{3}}s+1\right)
7 \left(s+1\right)\left(s^2+0{,}4450s+1\right)\left(s^2+1{,}2470s+1\right)\left(s^2+1{,}8019s+1\right)
8 \left(s^2+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}s+1\right)

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Stephen Butterworth: On the Theory of Filter Amplifiers In: Wireless Engineer, Band 7, 1930, Seiten 536–541

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]