Übertragungsfunktion

Ein lineares Übertragungsglied mit dem Eingangssignal u und Ausgangssignal y.

Eine Übertragungsfunktion beschreibt die Abhängigkeit des Ausgangssignals eines linearen, zeitinvarianten Systems (LZI-System) von dessen Eingangssignal im Bildbereich (Frequenzbereich, s-Bereich). Sie wird definiert als Quotient der transformierten Ausgangsgröße $Y(s)$ zur transformierten Eingangsgröße $U(s)$:

$G(s) = \frac {Y(s)} {U(s)}$

Die Übertragungsfunktion G(s) beschreibt das Eigenverhalten des Übertragungssystems vollständig und unabhängig von den Signalen. Eine Übertragungsfunktion ermöglicht es somit, das Ausgangssignal des Übertragungssystems aus dem Eingangssignal und der Übertragungsfunktion zu berechnen.

Dynamische zeitinvariante Systeme mit konzentrierten Energiespeichern (z.B. Feder-Masse-Dämpfer-Systeme oder elektrische L-, C- und R-Glieder) werden durch gewöhnliche Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Wenn sich das System im Ruhezustand befindet, haben die Energiespeicher den Wert Null. Unter dieser Bedingung, dass die Anfangsbedingungen der systembeschreibenden Differenzialgleichung zu dem betrachteten Zeitpunkt $t = 0$ gleich Null sind, ist die Übertragungsfunktion des Systems gleich der laplacetransformierten Differenzialgleichung des Systems. Durch Anwendung des Differentiationssatzes und des Integrationssatzes der Laplace-Transformation kann jeder Term der Differenzialgleichung einzeln transformiert und daraus die Übertragungsfunktion gebildet werden. Es können auch die Differenzialgleichungen einzelner Komponenten des Übertragungssystems transformiert werden und daraus die Übertragungsfunktion berechnet werden.

Die Übertragungsfunktion $G(s)$ kann immer als gebrochen-rationale Funktion geschrieben werden. Durch die Nullstellenbestimmung des Polynoms im Zähler und des Polynoms im Nenner (= Pole) lässt sich die Übertragungsfunktion in Linearfaktoren aufteilen. Bestimmte Eigenschaften des Systems lassen sich bereits ohne Rücktransformation in den Zeitbereich direkt aus dieser Darstellung der Übertragungsfunktion ableiten.

Im Zeitbereich betrachtet, haben die Terme $f(s)$ im Zähler ein differenzierendes Verhalten, im Nenner haben sie ein global verzögerndes oder integrierendes Verhalten. Dies gilt auch für die Behandlung linearer nicht-phasenminimaler, instabiler Übertragungssysteme mit Polen in der rechten s-Halbebene.

Der Übertragungsfunktion eines Systems $G_1(s)$ kann die transzendente Funktion des Totzeitgliedes $G_{Tt}(s)= e^{-s\, T_t}$ multiplikativ angehängt werden zu $G(s) = G_1(s)\, G_{Tt}(s)$. Diese Form der Übertragungsfunktion als Gesamtsystem ist nur für Frequenzgang-Analysen geeignet.

Vom Zeitbereich zum Bildbereich

Die Eingangssignale von Systemen werden durch die Eigenschaften des Systems in Ausgangsgrößen überführt. Ein lineares zeitinvariantes System (LZI-System) wird im Zeitbereich durch die Impulsantwort (auch Gewichtsfunktion) $g(t)$ vollständig beschrieben, die im Mehrgrößenfall eine Matrix der Impulsantworten ist. Man erhält den Ausgang $y(t)$ aus dem Eingang $u(t)$ durch Faltung der Gewichtsfunktion mit dem Eingangssignal,

$y(t) = g(t)*u(t) = \int_0^t g(\tau)u(t-\tau)d\tau$

wobei * den Faltungsoperator bezeichnet. Die Auswertung des Faltungsintegrals ist in vielen Fällen schwierig oder in geschlossener Form nicht möglich. Deshalb werden die Funktionen des Zeitbereichs in Funktionen des Bildbereichs mit Hilfe der Korrespondenztabelle transformiert.

Zeitbereich Abhängig von t		Bildbereich Abhängig von s
x(t)	$\circ\!\!-\!\!\bullet$	X(s)
y(t)	$\circ\!\!-\!\!\bullet$	Y(s)
g(t)	$\circ\!\!-\!\!\bullet$	G(s)

In diesem Falle werden Integral- und Differentialoperatoren auf einfache Multiplikationen und Divisionen reduziert. Dadurch vereinfacht sich die mathematische Beschreibung der Systeme in der Praxis deutlich.

$Y(s) = G(s) \cdot U(s)$

Nach den Regeln der Signalflussalgebra können einfache Systeme zu komplexen Systemen zusammengesetzt und mathematisch untersucht werden.

Die Ausgangsgröße im Zeitbereich ist durch die Rücktransformation mit Hilfe der Korrespondenztabelle möglich. Aber durch bestimmte Umformung der Übertragungsfunktion sind die Eigenschaften des Systems auch direkt im Bildberich ablesbar, wie es die nachfolgenden Kapitel beschreiben.

Varianten der Integraltransformationen

Für die Transformation in den Bildbereich sind für analoge (zeitkontinuierliche) Signale in folgender Tabelle beschriebene Integraltransformationen möglich. Beide Transformationen ähneln einander sehr stark. Sie haben jedoch im Detail unterschiedliche Eigenschaften

	einseitige Laplace-Transformation	Kontinuierliche Fourier-Transformation
Transformation	$F(s)=\int_{0}^\infty f(t) \cdot \mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t$	$F(s)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) \cdot \mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t = H(j\omega)$
Variable der Bildfunktion	$s = \delta + j \cdot \omega \,$	$s = j \cdot \omega \,$
Randbedingung	$f(t)= 0 \; \text{für} \; t < 0$	kontinuierliche, periodische Signale eingeschwungener Zustand
Bemerkungen	Aufgrund des um ein Dämpfungs- bzw. Verstärkungsglied (δ) erweiterten Transformationskern besitzt die Laplacetransformation einen stark erweiterten Bereich möglicher Signale, so dass ein im Vergleich zur Fouriertransformation erweitertes Spektrum an möglichen Signalen und Übertragungssystemen beschrieben werden kann. Wesentliche Einschränkungen sind die erforderliche Konvergenz der Transformation und die Beschränkung auf kausale Signale. Kausale Signale können nur für Zeiten t > 0 einen von Null verschiedenen Wert annehmen. Die Beschränkung auf kausale Signale kann durch Anwendung der zweiseitigen Laplacetransformation umgangen werden.	Die Fourier-Transformation transformiert sowohl kausale, als auch nichtkausale Signale. Nichtkausale Systeme reagieren auf die Änderung des Eingangssignals, noch bevor diese Änderungen tatsächlich stattgefunden haben. Obwohl in der Natur nur kausale Übertragungssysteme vorkommen, sind nichtkausale Systeme wie beispielsweise der ideale Tiefpass wichtige Elemente der Übertragungstheorie. Technisch lassen sich nichtkausale Systeme nur näherungsweise durch zeitverzögerte Ausgabe realisieren. Zur Übertragungsfunktion mit Fourier-Transformation siehe → Hauptartikel: Frequenzgang

Aus der Beziehung

$e^{-st}=e^{-\delta t} \cdot (\cos(\omega t)-j\sin(\omega t)) \,$

folgt, wenn $t \,$ die Maßeinheit der Zeit hat, dass die Maßeinheit der komplexen Variablen $s \,$ die Frequenz ist. Aus der oben angegebenen Beziehung ist auch zu entnehmen, dass $\delta \,$ die Dämpfungskonstante und $\omega \,$ die Kreisfrequenz einer Schwingung darstellt. Der Bildbereich wird deshalb oft als „komplexer Frequenzbereich“ bezeichnet.

Ebenso wie für zeitkontinuierliche Signale lassen sich auch für zeitdiskrete Signale (Digitalsignale) Übertragungsfunktionen definieren. Sie beschreiben Systeme, die im Zeitbereich durch lineare Differenzengleichungen beschrieben werden müssten

Mögliche Transformationen für zeitdiskrete Signale sind

• die zeitdiskrete Fourier-Transformation
• die einseitige und zweiseitige Z-Transformation für die Laplace-Transformation.

Allgemeine Darstellungsformen der Übertragungsfunktion

Aus der Laplace-Transformation einer systembeschreibenden Differenzialgleichung entsteht die Grundform der Übertragungsfunktion G(s) in Polynom-Darstellung. Daraus lassen sich weitere bekannte Schreibweisen der Übertragungsfunktionen errechnen, die unterschiedliche Eigenschaften für die Berechnung der Ausgangsgröße y(t) im Zeitbereich des Übertragungssystems G(s) bei gegebenem Eingangssignal U(s) aufweisen. Alle Formen der Übertragungsfunktionen sind mathematisch bei Rückrechnung mit der Polynomdarstellung identisch.

Übertragungsfunktion	Darstellungsform im s-Bereich
Polynom-Darstellung	$G(s) = \frac{b_{m}s^{m} + \dotsb + b_{1}s + b_{0}}{s^{n} + a_{n-1}s^{n-1} + \dotsb + a_{1}s + a_{0}}$
Pol-Nullstellen-Darstellung	$G(s) = k \cdot \frac{(s - z_1 )(s - z_2 ) \dotsm (s - z_m )}{(s - p_1 )(s - p_2 ) \dotsm (s - p_n )}$ Wenn Linearfaktoren 1. Ordnung mit Absolutglied negative Zahlenwerte haben: $G(s) = k \cdot \frac{(s + z_1)(s + z_2 )(s + z_3 ) \dotsm }{(s + a)(s + b)(s + c ) \dotsm } \ \quad a, b, c, \not=-s$
Zeitkonstanten-Darstellung	$G(s) = K \cdot \frac{{(T_{V1}\cdot s + 1)(T_{V2}\cdot s + 1) \dotsm (T_{Vm}\cdot s + 1)}}{{(T_1\cdot s + 1)(T_2\cdot s + 1) \dotsm (T_n \cdot s + 1)}}$ Für reelle Linearfaktoren 1. Ordnung mit Absolutglied und negativen Zahlenwerten.
Partialbruch-Darstellung	$G(s) = \frac {A_1}{s-p_1} + \frac {A_2}{s-p_2} + \dotsb + \frac {A_n}{s-p_n}$ Für reelle Linearfaktoren 1. Ordnung mit Absolutglied.

Die Zerlegung der Zähler- und Nennerpolynome der Übertragungsfunktion in je eine Produktform (Linearfaktoren) gestattet eine einfache detaillierte Interpretation des Systemverhaltens und der Bestimmung der Koeffizienten des Übertragungssystems. Diese Zerlegung in Linearfaktoren (Faktorisierung von Polynomen) erfolgt durch die Bestimmung der Nullstellen der Polynome.

Ein lineares zeitinvariantes Übertragungssystem ohne Totzeit ist durch Pole, Nullstellen und Proportionalitätsfaktoren der Übertragungsfunktion vollständig bestimmt.

Die Linearfaktoren symbolisieren als kleinste Übertragungseinheit ein typisches System-Zeitverhalten, das sich zusätzlich konträr verhält, ob die Linearfaktoren im Nenner oder Zähler der Übertragungsfunktion stehen.

Die Übertragungsfunktion $G(s) = Y(s) / U(s) = Z(s) / N(s)$ eines dynamischen Übertragungssystems kann einfache und mehrfache Linearfaktoren im Zähler und Nenner enthalten. Derartige Systeme beschreiben das Frequenzverhalten mit der komplexen Frequenz $s = \delta + j\omega$. mit einem Systemeingang $U(s)$ und einen Systemausgang $Y(s)$.

Elektrische , mechanische, biologische und andere dynamische Systeme können durch die gleiche Form der Übertragungsfunktion beschrieben werden, wenn die Anzahl und die Struktur der Systemspeicher identisch sind.

Die Übertragungsfunktion eines dynamischen Systems kann algebraisch für die multiplikative (Reihenstruktur), subtraktive, additive und zurückgekoppelte Struktur (Regelkreis) beliebig zusammengestellt werden. Dabei kann es sich um einen industriellen Prozess, um eine Steuerstrecke, eine Regelstrecke, einen Regler oder einen Regelkreis handeln. Zum Beispiel kann die Übertragungsfunktion des sehr bekannten PID-Reglers in der Reihenstruktur oder Parallelstruktur beschrieben werden, die sich äußerlich nicht gleichen, aber bei unterschiedlichen Koeffizienten ein identisches Frequenz- und Zeitverhalten haben. Beide Schreibweisen haben technische Vorteile.

Die folgenden idealen PID-Reglerstrukturen sind mathematisch identisch. Die Koeffizienten T1 und T2 ergeben sich durch Faktorenvergleich mit den Koeffizienten $K_P$, $T_N$ und $T_V$:

PID-Reglerstruktur	Übertragungsfunktion mit Nullstellenüberschuss
Reihenstruktur	$G(s)= \frac {K_P} {T_N} \cdot \frac{(T_1\cdot s+1)(T_2\cdot s+1)}{s}$
Parallelstruktur	$G(s) = K_P \cdot \left(1+\frac 1{T_N\cdot s}+T_V\cdot s\right)$

Weitere algebraische Beziehungen unterschiedlicher Signalstrukturen (Signalflussalgebra) als Blockdarstellungen sind im Artikel Signalflussplan beschrieben.

Grundlagen Mehrgrößensysteme

Industrielle Prozesse können unterschiedliche abgegrenzte dynamische Systeme enthalten, die untereinander vermascht sind und mehrere Ausgangssignale und Eingangssignale haben. Solche Systeme werden im Gegensatz zu Eingrößensystemen als Mehrgrößensysteme bezeichnet. Die zugehörigen Übertragungsfunktionen stellen sich als Grafik symbolisch durch einen Block dar. Die Pfeile an den Ein- und Ausgängen eines Blockes zeigen die Richtung und die Verknüpfung des Signalflusses an. Das Gesamtsystem entspricht einem mathematischen Modell.

Blockdiagramm eines Mehrgrößensystems in Matrix / Vektor-Darstellung.

Hat ein Gesamtsystem beispielsweise je 2 Ein- und Ausgänge, deren Teilsysteme miteinander additiv vermascht sind, so kann die Übertragungsfunktion als Übertragungsmatrix geschrieben werden. Es werden P-kanonische und V-kanonische Strukturen unterschieden.

(Siehe Artikel Regler "Regler für Mehrgrößensysteme", Artikel Regelstrecke "Mehrgrößensysteme"

In Matrix-Vektor-Schreibweise ergibt sich folgende Darstellung als Übertragungsmatrix:

$\begin{bmatrix} Y_{1}(s)\\ Y_{2}(s)\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} G_{11}(s)& G_{12}(s) \\ G_{21}(s)& G_{22}(s) \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} U_{1}(s) \\ U_{2}(s) \\ \end{bmatrix}$

Allgemein lässt sich ein Mehrgrößensystem z. B. eine Regelstrecke mit beliebiger Anzahl von Eingängen (Stellgrößen) und Ausgängen (Regelgrößen) durch folgende Matrixgleichung beschreiben:

$\underline {Y}(s) = \underline {G}(s) \cdot \underline {U}(s) \,$

Die genannten Größen haben folgende Bedeutung:

• $\underline {Y}(s) \,$ = Regelgrößenvektor,
• $\underline {G}(s) \,$ = Strecken-Übertragungsmatrix,
• $\underline {U}(s) \,$ = Stellgrößenvektor.

Bestimmung der Nullstellen von Polynomen

Unter dem Begriff Nullstellen versteht man jene Werte, die in eine Funktion $f$ eingesetzt, den Funktionswert Null liefern. Nullstellen von Polynomen werden in der Mathematik auch häufig mit Wurzeln oder Nullstellen bezeichnet. In der Regelungstechnik werden die Nullstellen des Zählerpolynoms mit Wurzeln oder Nullstellen, die des Nennerpolynoms mit Polen bezeichnet.

Ein Polynom $n$-ten Grades hat genau $n$ Nullstellen bzw. $n$ Pole. Diese Nullstellen und Pole können reelle oder komplexe Zahlen sein.

Die Nullstellen eines Polynoms 2. Ordnung lassen sich durch die bekannte Formel der quadratischen Gleichung lösen. Für Polynome bis 4. Ordnung existieren Rechenprogramme, die auch im Internet unter dem Suchbegriff "Nullstellen (Lösungen) von Polynomen" zu finden sind. Polynome noch höherer Ordnung können numerisch mit dem Newton-Verfahren gelöst werden.

Linearfaktoren

Linearfaktoren sind Produktterme eines Polynoms. Sind die Nullstellen eines Polynoms bekannt, können im Zählerpolynom die Linearfaktoren der Pol-Nullstellen-Darstellung z. B. mit der Nullstelle $z_1$ der Linearfaktor $s - z_1$ oder im Nenner mit dem Pol $p_1$ der Linearfaktor $s - p_1$ gebildet werden.

Bei reellen Nullstellen entsteht der Produktterm 1. Ordnung $s + a$, wenn der Wert der Nullstelle $a$ negativ ist (stabiles System).

Konjugiert komplexe Nullstellen werden der Einfachheit halber zu quadratischen Termen zusammengefasst, in denen nur reelle Koeffizienten auftreten. $[s - (a+jb)] * [s -(a - jb)]$

Verstärkungsfaktor K

Erst durch die Kenntnis der Produktform mit Linearfaktoren ist eine Rücktransformation des Systemverhaltens in den Zeitbereich möglich.

In den Laplace-Transformationstabellen zur Berechnung des System-Zeitverhaltens werden für die Linearfaktoren in der Pol-Nullstellen-Darstellung die Werte von Polen und Nullstellen meistens die Buchstaben $a, b, c, \dotsc$ verwendet. In der Zeitkonstanten-Darstellung treten anstelle der Nullstellen und Pole deren Reziprokwerte als Zeitkonstanten. In beiden Darstellungsformen sind Faktoren zu berücksichtigen, die im s-Bereich und Zeitbereich identisch sind, d.h. nicht transformiert werden.

Die Verstärkungsfaktoren der Pol-Nullstellen-Darstellung $k$ und der Zeitkonstanten-Darstellung $K$ sind unterschiedlich. Da sich die Verstärkungsfaktoren aus der Polynomdarstellung der Übertragungsfunktion errechnen, müssen im Falle der Rückrechnung der beiden Formen in die Polynom-Darstellung identische Polynome ergeben.

• Der Verstärkungsfaktor der Pol-Nullstellen-Darstellung $k = b_m / a_n$ errechnet sich aus den Koeffizienten der Polynom-Darstellung.

Wenn sich in der Pol-Nullstellen-Darstellung ein Pol oder Nullstelle ändert, dann ändert sich auch die Verstärkung $k$.

• Der statische Verstärkungsfaktor $K$ der Zeitkonstanten-Darstellung berechnet sich aus $K = b_0 / a_0$ der Polynom-Darstellung oder mit den Polen und Nullstellen aus der Pol-Nullstellen-Darstellung. Siehe Tabelle!

Wenn sich in der Zeitkonstanten-Darstellung eine Zeitkonstante ändert, bleibt die statische Verstärkung $K$ konstant.

Maximal existieren 3 unterschiedliche Linearfaktoren für phasenminimale Übertragungssysteme. Bei nichtphasenminimalen Systemen mit Absolutglied (positive Pole und / oder Nullstellen) existieren 2 weitere Linearfaktoren, die sich an dem negativen Vorzeichen erkennen lassen.

Linearfaktoren Ordnung des Polynoms	Pol-Nullstellen-Darstellung	Zeitkonstanten-Darstellung
Linearfaktor 1. Ordnung ohne Absolutglied $a_0$ der DGL	$s + 0 = s \,$	$s \,$
Linearfaktor 1. Ordnung (Phasenminimumsystem)	$s + a \,$ (a; b; c...) Wert der negativen Nullstelle oder Pol	$a \cdot (T \cdot s + 1) \,$ mit T = 1 / a
Linearfaktor 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Nullstellen (Phasenminimumsystem)	$[s - (a +jb)] \cdot [s - (a -jb)] = \,$ $= s^2 + 2 \cdot a \cdot s + a^2 + b^2 \ = \,$ $= s^2 + p\cdot s + q \,$	$q \cdot(\frac 1 q \cdot s^2+ \frac p q \cdot s+1) = \,$ $= q \cdot(T^2 \cdot s^2 + 2 \cdot D \cdot T \cdot s + 1) \,$ mit T² = 1/q; p/q = 2DT; D < 1 = Dämpfung
Verstärkungsfaktoren der Übertragungsfunktion	$k = \frac {b_m} {a_n} \,$	$K = \frac {b_m \cdot (-z_1) \cdot (-z_2) \dotsm}{a_n \cdot (-p_1) \cdot (-p_2) \dotsm} \ = \frac {b_0} {a_0}$

Polynom-Darstellung

Die Anwendung der Laplace-Transformation einer systembeschreibenden Differenzialgleichung führt zu der Übertragungsfunktion als gebrochen-rationale Funktion in die Polynom-Darstellung. Dabei werden die Koeffizienten der Differenzialgleichung in die Übertragungsfunktion vollständig übernommen. Anstelle der Ableitungen der Differenzialgleichung tritt der Laplace-Operator $s$ entsprechend dem Grad der Ableitung als Potenz von $s$ auf.

Erst die Aufspaltung der Polynome im Nenner und Zähler der Übertragungsfunktion in Linearfaktoren (Teilsysteme, Produktterme) 1. Ordnung und 2. Ordnung (mit konjugiert komplexen Polen) zeigt anschaulich im nächsten Kapitel jeweils im Zähler und Nenner maximal drei verschiedene Linearfaktoren, mit fundamental unterschiedlichen Eigenschaften im Zeitbereich.

Zeitkontinuierliche lineare Systeme werden im Zeitbereich durch die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung beschrieben

$a_{n}y^{(n)} + \dotsb + a_{1}y^{(1)} + a_{0}y = b_{m}u^{(m)} + \dotsb + b_{1}u^{(1)} + b_{0}u$

$y \,$ ist Ausgangs- und $u \,$ Eingangssignal als Funktion der Zeit, $y^{(1)} = y'(t) \,$ die 1. Ableitung nach der Zeit.

Wenn die Koeffizienten $a_i \,$ und $b_i \,$ konstant (also zeitunabhängig) sind, ist die Laplace-Transformation ausführbar.

Mit den vorgegebenen Anfangsbedingungen für das Ein- und Ausgangssignal (Werte zum Zeitpunkt $t=0 \,$ )

$y^{(i)}(0)=0\;$ für alle $0\leq i \leq n \,$

$u^{(i)}(0)=0\;$ für alle $0\leq i \leq m \,$

lautet die Laplace-Transformierte der Ein- und Ausgangsgrößen

$\int\limits_0^\infty y^{(i)}(t)e^{-st}dt=s^i\cdot Y(s) \,$

$\int\limits_0^\infty u^{(i)}(t)e^{-st}dt=s^i\cdot U(s) \,$

$U(s) \,$ und $Y(s)\,$ sind die komplexe Eingangs- bzw. Ausgangsfunktion in Abhängigkeit von der komplexen Variablen $s = \delta + \mathrm{j}\omega \,$ im Bildbereich.

Die Laplace-Transformierte der Differenzialgleichung ist

$Y(s)(a_{n}s^{n} + \dotsb + a_{1}s + a_{0})=U(s)(b_{m}s^{m} + \dotsb + b_{1}s + b_{0})$.

Es handelt sich anstelle der Differenzialgleichung um eine algebraische Gleichung, deren Analyse mit Methoden der Algebra möglich ist.

Die Übertragungsfunktion G(s) in Polynomdarstellung

ist das Verhältnis der Laplace-Transformierten der Wirkung (Ausgang) durch die Laplacetransformierte der Ursache (Eingang):

$G(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_{m}s^{m} + \dotsb + b_{1}s + b_{0}}{a_{n}s^{n} + \dotsb + a_{1}s + a_{0}}$

Die statische Verstärkung $K$ des Übertragungssystems ist durch das Verhältnis der Koeffizienten $K = b_0 / a_0$ bestimmt.

$G(s) = \frac{b_0}{a_0} \cdot \frac { 1 + \frac{b_1}{b_0}s + \dotsb + \frac{b_m}{b_0}s^{m} } { 1 + \frac{a_1}{a_0}s + \dotsb + \frac{a_n}{a_0}s^{n} }$

Alle Koeffizienten der Differenzialgleichung, die das Zeitverhalten bestimmen, sind in der Übertragungsfunktion im Nenner enthalten. Die Koeffizienten des Zählers bestimmen die Größe der Amplitude $f(t)$. Die Übertragungsfunktion beschreibt das Verhalten des Systems vollständig. Damit ist es möglich, Aussagen über das Verhalten des Systems ohne Lösung der Differenzialgleichung zu erhalten.

Die Übertragungsfunktion ist eine analytische Funktion. Da sie Funktion der komplexen Variablen $s=\delta +\mathrm{j}\omega \,$ ist, kann sie als

$G(s)=u(\delta,\omega) + \mathrm{j}v(\delta,\omega)\;$

geschrieben werden. Das ist eine Abbildung der von $\delta, \omega \,$ aufgespannten $s$-Ebene in die von $u, v \,$ aufgespannte $G$-Ebene. Alle Methoden der Funktionentheorie können zur Analyse eingesetzt werden. Das Erstellen einer Grafik ist wegen der vier Dimensionen nur in zwei dreidimensionalen Grafiken möglich, z. B. als

$\mathrm{Betrag}(\delta,\omega)=\sqrt{u^2(\delta,\omega)+v^2(\delta,\omega)}$

$\mathrm{Phase}(\delta,\omega)=\arctan\left(\frac{v(\delta,\omega)}{u(\delta,\omega)}\right).$

Pol-Nullstellen-Darstellung

Die Nullstellen eines Polynoms sind unabhängig von Polynomfaktoren. Der System-Verstärkungsfaktor der Übertragungsfunktion in der Pol-Nullstellen-Darstellung beträgt $k = b_m / a_n$.

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt für ein Polynom:

$P(x)=b_{m}x^{m} + \dotsb + b_{1}x + b_{0}=b_m\cdot \prod_{i=1}^m (x-x_i) \,$

mit dessen Nullstellen $x_i \,$. Sie können einfach oder mehrfach, reell oder paarweise konjugiert komplex sein.

Die Übertragungsfunktion in Pol-Nullstellen-Darstellung lautet:

$G(s) = k \cdot \frac{(s - z_1 )(s - z_2 ) \dotsm (s - z_m )}{(s - p_1 )(s - p_2 ) \dotsm (s - p_n )}$

In dieser allgemeinen Darstellung ist noch nicht definiert, um welche Art von Linearfaktoren es sich bei der Übertragungsfunktion handelt. Das Systemverhalten wird erst deutlich, wenn Zahlenwerte für die Nullstellen, Pole und Verstärkung $k$ vorliegen.

Bei gegebenen Zahlenwerten mit den $z_i \,$ (Nullstellen) und den $p_i \,$ (Polen, Nullstellen des Nennerpolynoms) ist die Übertragungsfunktion vollständig bestimmt und mit der Polynom-Darstellung identisch. Diese Darstellung ist für allgemeine Aussagen über das System z. B. für Stabilitätsuntersuchungen wichtig.

Zeitkonstanten-Darstellung

Linearfaktoren in der Zeitkonstanten-Darstellung errechnen sich aus der Pol-Nullstellen-Darstellung, indem die Pole und Nullstellen mit $T_V = 1 / z_i$ und $T_n = 1 / p_i$ als Zeitkonstanten bezeichnet werden.

Die Zeitkonstanten-Darstellung errechnet sich direkt aus der Pol-Nullstellendarstellung, indem der Produktterm so umgeformt wird, dass beide Formen mathematisch identisch sind: $s + a = a\cdot(\tfrac{1}{a}\cdot s + 1) = a\cdot(T\cdot s + 1)$ mit $T = 1 / a$.

Übertragungsfunktion in Zeitkonstanten-Darstellung mit dem Linearfaktor 1. Ordnung mit Absolutglied eines phasenminimalen Systems:

$G(s) = \frac{{ b_0 \cdot z_1 \cdot z_2 \dotsm z_m \cdot( \frac 1{z_1}\cdot s + 1)(\frac 1{z_2}\cdot s + 1) \dotsm (\frac 1{z_m}\cdot s + 1)}}{{a_0 \cdot p_1 \cdot p_2 \dotsm p_n \cdot(\frac 1{p_1}\cdot s + 1)(\frac 1{p_2}\cdot s + 1) \dotsm (\frac 1{p_n}\cdot s + 1)}} =$

$G(s) = \frac{{ K \cdot (T_{V1}\cdot s + 1)(T_{V2}\cdot s + 1) \dotsm (T_{Vm}\cdot s + 1)}}{{(T_1\cdot s + 1)(T_2\cdot s + 1) \dotsm (T_n \cdot s + 1)}}$ Globales Proportionalverhalten für $m < n$ und $t \to \infty$.

Vorteil der Zeitkonstanten-Darstellung

• Das Zeitverhalten ist direkt ablesbar.
• Die statische Verstärkung ändert sich nicht, wenn eine Zeitkonstante geändert wird.

Zeitliches Verhalten in Abhängigkeit von der Pol-Nullstellen-Anzahl

Je nach Anzahl der Pole $n$ und Nullstellen $m$ einer Übertragungsfunktion ergibt sich folgendes Systemverhalten für Linearfaktoren 1. Ordnung mit Absolutglied:

• $m < n$

Bei dieser Übertragungsfunktion ist das Systemverhalten im Zeitbereich bei Polüberschuss definiert. Die Sprungantwort $y(t)$ nähert sich asymptotisch dem Maximum.

• $n = m$

Bei gleicher Anzahl von Polen und Nullstellen hängt das Systemverhalten von der Größe der Zeitkonstanten ab. Die Sprungantwort kann ein differenzierendes oder verzögerndes Verhalten zeigen.

• $m > n$

Nullstellenüberschuss ist technisch nicht realisierbar.

Tabelle wichtiger regulärer (phasenminimaler) Übertragungsfunktionen in Zeitkonstanten-Darstellung:

Übertragungsfunktion G(s)	$K$	$\frac 1{T\cdot s}$	$T\cdot s$	$K_{PD1}(T\cdot s+1)$	$\frac {K_{PT1}}{T\cdot s+1}$	$\frac {K_{PT2}} {T^2 s^2+2 D T s+1}$	$K_{T_t}\cdot e^{-T_t\cdot s}$
Übergangsfunktion (Sprungantwort)
Benennung	P-Glied	I-Glied	D-Glied	PD1-Glied	PT1-Glied	PT2-Glied	Totzeitglied

Die praktische Bedeutung des Linearfaktors 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Nullstellen im Zähler der Übertragungsfunktion liegt z.B. in der Anwendung als Vorfilter. Ein PD2_KK-Glied im Eingang eines Regelkreises kann das gedämpfte Schwingungsverhalten der Regelgröße (Einschwingvorgang) vollständig kompensieren. Zur Realisierung des PD2_KK-Gliedes siehe Artikel Regler, Kapitel "PD2-Glied mit konjugiert komplexen Nullstellen".

Phasenminimumsysteme und Nichtphasenminimumsysteme

• Phasenminimumsysteme sind Systeme ohne Totzeit, deren rationale Übertragungsfunktionen G(s) keine Pole und keine Nullstellen in der rechten s-Halbebene haben.
• Nicht alle Phasenminimumsysteme sind stabil. Sie erfüllen alle den Begriff der "Internen Stabilität" aber nicht alle sind "Extern stabil".
• Nichtphasenminimale Systeme haben ein Minuszeichen in der Übertragungsfunktion.
• Nichtphasenminimumsysteme enthalten eine Totzeit oder Pole oder Nullstellen in der rechten s-Halbebene.
• Nichtphasenminimumsysteme mit Polen in der rechten s-Halbebene sind instabile Systeme. Dieses System reagiert auf ein Eingangssignal mit einem unbeschränkten Ausgangssignal.
• Nichtphasenminimumsysteme mit Polen in der rechten s-Halbebene und Phasenminimumsysteme sind relativ leicht zu regeln.
• Nichtphasenminimumsysteme mit Nullstellen in der rechten s-Halbebene (Allpass-Systeme) sind stabile Systeme aber sehr schwierig zu regeln.
• Nullstellen in Phasenminimumsystemen und Nichtphasenminimumsystemen haben Einfluss auf die Amplituden der Ausgangssignale. Pole bestimmen das Zeitverhalten.

Sprungantwort der Linearfaktoren im Nenner der Übertragungsfunktion.

Zeitverhalten der Linearfaktoren für ein gegebenes Eingangssignal u(t)

Das Zeitverhalten der drei Formen der Linearfaktoren im Nenner der Übertragungsfunktion ist für gleiche Zahlenwerte der Zeitkonstanten im nebenstehenden Diagramm als Sprungantwort des normierten Eingangssignal $U(s) = 1/s$ dargestellt. Dem Linearfaktor PT2_KK-Glied mit den konjugiert-komplexen Polen (Schwingungsglied) wurde ein willkürlich bestimmter Wert der Dämpfung mit $D = 0{,}25$ vorgegeben. Wenn die Dämpfung $D \ge 1$ beträgt, ergeben sich zwei reelle Pole, und das Nenner-Polynom lässt sich in zwei PT1-Verzögerungsglieder aufspalten.

Rampenantwort der Linearfaktoren im Zähler der Übertragungsfunktion.

Das Zeitverhalten der drei Formen der Linearfaktoren im Zähler der Übertragungsfunktion mit differenzierender Wirkung ist in dem nächsten Diagramm dargestellt. Differenzierende ideale Systeme ($m > n =$ Nullstellen-Überschuss) kann man nicht als Sprungantwort darstellen, weil die Differentiation eines Sprunges zur Zeit $t = 0_{(+)}$ stattfindet.

Die Einheits-Sprungantwort (für $u(t) = 1$) eines D-Gliedes ($m > n$ oder $m = n$) verläuft nach der Einschwingzeit auf $y(t) = 0$. Die Einheits-Sprungantwort (für $u(t) = 1$) eines PD-Gliedes oder PD2-Gliedes ($m > n$ oder $m = n$) verläuft nach der Einschwingzeit auf $y(t) = 1$.

Eine Anstiegsfunktion (Rampe) im $s$-Bereich: $U(s) = K_I / s^2$ und im Zeitbereich: $u(t) = K_I \cdot t$ (gewählt: $u(t) = 2 \cdot t$) eignet sich zur Darstellung des Systemverhaltens (Rampenantwort) mit Nullstellen-Überschuss.

Linearfaktoren mit PD-Verhalten verlaufen nach dem Einschwingen parallel zur Anstiegsfunktion mit steigendem Abstand der Ordnung wie dargestellt. PD2_KK-Glieder mit konjugiert komplexen Nullstellen verlaufen nach dem Einschwingen parallel zur Rampe und nähern sich mit kleiner werdenden Dämpfung der Rampe an. Begründung: Mit kleiner werdender Dämpfung $D \to 0$ nähert sich die Übertragungsfunktion $G_\text{PD2}(s) = a \cdot s^2 + 1$ an. Der Term $b \cdot s$ ist in dem Polynom bei $D = 0$ verschwunden.

Partialbruch-Darstellung

Mit der Partialbruchzerlegung einer Übertragungsfunktion in der Pol-Nullstellen-Darstellung wird die faktorisierte Darstellung in additive Teilbrüche überführt, die sich relativ einfach ohne Anwendung von Laplace-Transformationstabellen in den Zeitbereich $f(t)$ übertragen lassen. Die Pole der Übertragungsfunktion bestimmen die Partialbrüche.

Die Übertragungsfunktion kann durch Partialbruchzerlegung (unter der Voraussetzung, dass nur einfache Polstellen vorhanden sind) in

$G(s)=\frac{(s - z_1 )(s - z_2 ) \dotsm (s - z_m )}{(s - p_1 )(s - p_2 ) \dotsm (s - p_n )}=\sum_{i=1} ^n \frac{A_i}{(s-p_i)}$

zerlegt werden. Sind mehrfache Nullstellen vorhanden, kommen noch weitere, für den zur Diskussion stehenden Sachverhalt unwesentliche, Summanden hinzu. Die Koeffizienten (mit Methoden der Partialbruchzerlegung bestimmt) sind

$A_i=\prod_{k=1,k\ne i}^m (p_i-z_k)$,

und nach Rücktransformation in den Zeitbereich gilt für die Gewichtsfunktion mit $p_k=\delta_k+j\cdot \omega_k$

$g(t)=\sum_{k=1} ^n A_k \cdot e^{p_k\cdot t} =\sum_{k=1} ^n A_k \cdot e^{\delta_k\cdot t}\cdot (\cos(\omega_k\cdot t)+j\cdot \sin(\omega_k\cdot t))$.

Einfaches Beispiel der Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung von Übertragungsfunktionen mit reellen verschiedenen Polen: $G(s) = \frac {A_1}{s-p_1} + \frac {A_2}{s-p_2} + \dotsb + \frac {A_n}{s-p_n}$ Lösung im Zeitbereich für die Gewichtsfunktion (Impulsantwort): $y(t) = A_1 \cdot e^{p_1 \cdot t} + A_2 \cdot e^{p_2 \cdot t} + \dotsb + A_n \cdot e^{p_n \cdot t}$

Anwendung der Korrespondenztabelle F(s) ↔ f(t) der Laplace-Transformation

Einschwingvorgänge dynamischer Systeme, die sich im Ruhezustand befinden und in einen bewegten Zustand überführt werden, können durch Differenzialgleichungen beschrieben werden. Ein wirksames Mittel, diese Differenzialgleichungen zu lösen, ist die Laplace-Transformation für den Fall leerer Energiespeicher (Anfangswerte = 0). Mit der Durchführung der Laplace-Transformation entsteht die Übertragungsfunktion mit G(s) = Y(s) / U(s) als das Verhältnis der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße im sogenannte Bildbereich (s-Bereich). G(s) ist eine algebraische Gleichung in Form einer gebrochen-rationalen Funktion. Die Rücktransformation vom Bildbereich F(s) in den Zeitbereich f(t) wird als inverse Laplace-Transformation bezeichnet.

Die Korrespondenztabellen der Laplace-Transformation geben je nach Ausführlichkeit die Lösung der inversen Transformation vom Bildbereich in den Zeitbereich für zahlreiche Formen der Übertragungsfunktionen wieder. Das Zeitverhalten für die Systemausgangsgröße y(t) eines dynamischen linearen Übertragungssystems kann aus den Laplace-Korrespondenztabellen für die entsprechende Übertragungsfunktion bestimmt und berechnet werden.

Die grafische Darstellung der Sprungantwort (Übergangsfunktion) eines dynamischen Systems ist die häufigste bekannte Darstellung des System-Zeitverhaltens. Die Anwendung der Impulsantwort (Gewichtsfunktion) hat insbesondere Vorteile bei der Systemanalyse einer empirisch aufgenommenen Impulsantwort einer Regelstrecke durch Modellvergleiche.

→ Siehe Kapitel des Artikels "Regelstrecke" (Experimentelle Identifikation einer Regelstrecke mit Hilfe einer Modellregelstrecke)

Suchbegriff der Laplace-Korrespondenztabelle

• Für die Ermittlung des Zeitverhaltens eines dynamischen Systems als Sprungantwort wird die Übertragungsfunktion G(s) mit dem transformierten Eingangssignal U(s) = 1 / s multipliziert. Der Suchbegriff der Übertragungsfunktion laut Laplace-Korrespondenztabelle für die Sprungantwort im Zeitbereich lautet mit $Y(s) = G(s) \cdot \frac 1 s$.

• Wird die Impulsantwort y(t) eines Systems gesucht, ist die zugehörigen Übertragungsfunktion F(s) mit U(s) = 1 zu multiplizieren.

Die direkte Überführung einer Übertragungsfunktion F(s) über die Laplace-Korrespondenztabelle - ohne Multiplikation mit einem transformierten Testsignal - in den Zeitbereich f(t) ist immer die Impulsantwort (Gewichtsfunktion) y(t).

Allgemein gilt für die inverse Transformation vom s-Bereich in den Zeitbereich der Suchbegriff:

$y(t) = \mathcal{L}^{-1} \underbrace { \left\{G(s) \cdot U(s) \right\}}_{Suchbegriff}$

→ Siehe Kapitel des Artikels "Regelstrecke" (Testsignale)

Während das Zeitverhalten von dynamischen Systemen mit einfachen Polstellen sich leicht berechnen lässt, sind Übertragungssysteme mit Schwingungsanteilen wie beim PT2_KK-Glied in der Korrespondenztabelle für f(t) manchmal schwierig zu lesen. Manche Korrespondenztabellen für F(s) beziehen sich auf die Pol-Nullstellen-Darstellungen, andere auf die Zeitkonstanten-Darstellungen. Instabile Übertragungsglieder 2. Ordnung mit positiven Nullstellen (d.h. Minuszeichen in der Übertragungsfunktion in Zeitkonstanten-Darstellung) sind in der Fachliteratur selten - praktisch nie - angegeben.

Beispiel der Pol-Nullstellen-Darstellung und der Zeitkonstanten-Darstellung der Übertragungsfunktion 1. Ordnung (PT1-Glied)

Die Übertragungsfunktion eines PT1-Gliedes kann als Pol-Nullstellen-Darstellung oder als Zeitkonstanten-Darstellung mit T = 1 / α gewählt werden.

Diese beiden Funktionen im s-Bereich stellen sich wie folgt dar:

$G_1(s) = \frac 1 {s+\alpha} = \frac 1 \alpha \cdot \frac 1 {\frac 1 {\alpha} \cdot s +1} = \frac T {T \cdot s+1} \quad \text {und} \quad G_2(s) = \frac 1 {T \cdot s + 1}$

Die zugehörigen Zeit-Impulsfunktionen laut Transformations-Korrespondenztabelle lauten:

$y_1(t) = e^{- \alpha \cdot t} \quad \text {und} \quad y_2(t) = \frac 1 T \cdot e^{- \frac t T}$

Schlussfolgerung:

T im Zähler von G₁(s) ist ein Faktor.

Wenn für $G_1(s) = \frac T {T \cdot s+1}$ $\quad$ die zugehörige Impuls-Zeitfunktion $\quad$ $y_1(t) = e^{- \alpha \cdot t}$ $\quad$ ist,
dann muss für $\quad$ $G_2(s) = \frac 1 {T \cdot s + 1}$ $\quad$ die zugehörige Impuls-Zeitfunktion $\quad$ $y_2(t) = \frac 1 T \cdot e^{- \frac t T}$ $\quad$ sein.

Beispiel der Normalform des PT2_KK-Gliedes mit Schwingeigenschaften:

Ein Übertragungssystem 2. Ordnung mit Proportionalverhalten und Schwingeigenschaften setzt voraus, dass der Dämpfungswert 0 < D < 1 beträgt.

$G(s) = \frac 1 {T^2 \cdot s^2 + 2 \cdot D \cdot T \cdot s + 1} \qquad \text {oder zur Kennzeichnung der Faktoren} \quad G(s) = \frac 1 {T_2 \cdot s^2 + T_1 \cdot s + 1}$

Die Faktoren vor den Laplace-Operatoren s und s² der Normalform der Übertragungsfunktion wie die Zeitkonstante T und die Dämpfung D müssen bestimmt werden können. Da die Gleichungsform der Korrespondenztabellen höherer Ordnung verschiedener Literaturquellen selten in der Form und der verwendeten Symbole übereinstimmen, müssen diese Gleichungen bei Übertragungsfunktionen mit konjugiert komplexen Polpaaren zum besseren Verständnis in die Normalform gebracht werden.

Faktoren im Zähler der Übertragungsfunktion wie ein Verstärkungsfaktor z.B. K unterliegen keiner Transformation zum Zeitbereich und sind deshalb im s-Bereich wie im Zeitbereich gültig.

Übertragungsfunktionen mit Schwingungsanteilen enthalten in den Laplace-Korrespondenztabellen anstelle der Zeitkonstante T das Symbol der Eigenfrequenz ω₀ = 1 / T.

Laut einer Korrespondenztabelle lautet das Produkt der Übertragungsfunktion mit dem Eingangssignal U(s) = 1 / s und nachfolgender Gleichungsumstellung:

$Y(s) = \frac {\omega_0^2} {(s^2 + 2 \cdot D \cdot \omega_0 \cdot s +\omega_0^2) \cdot s} = \frac 1 {(\frac 1 {\omega_0^2} \cdot s^2 + 2 \cdot D \cdot \frac 1 {\omega_0} \cdot s + 1) \cdot s}$

Durch Faktorenvergleich können die erforderlichen Parameter wie D, ω₀, ω_e und Φ für die korrespondierende Gleichung des Zeitverhaltens f(t) berechnet werden.

Die korrespondierende Gleichung f(t) ist zur leichteren Berechenbarkeit in mehrere Gleichungen aufgeteilt, weshalb in der Fachliteratur leider häufig unterschiedliche Gleichungssymbole verwendet werden.

Die Sprungantwort y(t) für ein PT2_KK-Glied lautet :

$y(t) = 1- \frac 1 {\sqrt{1-D^2}} \cdot e^{-D \cdot \omega_0 \cdot t} \cdot sin(\omega_e \cdot t + \phi) \quad \Vert \qquad \text{mit} \ \ \omega_e = \omega_0 \cdot \sqrt{1-D^2}; \quad \omega_0 = \sqrt{\frac 1 {T^2}}; \quad \phi = arccos(D); \quad 1<D<1$

Laplace-Transformation-Korrespondenztabelle (Auszüge)

s-Bereich F(s) $Y(s) = G(s) \cdot U(s)$	Zeitbereich y(t); t > 0		s-Bereich F(s) $Y(s) = G(s) \cdot U(s)$	Zeitbereich y(t); t > 0
1	Dirac-Impuls		$\frac 1 {s \cdot (1 + T \cdot s)}$	$1 - e^{- \frac t T}$
1 / s	Sprung σ(t) = 1		$\frac 1 {s \cdot (1 + T \cdot s)^2}$	$1 - (1+ \frac t {T}) \cdot e^{- \frac t T}$
1 / s²	Rampe t		$\frac 1 {(1 + T_1 \cdot s)\cdot (1+T_2 \cdot s)} \quad T_1 \ne T_2$	$\frac 1 {T_1 - T_2} \cdot (e^{- \frac t {T_1}} - e^{- \frac t {T_2}})$
$\frac 1 {s+ \alpha}$	$\ e^{-\alpha \cdot t}$		$\frac 1 {s \cdot (1 + T_1 \cdot s)\cdot (1+T_2 \cdot s)} \quad T_1 \ne T_2$	$1- \frac 1 {T_1 - T_2} \cdot (T_1 \cdot e^{- \frac t {T_1}} - T_2 \cdot e^{- \frac t {T_2}})$
$\frac {1} {(s+ \alpha)^2}$	$\ t \cdot e^{-\alpha \cdot t}$		$\frac {1+T_V \cdot s} {(1 + T_1 \cdot s)\cdot (1+T_2 \cdot s)} \quad T_1 \ne T_2$	$\frac 1 {T_1 - T_2} \cdot (\frac {T_1-T_V} {T_1} \cdot e^{- \frac {t} {T_1}} - \frac {T_2-T_V}{T_2} \cdot e^{- \frac t {T_2}})$
$\frac {\omega} {s^2 + \omega^2}$	$sin(\omega \cdot t)$		$\frac {1+T_V \cdot s} {s \cdot (1 + T_1 \cdot s)\cdot (1+T_2 \cdot s)} \quad T_1 \ne T_2$	$1- \frac {T_1-T_V} {T_1 - T_2} \cdot e^{- \frac {t} {T_1}} + \frac {T_2-T_V}{T_1-T_2} \cdot e^{- \frac {t} {T_2}}$
$\frac {1} {s \cdot (s^2 + \omega^2)}$	$\frac 1 {\omega^2} \cdot ( 1- cos(\omega \cdot t)$		-	-
$\frac 1 {1 + T \cdot s}$	$\frac 1 {T} \cdot e^{- \frac t T}$		$\frac {\omega_0} {s^2 + 2\cdot D \cdot \omega_0 \cdot s + \omega_0^2}$	$1- \frac {\omega_0^2} {\omega_e} \cdot e^{-D \cdot \omega_0 \cdot t} \cdot sin(\omega_e \cdot t) ;$ $\omega_e = \omega_0 \cdot \sqrt{1-D^2}; \quad -1 <D <1$
$\frac 1 {(1 + T \cdot s)^2}$	$\frac 1 {T^2} \cdot e^{- \frac t T}$		$\frac {\omega_0} {s \cdot (s^2 + 2\cdot D \cdot \omega_0 \cdot s + \omega_0^2)}$	$1- \frac 1 {\sqrt{1-D^2}} \cdot e^{-D \cdot \omega_0 \cdot t} \cdot sin(\omega_e \cdot t + \phi) ;$ $\omega_e = \omega_0 \cdot \sqrt{1-D^2}; \quad \phi = arccos(D);$ $-1 < D < 1$

Numerische Berechnung des System-Zeitverhaltens mit Differenzengleichungen

Die Systemantwort von Übertragungssystemen für Systemen 2. Ordnung und beliebiger höherer Ordnung sind durch die analytischen Gleichungen f(t) der Laplace-Korrespondenztabellen wegen der zahlreichen trigonometrischen und exponentiellen Funktionen nur sehr zeitaufwendig zu berechnen. Ist einmal ein Berechnungsprogramm für die Anwendung von Differenzengleichen der Funktionen mit den Linearfaktoren z. B. 2 I-Glieder, mehreren PT1-Gliedern, D-Glied, 2 PD-Glieder und Totzeitglied gemacht, dessen nichtbenötigte Zeitfunktionen einfach deaktiviert werden können, lassen sich praktisch die meisten linearen Systemberechnungen und Regelkreise bei Eingabe von Zahlenwerten unmittelbar - angenähert zeitlos - berechnen und grafisch darstellen.

Ein phasenminimales PT2-Glied_KK kann durch Simulation einer Reihenschaltung eines I-Gliedes und eines PT1-Gliedes (Zeitkonstante T1, Verstärkung K) zu einem Regelkreis wie folgt geschaltet werden:

$G(s) = \frac {G1(s) \cdot G2(s)} {1 + G1(s) \cdot G2(s)}$

$G(s) = \frac {\frac K {s \cdot (T1 \cdot s+1)}} {1 + {\frac K {s \cdot (T1 \cdot s+1)}}} = \frac 1 {\frac {T1} {K}\cdot s^2 +\frac 1 {K} \cdot s + 1} = \frac 1 {T^2 \cdot s^2 + 2 \cdot D \cdot T \cdot s + 1}$

mit den Konstanten der Normalform $\quad$ $\frac {T1} {K} = T^2; \quad \frac 1 K = 2 \cdot D \cdot T$

Die Differenzengleichung (Methode Euler-Rückwärts) zur numerischen Berechnung des PT1-Gliedes lautet:

$y_{(k)} = y_{(k-1)}+[K_{PT1}\cdot u_{(k)}-y_{(k-1)}] \cdot \frac {\Delta t}{T+\Delta t}$

Die Differenzengleichung zur numerischen Berechnung des I-Gliedes lautet:

$y_{(k)} = y_{(k-1)} + u_{(k)}\cdot \frac {\Delta t}{T_I} \quad \Vert \qquad T_I = 1$

k = Nummer der Folge; Δt = konstante diskretisierte Zeit; k * Δt = t = aktuelle Zeit

Die Berechnung der beiden Gleichungen nebst Soll-Istwert-Vergleich in Abhängigkeit der Eingangsgröße erfolgt tabellarisch rekursiv. Sämtliche Gleichungen werden hintereinander in einer Zeile und dann in den nachfolgenden Zeilen der Folgen k = (0; 1; 2; 3; k_i) berechnet.

→ Siehe Kapitel des Artikels "Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)" (Numerische Berechnung dynamischer Systeme)

Bedeutung der Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion für das Zeitverhalten

Anschauliche Deutung

Qualitative Auswirkung der Polstellenlage innerhalb der komplexen s-Ebene und das dadurch ausgelöste Zeitverhalten

Die Lage der Polstellen ist für das zeitliche Verhalten und die Stabilität des Systems von entscheidender Bedeutung. Die grafische Darstellung erfolgt als ein Pol-Nullstellen-Diagramm in der komplexen s-Ebene. Für eine anschauliche Darstellung der sogenannten Polstellenlage in der s-Ebene für das Systemverhalten und Stabilität wird im Folgenden eine Übertragungsfunktion $G(s)$ mit einem einfachen Pol bei $\alpha$ betrachtet:

$G(s) = \frac{1}{s - \alpha}$

Im Zeitbereich entspricht dies einer Exponentialfunktion:

$e^{\alpha t} = e^{(\sigma + j\omega) t} = e^{\sigma t} \cdot e^{j\omega t}$

mit dem Dämpfungsfaktor $\sigma$ und der Kreisfrequenz $\omega$. Die Einhüllende des Zeitsignals wird durch den Realteil der Polstelle und der Schwingungsanteil durch den Imaginärteil der Polstelle bestimmt.

In nebenstehender Abbildung ist die komplexe s-Ebene durch die imaginäre Achse $Im\{s\}$ und die reelle Achse $Re\{s\}$ aufgespannt. Das Eingangssignal entspricht dem Dirac-Stoß $\delta(t)$. In der s-Ebene sind neun verschiedene Polstellenlagen qualitativ mit ihrer Zeitfunktion eingezeichnet, die Polstellen befinden sich jeweils im Ursprung der dreidimensional dargestellten Zeitfunktionen. Es lassen sich daraus folgende anschauliche Zusammenhänge für den Realteil gewinnen:

• Polstellenlagen auf der imaginären Achse mit $Re\{\alpha\} = 0$ weisen einen zeitlich konstanten Betrag auf.
• Polstellenlagen in der linken Halbebene mit einem $Re\{\alpha\} < 0$, weisen exponentiell abklingende Zeitfunktionen auf.
• Polstellenlagen in der rechten Halbebene mit einem $Re\{\alpha\} > 0$, weisen exponentiell ansteigende Zeitfunktionen auf.

Für den Imaginärteil der Polstellen gilt:

• Rein reelle Polstellen mit $Im\{\alpha\} = 0$ weisen Zeitfunktionen ohne Schwingungsanteile auf.
• Polstellenlage mit von null verschiedenem Imaginärteil weisen einen komplexen Schwingungsanteil auf, dessen Frequenz durch die Imaginärteil des Pols bestimmt ist:
  • Für positiven Imaginärteil $Im\{\alpha\} > 0$ ergibt sich ein mathematisch positiver Drehsinn.
  • Für positiven Imaginärteil $Im\{\alpha\} < 0$ ergebt sich ein mathematisch negativer Drehsinn.

Bei reellen Übertragungsfunktionen treten komplexe Polstellen stets konjugiert komplex gepaart auf. Dies führt durch Überlagerung zu reellen Schwingungen, da sich die Imaginäranteile gegenseitig kompensieren. Einschwingvorgänge werden durch die Pole in der s-Ebene links der imaginären Achse bestimmt. Der stationäre Zustand im Zeitbereich ergibt sich durch Polstellen auf der imaginären Achse.

Bedeutung der Lage der Pole und Polpaare bei Verzögerungs-Systemen 1. und 2. Ordnung

Die Nullstellen eines Nennerpolynoms bezeichnet man als Pole. Die Zeitkonstanten-Darstellung einer Übertragungsfunktion errechnet sich aus den Polen und Nullstellen der faktoriellen Darstellung der verschiedenen Linearfaktoren.

Die Pol-Nullstellen-Darstellung und die Zeitkonstanten-Darstellung zeigen einen wesentlichen Unterschied in der Anwendung:

• Die Pole- Nullstellen-Darstellung der Übertragungsfunktion bedeutet für die Änderung von Zahlenwerten der Pole und Nullstellen, dass sich die Verstärkungsfaktoren gleichzeitig ändern.
• Die Zeitkonstanten-Darstellung der Übertragungsfunktion bezieht sich nur auf die Größe der Zeitkonstanten, die Verstärkung K der Übertragungsfunktion ändert sich nicht.

Die Übertragungsfunktion G(s) ist eine Funktion, welche die komplexe Variable $s = \delta + j\omega \,$ auf einen komplexen Wert abbildet. G(s) kann in einen Realteil und einen Imaginärteil zerlegt werden.

$G(s) = Re[G(s)] \ + \ j \cdot Im[G(s)] \quad \Vert \qquad mit \quad Re(s) = \delta; \quad und \quad Im(s) = j \cdot \omega.$

Die Lage der reellen und komplexen Pole und Nullstellen lässt sich im s-Diagramm darstellen.

Die Pole eines Nennerpolynoms einer Übertragungsfunktion sind gleichzeitig die Lösung des Systems. Die Pole bzw. die Lage der Pole im s-Diagramm bestimmen unter anderem das Zeitverhalten und die Stabilität des Systems, die Nullstellen im Zähler der Übertragungsfunktion bestimmen die Größe der Amplituden.

Beispiel des Systemverhaltens 2. Ordnung durch Lage der Pole s_1/2 und der Dämpfung D

Ein Verzögerungsglied 2. Ordnung hat die Übertragungsfunktion:

$G(s) = \frac 1 {T^2 \cdot s^2 + 2 \cdot D \cdot T \cdot s + 1}$

Wird an Stelle der Zeitkonstante T die Eigenfrequenz ω₀ = 1 / T gesetzt, so entsteht die Übertragungsfunktion:

$G(s) = \frac 1 {\frac 1 {\omega_0^2} \cdot s^2 + \frac {2 \cdot D} {\omega_0} \cdot s + 1}$

Realteil und Imaginärteil der Pole

Die Pole bzw. Polpaare des PT2-Gliedes lassen sich durch die nachfolgende Gleichung in Realteile und Imaginärteile zerlegen:

$s_{1;2} = - \omega_0 \cdot D \pm j \cdot \omega_0 \cdot \sqrt{1-D^2}$

Wie aus der Gleichung sichtbar, sind Realteil und Imaginärteil von ω₀ und D abhängig und können nicht beliebig unabhängig voneinander für eine Übertragungsfunktion gewählt werden. Das Systemverhalten mit Schwingungsanteilen ist durch die Lage der Polpaare im s-Diagramm auf der Re(s)-Achse und Im(s)-Achse bestimmt.

Systemverhalten eines Verzögerungsgliedes 2. Ordnung durch die Größe der Dämpfung

Sind Zahlenwerte der Übertragungsfunktionen eines PT2-Gliedes gegeben, lassen sich daraus der Wert der Zeitkonstante T bzw. ω₀ = 1 / T und die Größe der Dämpfung D bestimmen, die das zeitliche Systemverhalten festlegen. Bedingt durch die Größe des Wertes der Dämpfung D > 0, D = 0 und D < 0 lässt sich die Übertragungsfunktion des PT2-Gliedes in neue Gleichungsformen aufspalten. Aus den Werten ω₀ und D lassen sich die Pole bzw. Polpaare aus der Übertragungsfunktion bestimmen, deren Lage im s-Diagramm eindeutigen Stabilitätskriterien zugeordnet sind.

Folgende Dämpfungswerte bestimmen das Zeitverhalten und die Normalform der Gleichung der Übertragungsfunktion:

• Dämpfung D > 1: $\quad$ $G(s) = \frac 1 {(T_1 \cdot s +1) \cdot (T_2 \cdot s + 1) }$

Die Übertragungsfunktion lässt sich in zwei PT1-Glieder mit zwei unterschiedlichen Zeitkonstanten aufspalten. Sie enthält zwei negative reelle Pole.

• Dämpfung D = 1: $\quad$ $G(s) = \frac 1 {(T \cdot s + 1)^2}$

Grenzwert für einen Doppelpol. Die Übertragungsfunktion lässt sich in zwei PT1-Glieder mit zwei gleichen Zeitkonstanten aufspalten. Sie enthält einen negativen Doppelpol.

• Dämpfung 0 < D < 1: $\quad$ $G(s) = \frac 1 {T^2 \cdot s^2 + 2 \cdot D \cdot T \cdot s + 1}$

Die Übertragungsfunktion enthält ein konjugiert komplexes Polpaar mit negativem Realteil. Das System schwingt gedämpft.

• Dämpfung D = 0: $\quad$ $G(s) = \frac 1 {T^2 \cdot s^2 +1}$

Die Übertragungsfunktion hat nur ein Polpaar ohne Realteil. Das System schwingt ungedämpft mit konstanter Amplitude.

• Dämpfung -1 < D < 0: $\quad$ $G(s) = \frac 1 {T^2 \cdot s^2 - 2 \cdot D \cdot T \cdot s + 1}$

Das System ist instabil mit positivem konjugiert komplexem Polpaar. Das System schwingt mit zunehmender Amplitude.

• Dämpfung D = - 1: $\quad$ $G(s) = \frac 1 {(T \cdot s - 1)^2}$

Das System enthält einen instabilen positiven reellen Doppelpol. Die Systemantwort steigt progressiv bis zu einer endlichen Begrenzung.

• Dämpfung D = < -1: $\quad$ $G(s) = \frac 1 {(T_1 \cdot s -1) \cdot (T_2 \cdot s - 1) }$

Das System enthält zwei instabile positive reelle Pole. Die Systemantwort steigt progressiv bis zu einer endlichen Begrenzung.

Systemverhalten bei Änderung der Realteile und Änderung der Imaginärteile

Nachfolgend wird das System-Zeitverhalten von Systemen des PT1- und des PT2_kk-Gliedern als Funktion der Polstellen-Lage und der Polpaar-Lage von Zahlenwerten im s-Diagramm für Re(s) < 0, Re(s) = 0 und Re(s) > 0 dargestellt.

Zunehmende Zahlenwerte der Lage der Realteile der Polpaare bei konstanten Imaginärteilen in der negativen s-Halbebene:

• Der Dämpfungswert wird größer und damit die Überschwingung kleiner,
• Die Schwingungsperioden bleiben gleich bei konstanten Imaginäranteilen.

Zunehmende Zahlenwerte der Lage der Imaginärteile der Polpaare bei konstanten Realteilen in der negativen s-Halbebene:

• Der Dämpfungswert wird kleiner und damit die Überschwingung größer,
• Die Periodendauer wird kleiner und damit die Schwingfrequenz größer.

Die bekannten algebraischen Gleichungen der Übertragungsfunktionen des PT1- und PT2_kk-Gliedes als Phasenminimum-Systeme ändern ihre Form, wenn positive Pole auftreten und werden zu Nichtphasenminimum-Systemen.

Die in der Tabelle dargestellten grafischen Sprungantworten wie auch die nicht dargestellten Impulsantworten sind messbar und berechenbar.

Tabellarische Darstellung der Polstellen- und Polpaar-Lage der Übertragungsfunktionen und des System-Zeitverhaltens für Verzögerungssysteme 1. und 2. Ordnung:

Übergangsfunktion → (Sprungantwort)
Polstellenlage → Polstellen →	6 Polstellen- Angaben	Re(s) = -0,5 s = -0,5	Re(s) = 0 s = 0	Re(s) = 0,5 s = 0,5	Re(s) = -0,25 s1/2 = -0,25 ± j * 1,98	Re(s) = 0 s1/2 = 0 ± j * 2	Re(s) = 0,25 s1/2 = 0,25 ± j * 1,98
Übertragungsfunktion → Y(s) = G(s) * 1 / s als Sprungantwort		$\frac 1 {s \cdot (2 \cdot s+1)}$	$\frac 1 {s \cdot s}$	$\frac 1 {s \cdot (2 \cdot s-1)}$	$\frac 1 {s(0,25 s^2+ 0,125 s+1)}$	$\frac 1 {s \cdot (0,25 s^2+1)}$	$\frac 1 {s(0,25 s^2 - 0,125 s+1)}$
Zeitverhalten y(t) → Laplace- Korrespondenztabelle		$1- e^{- \frac {t} {T}}$ T = 2	t	$e^{\frac {t} {T}}-1$ T = 2	$1- \frac 1 {\sqrt{1-D^2}} \cdot e^{-D \cdot \omega_0 \cdot t} \cdot$ $\cdot sin(\omega_e \cdot t + \phi) ;$ $\omega_e = \omega_0 \cdot \sqrt{1-D^2};$ $\phi = arccos(D);$ ${\omega_0} = 2; \ D = 0,125$	$1 - cos(\omega_0 \cdot t) ;$ ${\omega _0} = 2;$ $D = 0$	$1- \frac 1 {\sqrt{1-D^2}} \cdot e^{-D \cdot \omega_0 \cdot t} \cdot$ $\cdot cos(\omega_e \cdot t - \phi) ;$ $\omega_e = \omega_0 \cdot \sqrt{1-D^2};$ $\phi = arcsin(D);$ $\omega_0 = 2; \ D = - 0,125$
Benennung →	Polstellen- Diagramm	PT1-Glied	I-Glied	PT1-Glied Monoton instab.	PT2KK-Glied Oszillatorisch gedämpft	PT2KK-Glied Oszillat. grenzstabil	PT2KK-Glied Oszillatorisch instabil

Die aufgeführten Zeitkonstanten T haben die Dimension der Zeit [sec], die Eigenfrequenz ω₀ hat die Dimension der Frequenz [1/sec].

Bedeutung der Lage der Pole und Polpaare von Verzögerungs-Systemen höherer Ordnung

Übertragungsfunktionen höherer Ordnung in Polynomdarstellung lassen sich durch die Nullstellenbestimmung in Linearfaktoren aufspalten. Für die Bestimmung der Pole und Nullstellen von Übertragungsfunktionen kann man sich fertiger Rechenprogramme für Polynome bis 4. Ordnung bedienen. Derartige Programme findet man auch im Internet unter dem Suchbegriff „Nullstellen von Polynomen“.

Die Überführung der faktorisierten Übertragungsfunktion $G(s)$ für ein gegebenes Eingangssignal $U(s)$ in den Zeitbereich erfolgt über Laplace-Transformationstabellen. Enthalten die Übertragungsfunktionen mehrfache Pole und Nullstellen oder auch konjugiert komplexe Pole, können umfangreiche trigonometrische Berechnungen zur Ermittlung der Systemausgangsgröße $y(t)$ erforderlich werden.

Bei Verwendung der Übertragungsfunktion der Partialbruchform ist die Übertragung der Teilbrüche in den Zeitbereich sehr einfach, dafür ist die Durchführung der Partialbruch-Zerlegung bei Systemen höherer Ordnung aufwändig. Dies gilt besonders bei Linearfaktoren 1. und 2. Ordnung im Zähler der Übertragungsfunktion.

Identische phasenminimale Linearfaktoren im Zähler und Nenner einer Übertragungsfunktion können gegeneinander gekürzt werden (Pol-Nullstellen-Kompensation). Damit vereinfacht sich die Übertragungsfunktion. Dies gilt nicht für nichtphasenminimale Linearfaktoren.

Grundsätzlich interessiert für das Zeitverhalten folgende globale Pol-Eigenschaft:

Eine Übertragungsfunktion G(s) höherer Ordnung hat n verschiedene reelle Pole:

• Alle Pole sind negativ, d.h. $p_i < 0$ für alle $i = 1, \dotsc, n$.

Die Sprungantwort der Systemausgangsgröße $y(t)$ in Abhängigkeit vom Eingangssignal $u(t)$ strebt exponentiell gegen einen Maximalwert. → Stabiles globales P-Verhalten!

• Ein Pol $p_j$ ist gleich Null, alle anderen sind negativ.

Die Sprungantwort der Systemausgangsgröße $y(t)$ in Abhängigkeit vom Eingangssignal $u(t)$ verläuft erst exponentiell, dann linear gegen unendlich. → Grenzstabiles globales I-Verhalten!

• Mindestens ein Pol $p_j$ ist positiv, alle anderen sind beliebig.

Die Sprungantwort der Systemausgangsgröße $y(t)$ in Abhängigkeit vom Eingangssignal $u(t)$ strebt exponentiell gegen unendlich. → Global instabiles Verhalten!

Übertragungsfunktion G(s) höherer Ordnung mit einem konjugiert komplexen Polpaar: $p_{1/2} = p +- j \omega \,$

• Alle Pole haben einen negativen Realteil:

Die Sprungantwort der Systemausgangsgröße $y(t)$ in Abhängigkeit vom Eingangssignal $u(t)$ strebt als gedämpfte Schwingung gegen einen Maximalwert. → Global stabiles P-Verhalten!

• Konjugiert komplexes Polpaar hat einen Realteil gleich Null:

Die Sprungantwort der Systemausgangsgröße $y(t)$ in Abhängigkeit vom Eingangssignal $u(t)$ verläuft als Dauerschwingung mit der Kreisfrequenz ω. → Oszillatorisch grenzstabiles Verhalten!

• Mindestens ein Pol hat einen positiven Realteil für das konjugiert komplexe Polpaar:

Die Sprungantwort der Systemausgangsgröße $y(t)$ in Abhängigkeit vom Eingangssignal $u(t)$ verläuft als eine exponentiell aufklingende Dauerschwingung mit der Kreisfrequenz $\omega$ aus. → Oszillatorisch instabiles Verhalten!

Übertragungsfunktion mit dem Deltaimpuls $U_{\delta}(s) = 1 \,$

Mit der Gewichtsfunktion (Impulsantwort) mit $p_k=\delta_k+j\cdot \omega_k$ sind folgende Schlussfolgerungen für das Zeitverhalten und die Stabilität des Systems ableitbar:

1. Bedeutung des Realteils $\delta_k \,$ und Imaginärteils $\omega_k \,$ der Polstellen:
   • Ist mindestens ein $\omega_k \ne 0 \,$, so schwingt das System.
   • Sind alle $\delta_k < 0 \,$, so ist das System stabil. Der Eingangsimpuls klingt zeitlich ab.
   • Mit mindestens einem $\delta_k > 0 \,$ ist das System instabil. Der Eingangsimpuls wächst zeitlich unbegrenzt an.
   • Ist mindestens ein $\delta_k = 0 \,$ und alle anderen $\delta_k < 0 \,$, so ist das System grenzstabil. Es geht asymptotisch in einen konstanten Wert oder eine ungedämpfte Schwingung über.
   • Je weiter links $\delta_k \,$ in der negativen Halbene von $s \,$ liegt, desto schneller klingt der entsprechende Anteil der Gewichtsfunktion ab.
   • Die Lage des Realteils der Polstellen bestimmt die Dynamik, und der Imaginärteil bestimmt die Frequenz der Schwingungen des Systems.
2. Bedeutung der Nullstellen:
   • Je weiter die Nullstellen $z_k \,$ von der Polstelle $p_i \,$ in der $s$-Ebene liegen, desto stärker wird der Anteil $A_i \,$ an der Gewichtsfunktion.
   • Nullstellen mit positivem Realteil (nichtpasenminimales Verhalten) führen zu einem schwer regelbaren Verhalten.

Experimentelle Ermittlung

Die Übertragungsfunktion ist im Gegensatz zum Frequenzgang nicht direkt messbar, kann aber mit Methoden der Systemidentifikation unter anderem aus der Sprungantwort bestimmt werden.

Siehe auch

• Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)
• Fourier-Transformation
• Signalanalyse
• Greensche Funktion
• Kopfbezogene Übertragungsfunktion

Literatur

• Jan Lunze: Regelungstechnik 1: Systemtheoretische Grundlagen, Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen. 7. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-68907-2.
•  Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik: Mit MATLAB und Simulink. 9. Auflage. Harri Deutsch, 2012, ISBN 978-3-8171-1895-3.
•  Manfred Reuter, Serge Zacher: Regelungstechnik für Ingenieure: Analyse, Simulation und Entwurf von Regelkreisen. 12. Auflage. Vieweg+Teubner, 2008, ISBN 3-8348-0018-X.
• Heinz Unbehauen: Regelungstechnik I. Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, 1997, ISBN 3-528-83332-7.